Đại số lie của các nhóm lie ma trận luận văn thạc sỹ toán học

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinhLê Thế mạnh Đại số Lie của các các nhóm Lie ma trận Luận văn thạc sĩ toán học... Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinhLê Thế Mạnh Đại số Lie

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh

Lê Thế mạnh

Đại số Lie của các các nhóm Lie ma

trận

Luận văn thạc sĩ toán học

Vinh - 2011

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh

Lê Thế Mạnh

Đại số Lie của các nhóm Lie ma trận

MỤC LỤC

Trang

1

Chương I Đại số Lie 3

1.1 Đại số Lie 3

1.2 Đồng cấu Lie 8

1.3 Phép đạo hàm trên đại số Lie 12

Chơng II Đại số Lie của các nhóm Lie ma trận 17

2.1 Nhóm Lie 17

2.2 Đại số Lie của nhóm Lie 25

2.3 Đại số Lie của các nhóm Lie ma trận 31

Kết luận 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

Lời mở đầu

Như chỳng ta đó biết, trong sự phỏt triển của Toỏn luụn xảy ra hai quỏ trỡnh song song, đú là sự phõn chia thành nhiều ngành để cú sự nghiờn cứu ngày càng sõu sắc, mặt khỏc cú sự kết hợp cỏc ngành Toỏn học khỏc nhau để cú những thành tựu lớn Cú thể núi: Lý thuyết nhúm Lie và đại số Lie là sự kết hợp giữa cỏc chuyờn ngành Hỡnh học – Tụpụ, Giải tớch và Đại số Do đú đại số Lie là một bộ phận quan trọng của toỏn học hiện đại và nú trở thành một cụng cụ hữu hiệu đối với cỏc nghiờn cứu trờn đa tạp

Vào cuối thế kỷ 19 đó xuất hiện sự kết hợp lý thuyết nhúm và hỡnh học Riemann trong cỏc cụng trỡnh chủ yếu của Phờlix Klein (1849 – 1925) và Xụphux Lie (1842 – 1899) Lý thuyết nhúm Lie và đại số Lie cũng được ứng dụng nhiều trong cỏc nghiờn cứu về lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng tử và cỏc ngành khỏc nhau của toỏn học

Đại số Lie của nhóm Lie các ma trận là một trong những vấn đề quan trọng của đại số Lie Trờn cơ sở một số kết quả của cỏc nhà toỏn học lớn như Serre, Helgason…, và một số tài liệu nghiờn cứu theo hướng trờn, dưới sự hướng dẫn của

thầy giỏo PGS TS Nguyễn Hữu Quang chỳng tụi nghiờn cứu đề tài: “ Đại số Lie của các nhóm Lie ma trận ”

Bài toán chúng tôi đặt ra là trình bày về đại số Lie của một số nhóm Lie ma trận cơ bản Nội dung chủ yếu của luận văn là tập hợp một cách hệ thống, trình bày và chứng minh chi tiết về đại số Lie, đại số Lie của các nhóm Lie ma trận.

Luận văn được hoàn thành vào thỏng 12 năm 2011 tại Trường Đại học Vinh với sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Hữu Quang Nhõn dịp này, tỏc giả xin

chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người đã hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học - Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn

Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

Chơng I

Đại số Lie

Trong chơng này, chúng tôi trình bày các tính chất cơ bản về đại số, đại số Lie

G trên trờng K, phép đạo hàm trên đại số và các đồng cấu Lie

+ Nếu tích trong có tính chất giao hoán thì G dợc gọi là đại số giao hoán

+ Nếu tích trong có tính chất kết hợp thì G dợc gọi là đại số kết hợp

+ Nếu ab = 0 ∀a,b ∈ G, ta nói G là một đại số tầm thờng

ii) [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0 ; ∀x, y, z ∈ G

Chú ý: Điều kiện i có thể thay thế bằng [x, x] =0 ; ∀x ∈ G

1.1.4 Nhận xét

a) Mọi đại số tầm thờng G đều là đại số Lie

b) Cho G là một khụng gian n - chiều trờn trường K Cấu trỳc đại số Lie trờn G cú thể được cho bởi múc Lie của từng cặp vectơ thuộc cơ sở {e1, e2, , en} đó chọn

cho trước trờn G như sau: [ei, ej ] =

1

,1

n k ij k

thỡ: ϕX : p a ϕ( )p Xrp; ∀ p ∈Ă , là khụng gian vộc tơ trờn trường n Ă

Với hai phép toán trên thì G là một mô đun trên F(Ă n) ( ổ đây F(Ă n) là vành giao hoán có đơn vị các phép ánh xạ khả vi từ Ă n →Ă n)

Mặt khỏc, dễ dàng chứng minh được tớch Lie [X, Y] = D X Y − D Y X cú tớnh chất

song tuyến tớnh nờn B (Ă n ) trở thành một đại số.

Ở đõy ta chỉ kiểm tra cỏc điều kiện của đại số Lie

Với mọi X thuộc B ( Ă ), dễ thấy [X, X] = D n X X - D X X = 0.

Với mọi X, Y, Z thuộc B ( Ă ), mọi f thuộc F( n Ă n ), xột

[X, [Y, Z]] [f] = X[[Y, Z][f]] – [Y, Z][X[f]]

= X[Y[Z[f]]] – X[Z[Y[f]]] –Y[Z[X[f]]] + Z[Y[X[f]]]

Hoàn toàn tương tự ta cú:

[Y, [Z, X]][f] = Y[Z[X[f]]] – Y[X[Z[f]]] – Z[X[Y[f]]] + X[Z[Y[f]]]

[Z, [X, Y]][f] = Z[X[Y[f]]] – Z[Y[X[f]]] – X[Y[Z[f]]] + Y[X[Z[f]]]

Cộng vế theo vế ta cú ngay đẳng thức Jacobi Vậy G = B ( Ă ) là một đại số Lie n

b) Khụng gian Ă với tớch cú hướng thụng thường là một đại số Lie thực 3-chiều.3Hiển nhiờn Ă là một khụng gian vectơ trờn trường số thực nờn ta chỉ cần kiểm tra 3

3 tớnh chất của múc Lie [x, y] = x ∧ y

∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), z = (z1, z2, z3) ∈ R3, λ1, λ2 ∈ R ta cú:

+ [λ1x + λ2y, z] = (λ1x + λ2y) ∧ z = λ1x ∧ z + λ2y ∧ z = λ1[x, z] + λ2[y, z]

và [x, λ1y + λ1z] = x ∧ (λ1y + λ1z) = λ1x ∧ y + λ2x ∧ z =

[αX + βY,Z] = ([αX1 + βY1, Z1], , [αXn + βYn, Zn])

Giả sử G là một đại số kết hợp trờn trường K Ta đặt [a, b] = a.b − b.a ; ∀a,

b ∈ G Khi đú G là đại số Lie.

Chứng minh:

Ở đõy, ta chỉ kiểm tra tớnh chất phản xứng và đẳng thức Jacobi của [,]

Ta cú [a, a] = a.a − a.a = 0.

Và [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]]

= [a, bc – cb] + [b, ca – ac] + [c, ab – ba]

= abc – acb – bca + cba +bca – bac – cab +acb +cab – cba – abc + bac

= 0

Vậy nếu G là một đại số kết hợp trờn trường K, với [a, b] = ab – ba;

∀a, b ∈ G thỡ G là đại số Lie.

1.1.8 Mệnh đề

Giả sử V là không gian vec tơ trên K Xét tích Lie : [f,g] = fog-gf với f,g ∈

End(V) Khi đó End(V) là một đại số Lie trên K ( ở đây End(V) là tập các tự đồng cấu tuyến tính V → V)

b) ) Ta xét G = { (0, 0, x3 , x4 , x5 ) x3 , x4 , x5 ∈ ¡ }

Trên G ta trang bị phép tính tích Lie như sau:

Với mọi x, y thuộc G thì

Giả sử ϕ: G → G’ là một đồng cấu Lie Khi đó:

i) Imϕ là đại số Lie con của G’

ii) Kerϕ là Iđêan của G.

Chứng minh:

i) Giả sử a’, b’ ∈ Imϕ ⇒ ∃a, b ∈ G sao cho: a’ = ϕ(a); b’ = ϕ(b)

⇒ α a’ + βb’ = α ϕ(a) + β ϕ(b) = ϕ(α a + βb) ;

⇒ α a’ + βb’ ∈ Imϕ; ∀α , β ∈ K

⇒ Imϕ là con của G’.

Mặt khác: Ta có: [a’, b’] = [ϕ(a), ϕ(b)] = ϕ[a, b] ∈ Imϕ.

⇒ < [a’, b’]| a’, b’ ∈ Imϕ> ⊂ Imϕ ⇒ [Imϕ, Imϕ] ⊂ Imϕ.

⇒ Imϕ là đại số Lie con của G’.

ii) ∀a, b, c ∈ Kerϕ ⇒ ϕ(a) = ϕ(b) = 0;

∀α , β ∈ K ta có: ϕ(α a + βb) = α ϕ(a) + β ϕ(b) = 0.

⇒ α a + βb ∈ Kerϕ ⇒ Kerϕ là không gian vectơ con của L.

Bây giờ ta chứng minh: [G, Kerϕ] ⊂ Kerϕ.

Thật vậy, ∀a ∈ G, ∀b ∈ Kerϕ ⇒ ϕ[a, b] = [ϕ(a), ϕ(b)] = [ϕ(a), 0] = 0.

⇒ [a, b] ∈ Kerϕ ⇒ [G, Kerϕ] ⊂ Kerϕ.

⇒ Kerϕ là Iđêan của G.

1.2.4 Chú ý

i) ϕ được gọi là đẳng cấu Lie nếu và chỉ nếu ϕ song ánh và ϕ lµ đồng cấu Lie

ii) Hai đại số Lie G, G’ được gọi là đẳng cấu nếu có đẳng cấu Lie

Do ϕ là song ánh nªn ϕ − 1[a, b] = [ϕ − 1(a), ϕ − 1(b)] VËy ϕ − 1 là đồng cấu Lie.

Hay ϕ − 1 là đẳng cấu Lie Tøc lµ G’≅ G

+) Giả sử G ≅ G’; G’≅ G’’ Ta cã ∃ các đẳng cấu Lie:

ϕ: G → G’ ; φ: G’→ G’’

Ta chứng minh φoϕ: G→ G’’ cũng là đẳng cấu Lie

Thật vậy, do ϕ, φ là song ánh ⇒ φoϕ cũng là song ánh.

∀a, b ∈ G ta có: φoϕ[a, b] = φ[ϕ(a), ϕ(b)] = [φoϕ(a), φoϕ(b)];

⇒ φoϕ là đồng cấu Lie, ta suy ra φoϕ là đẳng cấu Lie.

Ta ký hiệu M = { φ | φ là các tự đẳng cấu của G, G là không gian véc tơ} Lúc này

M là một nhóm với phép nhân các ánh xạ thông thường Để chứng minh L là một

nhóm, ta sẽ chứng minh L là nhóm con của M Cụ thể ta cần chứng minh nếu

= [a, b]

Do đú ϕ ϕ ( − 1[a b, ] )

= ϕ[ϕ − 1(a), ϕ − 1(b)].

Lại do ϕ là song ỏnh nờn ϕ− 1[a b, ] = [ϕ − 1(a), ϕ − 1(b)]

Từ đú ta cú ϕ − 1 là đồng cấu Lie Do đú ϕ − 1 là đẳng cấu Lie Vậy L lập thành một

nhúm với phộp nhõn cỏc ỏnh xạ thụng thường

1.3 Đạo hàm trên đại số Lie G

1.3.1 Định nghĩa (Xem [4])

Ánh xạ D: G → G

a  D(a)

được gọi là đạo hàm trên G nếu và chỉ nếu: i) D là ỏnh xạ tuyến tớnh

ii) D[a, b] = [D(a), b] + [a, D(b)]

Việc chứng minh mệnh đề i tương đối đơn giản, ta chỉ kiểm tra điều kiện ii)

trong định nghĩa, của ỏnh xạ D1 oD2 - D2 oD1

Thật vậy, ∀a, b ∈ G ta cú:

D[a, b] = (D1 oD2 - D2 oD1)[a, b]

= D1(D2 [a, b]) - D2 (D1[a, b])

= D1([D2 (a), b] + [a, D2 (b) ]) - D2 ([D1(a), b] + [a, D1(b)]

= [D1(D2 (a)), b] + [D2 (a), D1(b)] + [D1(a), D2 (b)] + [a, D1(D2

(b))]

- [D2 (D1(a)), b] - [D1(a), D2 (b)] - [D2 (a), D1(b)] - [a, D2 (D1(b))] = [(D1 oD2 - D2 oD1)(a), b] + [a, (D1 oD2 - D2 oD1)(b)]

⇒ D là ánh xạ đạo hàm trên G.

Kí hiệu: DerG = {D | D là ánh xạ đạo hàm trên G}

Ta đưa vào DerG các phép toán: +) (D1 + D2 )(a) = D1(a) + D2 (a) ; ∀a ∈ G +) (α D1)(a) = α D1(a) ; ∀a ∈ G, ∀α ∈

[[D1, D2 ], D3](a) = [D1, D2 ](D3(a)) - D3([D1, D2 ](a))

= D1(D2 (D3(a))) - D2 (D1(D3(a))) - D3(D1(D2 (a))) + D3(D2 (D1

(a))) [[D2 , D3], D1](a) = [D2 , D3](D1)(a) - D1([D2, D3](a))

= D2 (D3(D1(a))) - D3(D2 (D1(a))) - D1(D2 (D3(a))) + D1(D3(D2

(a)))

[[D3, D1], D2 ](a) = [D3, D1](D2 )(a) - D2 ([D3, D1](a))

= D3(D1(D1(a))) - D1(D3(D2(a))) - D2 (D3(D1(a))) + D2 (D1(D3

Ta biết rằng: Không gian véc tơ Euclid ¡ cùng với tích Lie 3 [x y, ] = ∧x y

là đại số Lie Với mỗi x∈¡ , xét ánh xạ:3

ad x : ¡ 3 → ¡ 3

y a ad y x( ) = x ∧y.

Khi đó ad x là một ánh xạ đạo hàm trên không gian véc tơ Euclid ¡ 3

Thật vậy, dễ thấy ad x là một ánh xạ tuyến tính

Mặt khác, với mọi y, z thuộc ¡ 3, ta có:

D ad =ad với ∀x∈G.

1.3.8 Mệnh đề:

G a = {ad x | x ∈ G} là một Iđêan của DerG.

Chứng minh:

Để chứng minh G a là một idean của DerG ta cần chứng minh G a là không

gian véctơ con của DerG và [DerG, G a ] ⊂ Ga

Thật vậy, với ∀α ∈ K; ∀a b, ∈ G

ta luôn có: ad a + ad b = ad a + b ∈ G a và αad a ∈ G a

Với D bất kỳ thuộc DerG, mọi ad a thuộc G a Theo mệnh đề 3.7 ta có

[D ad, x] =ad D x( ) ∈G a Vậy G a là một Idean của DerG.

ϕ[a, b](y) = [[a, b], y] = [a, [b, y]] + [b, [a, y]] = ada [b, y] + adb [a, y]

= ϕ(a)(ϕ(b)(y)) - ϕ(b)(ϕ(a)(y)) = [ϕ(a), ϕ(b)](y) ;

∀y ∈ G

⇒ ϕ[a, b] = [ϕ(a), ϕ(b)]

VËy ϕ là đồng cấu Lie.

ii) Giả sử x ∈ Kerϕ, y ∈ G; ta có: [x, y] = adx (y) = 0, ∀y ∈ G ⇒ x ∈ T (T

Cho G là một đại số Lie trên trường K Nếu ψ là một tự đẳng cấu bất kỳ

của G thì với mọi x thuộc G ta luôn có 1

) ( = ψ ψ −

) (

) (x ad x

Trong chơng này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản về nhóm Lie, đại số của các nhóm Lie Đặc biệt chúng tôi sẽ chỉ ra đại số Lie của các nhóm Lie ma trận.

2.1 Nhóm Lie

Trong mục này chúng tôi hệ thống lại các khái niệm về nhóm Lie đã đợc trình bày trong [4], [ 7 ] ; [ 8 ] để tiện cho việc sử dụng trong các mục tiếp theo, mà trớc hết là một số khái niệm về đa tạp khả vi

là ánh xạ khả vi lớp C∞

2.1.3 Ví dụ.

a) Tập số thực khác không R* với cấu trúc khả vi thông thờng là một nhóm đối với

phép nhân thông thờng và là một nhóm Lie Aben

c) GL(n , R) là tập các ma trận vuông thực, cấp n, không suy biến là một nhóm đối

với phép nhân các ma trận và là một đa tạp con mở trong đa tạp Mn cũng là một nhóm Lie (giao hoán khi n = 1 và không giao hoán khi n > 1)

Chứng minh:

+) GL(n , R) là một nhóm: Lấy A, B ∈ GL(n , R), ta có:

det (A.B-1) = det A det B-1 = det A det1B ≠ 0

Do đó A.B-1∈ GL(n , R) nên GL(n , R) là nhóm con của R n2

+) GL(n , R) là một đa tạp khả vi:

Xét ánh xạ det: Mat(n, R) → R

X a det X

ánh xạ det là ánh xạ khả vi

Ta lại có det (Mat (n , R)\GL(n , R)) = { 0 } là tập đóng trong R với tôpô tự

nhiên, suy ra det - 1({ 0 }) = Mat(n , R) \ GL(n , R) là tập đóng trong Mat(n , R) (do

det là ánh xạ liên tục) Vậy GL(n , R) là tập mở trong Mat(n , R).

Ta đồng nhất Mat(n , R) với Rn2 là một đa tạp khả vi, suy ra GL(n , R) là

một đa tạp khả vi

+) Các ánh xạ:

f: (GL(n , R), GL(n , R)) → GL(n , R)

(A, B) a A.Bvà:

i) Phép tịnh tiến phải theo a:

R a : G → G

x a R a (x) = xa; ∀ x∈ G ii) Phép tịnh tiến trái theo a:

L a : G → G

x a L a (x) = ax; ∀ x∈ G iii) Phép lấy nghịch đảo:

ϕ : G → G

x a ϕ(x) = x -1 ; ∀ x∈ G Chứng minh:

Ra là một song ánh Ta chứng minh Ra liên tục Cho bất kỳ lân cận W của xa,

ta chứng minh tồn tại lân cận U của x để Ra (U) ⊂ W Thật vậy, từ tính liên tục của phép toán nhóm ϕ trong G, tồn tại lân cận U của x và lân cận V của a để UV ⊂ W

Nhng Ra (U) = Ua ⊂ UV Do vậy Ra (U) ⊂ W, tức U chính là lân cận cần thiết

Mặt khác (Ra)-1 là liên tục Ta lu ý rằng:

(Ra)-1: xa a x và x = (xa)-1a-1

Do vậy, nếu ký hiệu xa = y thì:

(Ra)-1 = y a ya-1nghĩa là (Ra)-1 = Ra-1

Do vậy Rb liên tục đối với ∀ b ∈ G Vậy là (Ra)-1 liên tục, tức Ra-1 liên tục Bây giờ chứng minh Ra là vi phôi:

VP mở trong G; lấy a ∈ P; phơng pháp tơng tự ta có Va mở trong G ⇒ VP = ∪ Va

mở trong G Tơng tự đối với PV, V-1

↔ Vì phép toán nhóm là khả vi nên phải liên tục, lại vì ee-1 = e và G\F là lân cận của e, nên tồn tại lân cận mở V của e để V-1 V⊂ G\F

↔Do yV mở ⇒ U =

y F∈

∪ yV mở Rõ ràng U là tập mở chuẩn F

↔ chứng minh U là một lân cận của F và là lân cận muốn tìm Giả sử với

y ∈ F mà V∩ yV = φ Khi đó có z, z1 ∈ V, z = yz1 suy ra y = z.z-1 ∈ G\F Điều này mâu thuẫn Vậy yV ∩ V = φ, ∀ y ∈ F Từ đó U ∩ V = φ

Khi đó U.y là lân cận của y ∉ H.

Giả sử Uy ∩ U ≠φ Điều này có nghĩa là có z ∈ U.y, z ∈ U ⇒{ z u y ;u U

∈

⇒ y = z.u-1 ; u ∈ H, z ∈ H

⇒ y ∈ H, vô lý

Vậy với y ∉ H, đều đó Uy ∩ U = φ

Nh vậy G\H mở, H vừa mở vừa đóng trong G, do đó H = G

2.2 Đại số Lie của nhóm Lie

Nh vËy La(x1, ,xn) = (a1 + x1, , an + xn); víi x(x1, , xn) vµ a(a1, , an)

Gi¶ sö X lµ trêng vÐc t¬ bÊt biÕn trªn Rn

p

n p

Cho f: M → M' là ánh xạ khả vi từ đa tạp M đến đa tạp M', trờng vectơ X

là f - liên hệ với trờng vectơ X' Khi đó, ta có:

X(gof) =(X'g)of, ∀g ∈ F M'.

Chứng minh:

∀ p ∈ M và ∀ g ∈ FM' ta có:

((X'g)f)(p) = (X'g)(f(p)) = X'(f(p))(g) (1)Vì X là f - liên hệ với X' nên:

X'(f(p))(g) = f*p(X(p))(g)

= X(p)(gf) = (X(gf))(p); ∀ p ∈ M (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra X(gof) =(X'g) of, ∀g ∈ FM'.

= X(p)((Y'g) of))-Y(p)(X'g) of

= (X(Y'g) of))-Y((X'g) of))(p)

= (X((Y'g) of- Y((X'g) of))(p)

= ((X'(Y'g)) of - (Y'(X'g)) of)(p)

= (X'(Y'g)) of(p) -(Y'(X'g) of (p)

= (X'(Y'g)) (f(p)) - (Y'(X'g)(f(p)) (*)Mặt khác ta có:

([X',Y'](f(p)))(g) = X'(f(p))(Y'g) - Y'(f(p))(X'g)

Từ đó suy ra [X,Y] là La - liên hệ với [X,Y] do đó:

(La)*p [X,Y] p = [X,Y] qVậy [X,Y] là trờng vectơ bất biến trái

2.2.8 Hệ quả

Tập Đ các trờng vectơ bất biến trái trên G là một đại số con của đại số Lie B(G) và đợc gọi là đại số Lie của nhóm Lie G.

a p

a t t

d

L t dt

d

a t dt

γ γ

2.2.11 Mệnh đề

Cho λ , v ∈ T e G và c ∈ R Giả sử λ là vectơ tiếp xúc với đờng cong γ(t) tại t=0, v là vectơ tiếp xúc với đờng cong h(t) tại t = 0 Khi đó:

a) λ + v là vectơ tiếp xúc với γ(t).h(t) tại t = 0

b) -λ là vectơ tiếp xúc với γ(t) tại t = 0

c) cλ là vectơ tiếp xúc với γ(ct) tại t = 0

Chứng minh :

( ) ( )( ) ( )( ( ))( )( ) ;

a

a a

ϕ ϕϕϕ

2.2.13 Mệnh đề:

Cho ϕ : G → K là đồng cấu giữa các nhóm Lie, kí hiệu Đ và K theo thứ tự là

đại số Lie của nhóm Lie G và K Giả sử X ∈ G, Y ∈ K và ϕ*e X e = Y e Khi đó ta có: ϕ*a (X a ) = Yϕ(a) ; ∀a ∈ G.

Chứng minh:

Ta có Yϕ(a) = (Lϕ (a))*e Ye'

= (Lϕ (a))* ϕ (e)(ϕ*e(Xe))