Các ví dụ dãy số được xác định hoặc bằng cách đưa ra công thức tổng quát, hoặc viết ra vài số hạng của dãy ¥... Ý TƯỞNG: GIỚI HẠN DÃY SỐ..[r]
Trang 1BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-BGĐT – TOÁN 1 BÀI 1: DÃY SỐ & GIỚI HẠN
TS NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006)
Trang 2NỘI DUNG
-1- Khái niệm dãy số Ba cách xác định dãy số
2- Ý tưởng giới hạn dãy số
3- Định nghĩa giới hạn dãy số Dãy hội tụ, phân kỳ
4- Tính chất của giới hạn dãy số
5- Phương pháp tìm giới hạn dãy số Định lý kẹp
6- Dãy đơn điệu Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn Số e
7- Dãy con Tiêu chuẩn phân kỳ
Trang 31 KHÁI NIỆM DÃY SỐ
-Dãy số {x n }: Tập hợp các số đánh số thứ tự liên tiếp nhau:
x 1 , x 2 … x n … x 1 : số hạng thứ 1, …, x n : số hạng tổng quát.
VD: Dãy các số tự nhiên 1, 2, 3, … , n , … Þ Số hạng tổng quát: x n = n với n ³ 1.
VD: Dãy nghịch đảo các số tự nhiên 1, 1/2, 1/3, … , 1/n , …
Þ Số hạng tổng quát: x n = 1/n, n ³ 1.
VD: Dãy 1, –1, 1, –1 … Þ Số hạng tổng quát: x n = (–1) n – 1 ,
n ³ 1 (hoặc x n = (–1) n , n ³ 0: Có thể đánh số lại dãy số!)
Dãy số có số hạng đầu tiên, nhưng không có số hạng chót!
Trang 41 BA CÁCH XÁC ĐỊNH DÃY SỐ
-Mô tả (bằng lời): Đặc tính các số hạng của dãy VD: Dãy số tự nhiên, dãy số chẵn, số lẻ …
Công thức (biểu thức số hạng tổng quát): x n = f(n) : N ® R VD:
x n = n 2 Þ Dãy số chính phương
Truy hồi: x n (số hạng đứng sau) được tính bởi x n – 1 (số hạng đứng trước) VD: x = 2 + x
Dãy số {x n } có
thể được xác
định bởi 3 cách:
Trang 51 VÍ DỤ
-Các ví dụ dãy số được xác định hoặc bằng cách đưa ra công thức tổng quát, hoặc viết ra vài số hạng của dãy
þ ý
ü î
í
ì
³
= þ
ý
ü î
í
ì
-³
-=
-þ ý
ü î
í
-+
-= þ
ý
ü î
í
ý
ü î
í
ì
+ +
= þ
ý
ü
î
í
ì
+
¥
=
¥
=
¥
=
L L
L L
L L
L L
, 6
π cos ,
, 0
, 2
1 , 2
3 ,
1 0
, 6
π cos 6
π
cos
, 3 ,
, 3 , 2 , 1 , 0 3
, 3 3
, 3
) 1 (
) 1
( ,
, 27
4 ,
9
3 , 3
2 3
) 1 (
) 1
( 3
) 1 (
)
1
(
, 1
,
, 4
3 , 3
2 , 2
1 1
1
0 3 1
n n
n a
n
n n
n a
n
n
n a
n
n
n n
n a
n
n
n n
n n
n
n n
n n
n n
n n
Trang 61 VD DÃY XÁC ĐỊNH QUA MÔ TẢ & DÃY TRUY HỒI
-Dãy số có thể được xác định qua cách mô tả (bằng lời):
của số p Þ Dãy {c n } = {1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 4 … }
Dãy số xác định theo kiểu truy hồi: Dãy Fibonacci với
công thức truy hồi:
f1 = 1 f2 = 1 fn = fn-1 + fn-2 n ³ 3
{fn} = {1,1,2,3,5,8,13,21,…}
Trang 72 Ý TƯỞNG: GIỚI HẠN DÃY SỐ
-Bằng máy tính, lập bảng giá trị các số hạng của 2 dãy số:
1 2
2
+
=
n
n x
2
1 2
1 /
n
y b
n n
-+
=
0.5625 0.4848
4
0.46 0.4902
5
0.3889 0.4737
3
0.75 0.4444
2
–0.5 0.3333
1
yn
xn n
1
x x2 x3 x4 x 550
5
0
1
Khi n tăng, số hạng x n (và y n ) ngày càng tiến sát đến L = 0.5 theo nghĩa: Khoảng cách |x n –L|
sẽ rất bé nếu chọn n đủ lớn
Trang 8
-4 :
95 4 01
0 / x - L < = Û n > N0 =
+
=
2
1 ,
1
2 2
2
L n
n
1 2
1 1
2
+
=
-+
=
-n n
n L
x n
?
c e bất kỳ
? 001
0 / = Þ N0 =
Ngơn ngữ Giải tích: Khoảng cách |x n – L| rất bé nếu n đủ lớn
· |x n – L| rất bé Û "e > 0 sẽ cĩ |x n – L| < e (n thỏa đk nào đĩ)
· n đủ lớn Û Tìm được số tự nhiên N 0 & chỉ xét n > N 0
a) nhất
lớn nguyên
số [a]
: thích
ú û
ù ê
ë
é
÷ ø
ư ç
è
ỉ
2
1 2
1
N
ĐS:
Trang 93 ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN DÃY SỐ THỰC
-Kyù hieäu: x n L
¥
®
lim
L
e
1
Ví dụ: Câu (c) ví dụ trước cho phép thiết lập:
2
1 1
2 lim 2
2
= +
¥
n
n
Nhận xét: x n - L < e Û -e < x n - L < e Û L -e < x n < L + e
Û Số hạng x n (kể từ n > N 0 ) Î đoạn [L – e, L + e] ® Minh họa:
0
0 : ,
0
n = Û " > $ - < " >
¥
Định nghĩa: Dãy số {x n } tiến đến L (hoặc có giới hạn là L):
Khi dãy số tiến đến L: ta nói dãy hội tụ (và có giới hạn là L) Trường hợp ngược lại: ta nói dãy phân kỳ
Trang 103 MINH HỌA HÌNH HỌC DÃY HỘI TỤ
L
Trang 113 MINH HỌA HÌNH HỌC DÃY PHÂN KỲ
Từ đó kết luận về bản chất hội tụ hoặc phân kỳ của dãy
Vô số số hạng của dãy = 1 và = –1 Þ Dãy không tiến đến
Trang 123 GIỚI HẠN VÔ CÙNG – DÃY BỊ CHẶN
hạn vô cùng Nhưng Giới hạn vô cùng vẫn là phân kỳ!
0
0 : ,
lim x n M N x n M n N
n = ¥ Û " $ > " >
¥
®
0
0 : ,
lim x n M N x n M n N
n = -¥ Û " $ < " >
¥
®
Dãy {x n }: bị chặn trên Û $ M: x n < M "n {x n }: bị chặn dưới
Û $ m: x n > m "n {x n } bị chặn Û Bị chặn trên lẫn dưới.
Hiển nhiên ta có: Dãy bị chặn Þ Không có giới hạn vô cùng
Trang 134 PHÉP TỐN & TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN
-Nếu {x n }, {y n } là các dãy số hội tụ và a, b là hằng số thì:
lim
0
lim lim
lim lim
lim lim
lim
lim lim
lim
>
>
=
¹
=
×
=
+
= +
¥
®
¥
®
¥
®
¥
®
¥
®
¥
®
¥
®
¥
®
¥
®
¥
®
¥
®
¥
®
n
p n n
p n n
n n
n n
n n
n
n n
n n
n n
n n n
n n
n n
n n
n
x p
x x
y y
x y
x
y x
y x
y b
x a
by ax
và nếu
nếu
f: hàm sơ cấp Þ f(lim x n ) = lim f(x n ) VD: n n x n
x
¥
®
lim
lim
Dãy hội tụ Þ Bị chặn (Ü): Sai! $ dãy bị chặn nhưng phân kỳ
Trang 144 LIÊN HỆ GIỮA GIỚI HẠN DÃY VÀ GIỚI HẠN HÀM
¥
®
¥
®
và dãy {a n } cĩ a n = f(n) " n Þ
Như vậy, khi tìm giới hạn dãy số, ta cĩ thể thay n bằng x:
( ) lim ( ) (chỉ dùng khi an ở dạng f(n)) lim
lim a f n f x L
x n
n
¥
®
¥
®
¥
®
¥
¥
n r
Trang 155 PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN
-Chuyển về các giới hạn cơ bản & thay vào biểu thức cần tính giới hạn (nếu giá trị biểu thức xác định)
ïî
ï í
ì
= Þ
<
<
¥
= Þ
>
¥
®
¥
®
0 lim
1 0
lim 1
n n
n n
a a
a a
ïî
ï í
ì
= Þ
<
¥
= Þ
>
¥
®
¥
®
0 lim
0
lim 0
a
a
a
a
n
n
n
n
VD: Tính các giới hạn:
1
1
2 lim
2
-+
¥
® n
n a
n n
n
b
3 5
2
2
5 lim
/
+
×
-¥
®
( ) 1 lim( ) ( )1 2
1 lim 2
1 1
1
2 lim
2 2
2
2
2
=
-+
=
-+
¥
®
¥
®
¥
n n
n
n
n a
n
n n
( )
( )
1 5
3 2
5
5 2 1
5 lim
+
-¥
n n
n
b
VD: Tìm
n
nsin 1
lim
¥
® Giải: lim sin 1 1 1= 0 limsin =1
®
®
=
¥
x n
n
n x
Trang 165 TIÊU CHUẨN 3 DÃY KẸP
-Cho 3 dãy {x n }, {y n }, {z n }
ïî
ï
í
ì
=
=
³
"
£
£
¥
®
¥
N n
z y
x
n n
n n
n n
n
lim lim
0
a y
n
n
$
Þ
¥
®
¥
® & lim lim
n n
a
Hệ quả (hay sử dụng): lim = 0 Þ lim = 0
¥
®
¥
VD: Tìm các giới hạn
n
ø
ö ç
è
æ
¥
®
10 lim
/
n
n
b / lim !
¥
®
( )
n a
n n
1 lim
-¥
®
0
1 lim
0
1 lim
1 lim
¥
®
¥
®
¥
a
n n
n
n
0
! lim 0
1 2
1
! 0
×
×
=
<
¥
® n
n
n n
n n
n
n n
n b
K
2
1
10 / ÷ " >
ø
ö ç è
æ
<
÷ ø
ö ç
è
n c
n n
Trang 176 DÃY ĐƠN ĐIỆU
-VD: Khảo sát tính đơn điệu của dãy
3
2 +
=
n
x n
Giải: Dãy giảm do (hoặc xét x n – x n+1 ): 1
4
2 3
2
+
= +
>
+
n n
x
Cách 2: ( )
2 '
: 1
, 3
2
2 < Þ ¯ Þ > + +
-=
³ +
x
f
x x
x f
Dãy số {x n } được gọi là tăng khi x n < x n+1 với mọi n ³ 1, và
giảm nếu x n > x n+1 với mọi n ³ 1 Dãy tăng và dãy giảm được gọi chung là dãy đơn điệu
Dãy tăng được viết ở dạng: x 1 < x 2 < x 3 < … < x n < x n+1 < …
Dãy giảm được viết ở dạng: x 1 > x 2 > x 3 > … > x n > x n+1 > …
Trang 186 TIÊU CHUẨN DÃY ĐƠN ĐIỆU BỊ CHẶN
-Tiêu chuẩn Weirstrass: Dãy tăng & chặn trên thì hội tụ
Dãy giảm & chặn dưới thì hội tụ
å
=
= +
+ +
+
k
n
k n
x
1 2
2 2
2
1
1 3
1 2
1
VD: Khảo sát tính hội tụ của
Giải: Bước 1: Tính đơn điệu
n
n
x
+
+
=
1
Bước 2: Dãy bị chặn trên:
+
+
×
+
×
+
<
n n
x n
1
1 3
2
1 2
1
1
2
1 2
1 1
1 3
1 2
1 2
1 1
ø
ö ç
è
-+ +
÷ ø
ö ç
è
æ -+
÷ ø
ö ç
è
æ
-+
=
n n
n
6
1 2
1 1
lim
2 2
2
p
=
÷ ø
ö ç
è
¥
dựa trên kthức … lớp 9 (!), được Erdos gọi: Cminh của Chúa
Trang 196 SỐ e
-Mệnh đề: Dãy số 1 1÷ , ³1
ø
ö ç
è
æ +
n x
n
Hệ quả:
n
ø
ö ç
è
æ +
$
¥
®
1 1
lim Giới hạn này ký hiệu là số e » 2.718
1
1 1
1 1
1
ö ç
è
æ + Û
< +
+
n n
x
n n
n
Bđthức Côsi cho (n+1) số dương: n số = (1 + 1/n), 1 số = 1 Þ (1) Bước 2: Chặn trên: Khai triển nhị thức Newton và biến đổi:
ñpcm :
3 2
1 2
1 2
2 1
1 1
!
1
1 1
! 2
1
ø
ö ç
è
æ
-÷ ø
ö ç
è
æ -+
+
÷ ø
ö ç
è
æ -+
-n
n n
n n
L Euler chứng minh: e ix = cosx + isinx, x ÎR Þ e ip = –1 (*)
Hệ thức (*) liên hệ e, i và p , được gọi là Công thức của Chúa!
Trang 207 DÃY CON – TIÊU CHUẨN PHÂN KỲ
-lim x n = a Û Mọi dãy con của {x n } đều ® a: x a
k
n
¥
® lim
¥
k k
n
x 1,L, k ,L , 1 L L, lim
Cho dãy {x n } Þ Dãy con của dãy {x n }:
Dãy{x n } hội tụ Û Mọi dãy con của {x n } đều có cùng giới hạn
Dãy {x n } phân kỳ Û $ một dãy con phân kỳ của dãy {x n }
$ hai dãy con hội tụ có lim ¹ nhau VD: Chứng tỏ dãy {x } = {(–1) n } phân kỳ Giải: Xét x & x
VD: Dãy con:
{ } {2 / 2 1}
/ x n b x n+ a