Về chuẩn lôgarit của ma trận (Luận văn thạc sĩ)

Về chuẩn lôgarit của ma trận (Luận văn thạc sĩ)Về chuẩn lôgarit của ma trận (Luận văn thạc sĩ)Về chuẩn lôgarit của ma trận (Luận văn thạc sĩ)Về chuẩn lôgarit của ma trận (Luận văn thạc sĩ)Về chuẩn lôgarit của ma trận (Luận văn thạc sĩ)Về chuẩn lôgarit của ma trận (Luận văn thạc sĩ)Về chuẩn lôgarit của ma trận (Luận văn thạc sĩ)Về chuẩn lôgarit của ma trận (Luận văn thạc sĩ)Về chuẩn lôgarit của ma trận (Luận văn thạc sĩ)Về chuẩn lôgarit của ma trận (Luận văn thạc sĩ)Về chuẩn lôgarit của ma trận (Luận văn thạc sĩ)Về chuẩn lôgarit của ma trận (Luận văn thạc sĩ)Về chuẩn lôgarit của ma trận (Luận văn thạc sĩ)Về chuẩn lôgarit của ma trận (Luận văn thạc sĩ)Về chuẩn lôgarit của ma trận (Luận văn thạc sĩ)Về chuẩn lôgarit của ma trận (Luận văn thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ LAN ANH

VỀ CHUẨN LÔGARIT CỦA MA TRẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, tháng 5/2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ LAN ANH

VỀ CHUẨN LÔGARIT CỦA MA TRẬN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN THANH SƠN

Thái Nguyên, tháng 5/2018

Mục lục

1.1 Chuẩn của ma trận 3

1.1.1 Chuẩn của véc tơ 3

1.1.2 Chuẩn của ma trận 5

1.2 Chuẩn lôgarit của ma trận 8

1.2.1 Khái niệm chuẩn lôgarit 8

1.2.2 Một số tính chất của chuẩn lôgarit 9

1.3 Một số ứng dụng 16

1.3.1 Cận cho nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính 16

1.3.2 Sai số của phương pháp Euler ẩn 18

1.3.3 Sai số của phương pháp Newton-Raphson 22

2 Chuẩn lôgarit của cặp ma trận 25 2.1 Chuẩn lôgarit cho cặp ma trận 25

2.1.1 Khái niệm mở đầu 25

2.1.2 Định nghĩa chuẩn của cặp ma trận 26

2.1.3 Chuẩn lôgarit của cặp ma trận 35

2.2 Chuẩn lôgarit cho toán tử tuyến tính vô hạn chiều 402.3 Sự tăng của nghiệm 41

Bảng ký hiệu

kxkp chuẩnp

kxk∞ chuẩn vô cùng

kAkP chuẩn ma trậnAtrênP

kA, BkV chuẩn của cặp ma trậnA, B trênV h·, ·i tích vô hướng

k · k

b

m chuẩn véc tơ trên Rm

Q> ma trận chuyển vị của ma trậnQ

µ(A) chuẩn lôgarit của ma trậnA

µP(A) chuẩn lôgarit củaP AP−1

Rn×n không gian các ma trận vuông cỡn × n exp hàm lũy thừa cơ sốe

D+ đạo hàm bên phải

AD ma trận nghịch đảo Drazin củaA

Mở đầu

Khi nghiên cứu định lượng những phương trình vi phân tuyến tính và phươngtrình vi phân đại số, người ta quan tâm đến tính bị chặn của nghiệm của chúng Rõràng, đại lượng này liên quan đến một độ đo nào đó của ma trận hệ số Thông thường,việc đó làm ta liên tưởng đến một chuẩn của ma trận Song chuẩn của ma trận là đạilượng không âm nên không cho ta những ước lượng chặt cho tính bị chặn của nghiệm.Việc giới thiệu và sử dụng khái niệm chuẩn lôgarit của ma trận sẽ giúp ta khắc phụcđiều đó Không những vậy, nó còn được sử dụng trong nhiều đánh giá tính và phântích tính hội tụ của một số phương pháp số giải phương trình vi phân

Mặc dù có tầm quan trọng như vậy, nhưng chuẩn lôgarit không được giới thiệutrong chương trình đại học và cao học Chính vì lẽ đó, chúng tôi đã chọn đề tài “Vềchuẩn lôgarit của ma trận” để làm luận văn thạc sĩ Nội dung của luận văn được trìnhbày trong hai chương

Chương 1 Chuẩn lôgarit của ma trận

Trước tiên, chúng tôi nhắc lại khái niệm chuẩn thông thường của ma trận Sau

đó, chúng tôi trình bày chi tiết định nghĩa và nhiều tính chất phong phú của nó Cuốicùng, Chương I được kết thúc bằng một số ứng dụng của chuẩn lôgarit của ma trận

Chương 2 Chuẩn lôgarit của cặp ma trận

Chương này, chúng tôi trình bày khái niệm chuẩn lôgarit cho cặp ma trận (A, B)

và các tính chất của chuẩn lôgarit của cặp ma trận Khái niệm này còn được mở rộngcho cặp toán tử tuyến tính vô hạn chiều Cuối cùng, chúng tôi nghiên cứu sự tăng của

nghiệm của hệ vi phân đại số có hệ số thay đổi.

Luận văn kết thúc với phần kết luận và tài liệu tham khảo

Mặc dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện luận văn này, nhưng luận văn sẽkhông tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định Kính mong sự góp ý của các thầy

cô để luận văn này được hoàn chỉnh và ý nghĩa hơn

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thanh Sơn Tác giả xin được bày

tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người

đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm

để tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác

và nghiên cứu của bản thân Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cácThầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K10A; Nhà trường và cácphòng chức năng của Trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, ủng

hộ và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và học tập

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Lan Anh

Chương 1

Chuẩn lôgarit của ma trận

Chương này sẽ trình bày khái niệm, phát biểu và chứng minh các tính chất cùngmột số ứng dụng của chuẩn lôgarit Nội dung chính của chương này được tham khảochủ yếu từ tài liệu [2–4,7,8] Đáng chú ý, chúng tôi tự chứng minh rất nhiều tính chất

mà các tài liệu chỉ liệt kê

1.1 Chuẩn của ma trận

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày khái niệm chuẩn của ma trận Trước tiên,chúng tôi sẽ nhắc lại khái niệm chuẩn trong không gian tuyến tính Đây là những kiếnthức đã được học trong chương trình giải tích hàm Song khi trình bày ở đây, chúng tôichọn nhấn mạnh đến khía cạnh tính toán nên trình bày nó trong không gian hữu hạnchiều Khái niệm chuẩn của ma trận sau đó được trình bày dựa trên hai cách: chuẩncủa toán tử tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều hoặc chuẩn của véc tơ Để đảmbảo tính ngắn gọn, chứng minh cho các phát biểu được lược đi Người đọc có thể tìmhiểu trong tài liệu được chúng tôi tham khảo [3]

1.1.1 Chuẩn của véc tơ

Chuẩn được sử dụng để tính toán các sai số trong phép tính ma trận, bởi vậy chúng

ta cần hiểu làm thế nào để tính toán và vận dụng chúng

Định nghĩa 1.1.1 Chuẩn trong không gian tuyến tính Rnlà một hàmk · k :Rn −→R,

thỏa mãn tất cả những tính chất sau đây:

1) kxk ≥ 0, vàkxk = 0khi và chỉ khix = 0;

2) kαxk = |α|kxkvới bất kỳ vô hướngα;

3) kx + yk ≤ kxk + kyk

Ví dụ 1.1.2 Các chuẩn phổ biến làkxk p = Pi|xpi|
1/pvới1 ≤ p < ∞mà ta hay gọi

là các chuẩnp, chuẩnkxk∞= maxi|xi|, mà ta gọi là chuẩn∞hay chuẩn vô cực.

Ta có thể chứng minh dễ dàng rằng, nếu kxk là chuẩn bất kỳ và C là ma trậnkhông suy biến bất kỳ, thìkCxkcũng là một chuẩn

Bây giờ ta định nghĩa các tích vô hướng, khái quát hóa của tích vô hướng tiêuchuẩn Pixiyivà phát sinh thường xuyên trong đại số tuyến tính

Định nghĩa 1.1.3 Cho Rnlà không gian tuyến tính thực Hàm sốh·, ·i :Rn ×Rn −→R

được gọi là một tích vô hướng nếu các tính chất sau được thỏa mãn:

Định nghĩa 1.1.5. xvàylà trực giao nếuhx, yi = 0.

Một tính chất quan trọng của một tích vô hướng là nó thỏa mãn bất đẳng thứcCauchy-Schwartz Điều này dẫn đến việc ta có thể chứng minh phx, xilà một chuẩn

Bổ đề 1.1.6 Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz.|hx, yi| ≤phx, xihy, yi.

Bổ đề 1.1.7 phx, xilà một chuẩn.

Có một tương ứng 1 − 1 giữa các tích vô hướng và những ma trận đối xứng xácđịnh dương được định nghĩa dưới đây Những ma trận này xuất hiện thường xuyêntrong ứng dụng

Định nghĩa 1.1.8 Một ma trận thực đối xứngAlà xác định dương nếux>Ax > 0vớimọix 6= 0 Ta viết tắt đối xứng xác định dương là s.p.d

Bổ đề 1.1.9 Cho B = Rn và h·, ·ilà một tích vô hướng Thì có một ma trậnA s.p.d

cỡn × nmàhx, yi = y>Ax Ngược lại, nếuAlà s.p.d thìy>Axlà một tích vô hướng.

Hai bổ đề dưới đây cho phép so sánh các chuẩn khác nhau trên cùng một khônggian hữu hạn chiều

Bổ đề 1.1.10 Cho k · kα vàk · kβ là hai chuẩn trên Rn Có các hằng số C1, C2 > 0

mà, với mọix,C 1 kxk α ≤ kxkβ ≤ C 2 kxk α Ta cũng có thể nói rằng các chuẩnk · k αvà

k · kβ là tương đương với các hằng sốC1, C2.

2) kαAk = |α|kAk;

3) kA + Bk ≤ kAk + kBk

Ví dụ 1.1.13. maxij|aij|được gọi là chuẩnmaxvà P|aij| 2
1/2

= kAkF được gọi là

chuẩn Frobenius

Định nghĩa dưới đây hữu ích cho việc chặn chuẩn của tích các ma trận

Định nghĩa 1.1.14 Cho k · k m×n là một chuẩn ma trận trên ma trận m × n,k · k n×p

là một chuẩn ma trận trên ma trận n × p Các chuẩn này được gọi là tương thích nếu

kABkm×p ≤ kAkm×nkBkn×p, ở đâyAlà ma trậnm × nvàB là ma trậnn × p

kAxk

b m

kxk

b n

được gọi là chuẩn toán tử hay chuẩn cảm sinh.

Bổ đề tiếp theo cung cấp một nguồn lớn các chuẩn ma trận, ta sẽ sử dụng chúngcho giới hạn sai số

Bổ đề 1.1.16 Một chuẩn toán tử là một chuẩn ma trận.

Định nghĩa 1.1.17 Một ma trận thựcQvuông là trực giao nếuQ−1 = Q>

Bổ đề tiếp theo tóm tắt những tính chất chủ yếu của các chuẩn và các ma trậnchúng ta đã giới thiệu

Bổ đề 1.1.18.

1. kAxk ≤ kAkkxk với một chuẩn vectơ và chuẩn toán tử của nó, hoặc 2− chuẩn vectơ và chuẩn ma trận Frobenius;

2. kABk ≤ kAkkBk với bất kỳ chuẩn toán tử hoặc chuẩn ma trận Frobenius Nói cách khác chuẩn toán tử bất kỳ (hay chuẩn Frobenius) cùng đồng nhất với chính nó;

3 Chuẩnmaxvà chuẩn Frobenius không là các chuẩn toán tử;

4. kQAZk = kAk nếu A và Z là trực giao hay đơn vị với chuẩn Frobenius và với chuẩn toán tử sinh bởik · k2 Đây chính là Định lý Pythagore;

5. kAk∞ ≡ maxx6=0 kAxk∞

7. kAk 2 ≡ maxx6=0 kAxk2

9. kAk2 = maxi|λi(A)|nếuAlà chuẩn tắc, tức là,AA> = A>A;

10 NếuAlàn × n, thìn−1/2kAk2 ≤ kAk1 ≤ n 1/2 kAk2;

11 NếuAlàn × n, thìn−1kAk 2 ≤ kAk∞ ≤ n1/2kAk 2;

12 NếuAlàn × n, thìn−1kAk∞≤ kAk1 ≤ nkAk∞;

13 NếuAlàn × n, thìkAk1≤ kAkF ≤ n1/2kAk2.

1.2 Chuẩn lôgarit của ma trận

1.2.1 Khái niệm chuẩn lôgarit

Định nghĩa 1.2.2 ChoA là ma trận vuông thực cỡn × n, k.klà một chuẩn ma trậntrên không gian các ma trận vuông Rn×n Khi đó, chuẩn lôgarit của ma trận A được

ký hiệu làµ(A) và được định nghĩa là giới hạn

µ(A) = lim

h→0 +

kI + hAk − 1

Nhận xét 1.2.3 Chuẩn lôgarit của ma trận không thỏa mãn các tiên đề của chuẩn,

chẳng hạn, nó có thể là một số âm, hay µ(A) = 0không dẫn đến A = 0 Tuy nhiên,tính chất có thể là số âm lại chính là một điểm lợi so với những chuẩn khác khi sửdụng chuẩn này để đánh giá tính bị chặn của nghiệm của phương trình vi phân Ngoài

ra, nó cũng có những tính chất phong phú khác mà ta sẽ cùng tìm hiểu trong mục tiếptheo

1.2.2 Một số tính chất của chuẩn lôgarit

Mệnh đề 1.2.4 Chuẩn lôgarit có các tính chất sau đây

(i) µ(I) = 1,µ(−I) = −1,µ(0) = 0;

(ii) µ(A + cI) = µ(A) + c, c ∈R;

(iii) µ(A + B) ≤ µ(A) + µ(B);

(iv) µ(αA) = |α|µ(sgn(α)A), ∀ α ∈R, trong đósgn(α) =

nói riêng,µ(αA) = αµ(A), ∀ α ≥ 0;

(v) −kAk ≤ −µ(−A) ≤ µ(A) ≤ k(A)k;

(vi) |µ(B) − µ(A)| ≤ max{|µ(B − A)|, |µ(A − B)|} ≤ kB − Ak;

(vii) Một giá trị riêng bất kìλcủaAluôn thỏa mãn

−µ(−A) ≤ Reλ(A) ≤ µ(A);

(viii) Với mọix ∈Rn,kAxk ≥ max{−µ(−A), −µ(A)}kxk;

(ix) Giả sửAlà ma trận không suy biến Khi đó

với α > 1, cho h → ∞, ta suy ra µ(αA) = αµ(A) Trong trường hợp α = 0,

µ(αA) = αµ(A)vì cùng bằng 0 Vớiα < 0, ta có

(v) Doµ(−A) ≤ kAknên−µ(−A) ≥ −kAk

Để chứng minh−µ(−A) < µ(A), ta xét quan hệ

0 = kI + h(A − A)k − 1

= 1

2(k(I + 2hA) + I + 2h(−A)k − 2)

≤ 1

2[(kI + 2hAk − 1) + (kI + 2h(−A)k − 1)]

Chia choh > 0ta được

hay−µ(−A) ≤ µ(A)

Ta chứng minhµ(A) ≤ kAk Thật vậy, vớih > 0, ta có

= |kI + hAk − kIk|

(vi) Bất đẳng thức thứ hai dễ dàng suy ra từ (v) và tính chất củak · k.

Xét bất đẳng thức thứ nhất, trước tiên ta có thể kiểm tra µ(B − A)vàµ(A − B)

luôn trái dấu nhau hoặc cùng bằng 0

Nếuµ(B) − µ(A) ≥ 0 Từ (iii)

µ(B − A) + µ(A) ≥ µ(B)

hayµ(B − A) ≥ µ(B) − µ(A)

Nếuµ(B) − µ(A) < 0, từ (iii), ta có

µ(B) + µ(A − B) ≥ µ(A)

hay0 > µ(B) − µ(A) > −µ(A − B).

(vii) Ta chứng minhReλ(A) ≤ µ(A)

Thật vậy, gọixlà vec tơ riêng ứng với giá trị riêngλcókxk = 1 Khi đó,∀ h ∈R

Choh → 0+, ta suy ra điều phải chứng minh

Ta chứng minh−µ(−A) ≤ Reλ(A)

Choe ∈Cn là một véc tơ đặc trưng củaA, ứng với giá trị riêngλ, vì vậyAe = λe

vàkI + h(−A)k ≥ |e − hλe| Bởi vậy,

y6=0

kA −1 yk kyk

= 1sup

x6=0

kxk kAxk

= inf

x6=0

kAxk kxk

≥ max{−µ(−A), −µ(A)}(theo tính chất (viii).

Mệnh đề 1.2.5 Nếu A(t)là hàm liên tục theo t trên[a, b] thì hàmγ(t) = µ(A(t)) là hàm liên tục trên[a, b].

Chứng minh. Với mọi ε > 0, doA là hàm liên tục theo t, k.klà hàm liên tục theo A

nên ta có thể chọn đượcδsao cho∀t1, t2 ∈ [a, b]mà|t1−t2| < δthìkA(t1)−A(t2)k < ε

Sử dụng tính chất (vi) của Mệnh đề 1.2.4, ta suy ra

|γ(t1) − γ(t2)| = |µ(A(t1)) − µ(A(t2))| ≤ kA(t1) − A(t2)k < ε.

Mệnh đề 1.2.6 Chuẩn lôgarit là một hàm lồi Nghĩa là,∀λ ∈ [0, 1] :

Mệnh đề 1.2.7 Giả sửk.klà một chuẩn đã cho trong Rn Kí hiệuP ∈ Rn×n là một

ma trận không suy biến bất kì Ta định nghĩakxkP := kP xkvà kí hiệuµP(.)là chuẩn lôgarit tương ứng Khi đó

kI + hAkmax = max

Chuyển 1 sang vế trái, chia cả 2 vế choh, rồi choh → 0+ta có điều phải chứng minh.Chuẩnµ1(A)chứng minh tương tự.

Để chứng minh khẳng định thứ ba, trước tiên, ta chú ý rằng λ i (sgn(A)) là các sốthực Vớih > 0

1.3.1 Cận cho nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

Bài toán cổ điển về tính ổn định cho nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

˙

y = A(t)y + b(t)

được đưa về bài toán xác định các cận cho nghiệm của phương trình thuần nhất tươngứng

˙

Ta có kết quả sau đây

Định lí 1.3.1 NếuA(t) là một hàm ma trận liên tục vớit ≥ t0 thì với y(t)là nghiệm bất kỳ của (1.1) thì

(i) |y(t)| exp−Rt

t 0 µ[A(s)]dslà một hàm không tăng củat;

(ii) |y(t)| expRtt

0 µ[−A(s)]ds



là một hàm không giảm và đặc biệt;

(iii) |y(t0)| exp−Rtt

0 µ[−A(s)]ds≤ |y(t)| ≤ |y(t0)| expRtt

0 µ[A(s)]ds.

Chứng minh. Từ giả thiết và Mệnh đề 1.2.5, µ(A(t)) là một hàm liên tục theo t Đặt

r(t) = |y(t)|, ta có đạo hàm bên phảir+0 (t)được tính bởi:

thỏa mãnw0+(t) ≤ 0nên nó là một hàm không tăng

Ý (ii) của định lý được chứng minh bằng cách đổi biếnt thành−t

Ý (iii) được suy ra từ công thức nghiệm của phương trình tuyến tính

1.3.2 Sai số của phương pháp Euler ẩn

yn+1 = yn+ h ˙ yn+1, ∀n ∈ Z+ (1.3)

y0: đã chovớih > 0là một cỡ bước

Bổ đề 1.3.2 (Được mở rộng từ [2]) Cho A(t) ∈ Rd×d với mọi t ∈ R và t 7→ A(t) là liên tục từng khúc Thì giới hạn của ma trận chuyển tiếpΦ(t, t0)được kết hợp vớiA(·)

Định lí 1.3.3 Giả sử rằng f (0, t) = 0 với mọi t ∈ R+ và x 7→ f (x, t) trơn lớp C1

với mọi t ∈ R+ Nếu tồn tại một chuẩn vectơ trong Rd và một hằng số m > 0 mà

−µ[D1f (x, t)] ≥ m > 0 với mọix ∈ Rd, với mọit ∈ R+ (ở đâyD1f (x, t)là đạo hàm của ánh xạx 7→ f (x, t)), thì

cả u(·) và ˙u(·) là bị chặn trong R+, và có tồn tại hằng số k 1 và l 1 sao cho

kD1f (x, t)k ≤ k1 và |D2f (x, t)| ≤ l1 với mọi x ∈ Rd, ∀t ∈ R+, thì tồn tạiρ > 0

độc lập vớihmà

|xn− yn| ≤ (1 + mh)−n|x0− y0| + ρh, n ≥ 1. (1.6)

Định lý 1.3.3chỉ ra rằng nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ đều ổn định mũ vàsai số xấp xỉ tích lũy bị chặn trên Trong ước lượng sai số này, sai số ban đầu giảmtheo bậc số mũ và sai số xấp xỉ địa phương không bị cộng dồn vô hạn Sử dụng kỹthuật tương tự, ta có thể chỉ ra sai khác giữa hai nghiệm của phương trình (1.2) ứngvới điều kiện ban đầu và đầu vào khác nhau sẽ hội tụ đến0khit −→ ∞nếu sai khácgiữa hai đầu vào cũng hội tụ về0 Kết quả này cũng đúng với một số chuẩn khác màchúng tôi không trình bày ở đây

Chứng minh.

1 Thấy rằng, nghiệmx(·)của (1.2) bằng nghiệm của hệ tuyến tính phụ thuộc thờigian

˙x = A(t)x + u(t) x(0) = x 0

Bằng giả thiết và tính chất củaµ(.), chúng ta có được

|yn| + h|un+1| ≥ |yn+ hun+1|

=

2 Định nghĩa sai số địa phương{ξn}∞0 bằng

ξn ,xn+1− xn− h ˙xn+1, n ≥ 0. (1.12)Thứ nhất, chú ý rằng x(·)và u(·)bị chặn trên [0, ∞) Lấy vi phân cả hai vế của(1.2) đối với:

¨ x(t) = D1f (x, t)[f (x, t) + u(t)] + D2f (x, t) + ˙u(t). (1.13)

Choρ, ρ 1 /(2m), thì bất đẳng thức (1.6) được chứng minh.

1.3.3 Sai số của phương pháp Newton-Raphson

Xét phương trình sai phân

xk+1 = f (xk) (1.20)trong đó xk ∈ Rd với mọi k ∈ Z+ và f : Rd −→ Rd là liên tục Vì vậy, với mọi

x0 ∈ Rd, nghiệm {x(k, x0)}∞0 của (1.20) là định nghĩa duy nhất và cố định với mỗi

k ∈Z+ , x 7→ x(k, x 0 )là liên tục

Hội tụ của phương pháp Newton - Raphson

Bài toán: Cho f : Rd −→ Rd và f ∈ C1 Cho một vài y ∈ Rd tìm x∗ sao cho

f (x∗) = y Phương pháp sử dụng phép lặp:

xk+1 = xk− [Df (xk)]−1[f (xk) − y], k = 0, 1, 2, (1.21)vớix0cho trước

Định lí 1.3.4 Giả sử

1. f : Rd →Rd vàf ∈ C1;

2 Tồn tại m > 0 để cho hoặc −µ[Df (x)] ≥ m > 0 hay −µ[−Df (x)] ≥ m > 0,

∀ x ∈Rd;

xk+1 = f (xk) (1.20)trong xk ∈ Rd với k ∈ Z+ f... phương{ξn}∞0 bằng

ξn ,xn+1− xn− h ˙xn+1,... ˙xn+1, n ≥ 0. (1.12)Thứ nhất, ý x(·)và u(·)bị chặn [0, ∞) Lấy vi phân hai vế của( 1.2) đối với:

ă x(t) = D1f