PP PHAN TICH DOI BIEN

TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH, XÁC ĐỊNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ---oOo---I.. CHÚ Ý QUAN TRỌNG : Điểm mấu chốt là phép phân tích trong bước 1, các em có thể rút ra ý tưởng riêng cho mình từ

TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH, XÁC ĐỊNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

-oOo -I PHƯƠNG PHÁP CHUNG :

- Bước 1: Biến đổi f x  về dạng:    

1

n

i i i

f x  f x



 � , với f x i   có nguyên hàm trong

bảng công thức và  là hằng số.i

f x dx  f x dx  f x dx

II CHÚ Ý QUAN TRỌNG :

Điểm mấu chốt là phép phân tích trong bước 1, các em có thể rút ra ý tưởng riêng cho mình từ một vài minh hoạt sau :

1. Với    3 2 6 3

f x  x   x  x  (Khai triển hằng đẳng thức)

3

  (Thực hiện chia đa thức).

3. Với   2

f x

  (Tách làm 2 phân thức).

2

5. Với    2

2x 3x 4x 2.6x 9x

f x      (Khai triển hằng đẳng thức)

6. Với f x   8cos sin3x x 2 cos3 x3cosx sinx (Hạ bậc cos x)3

2cos3 sinx x 6cos sinx x

sin 4x sin 2x 3sin 2x

sin 4x 2sin 2x

III CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ VÍ DỤ :

1 Dạng 1: Tính tích phân bất định :  

�

I = x ax +b dx , với a  0.

- Sử dụng đồng nhất thức : 1 1  

I ax b dx ax b dx

a

2

1

ax b d ax b ax b d ax b a

- Ta xét 3 trường hợp :

+ Với    , ta được : 2   1    2 

2

1

I ax b d ax b ax b d ax b a

ln

ax b a



Phương pháp

1

+ Với    , ta được : 1 I 2 d ax b  ax b d ax b

a

Suy ra : 12

ln

+ Với  ��\  2; 1 , ta được :   2   1

2

1

ax b ax b

a

VÍ DỤ 1 : Tính tích phân bất định : I = x 1 x�   2014 dx

- Sử dụng đồng nhất thức : x  1 1 x

- Ta được :  2014    2014  2014  2015

x  x  ��  x ��  x   x   x

- Khi đó :  2014  2015

I  � x dx� x dx

 2015  2016

C

* Mở rộng : Để tính  2014

1

I  �x  x dx, ta có dùng phương pháp đổi biến số.

- Đặt u  1 x�du  dx

1

2015 2016

I  �u u du �u u du     C

- Vậy :  2015  2016

2 Dạng 2: Tính tích phân bất định : �2

1

x +px +q , với

2

x +px +q =0

có hai nghiệm phân biệt lần lượt là a và b.

- Biến đổi:

2

- Suy ra : I 1 dx dx 1 d x a  d x b 

 ��   �  ��   �

1

ln x a ln x b C

a b



- Vậy : 1

ln x a

a b x b



VÍ DỤ 2 : Tính tích phân bất định :



�2

1

x 4x +3 .

Suy ra : 1  1 3

x

x





* Mở rộng : Phương pháp được áp dụng để tính tích phân bất định trên là một trong số

các phương pháp cơ bản để tính tích phân hàm số hữu tỉ chúng ta sẽ đi xem xét kỹ hơn trong chủ đề “Tích phân bất định của hàm số hữu tỉ”

3 Dạng 3: Tính tích phân bất định : I =� 1 dx

x +a + x +b .

- Ta dùng phương pháp trục căn thức :

x a x b

x a x b a b

x a x b

a b

x a x b



�

- Vậy : I 3a b2  x a3  x b3 C

VÍ DỤ 3 : Tính tích phân bất định :



x +2 + x 3 .

Suy ra : 2  3  3

15

I  �� x  x ��C

* Mở rộng : Phương pháp được áp dụng để tính tích phân bất định trên là một trong số

các phương pháp cơ bản để tính tích phân hàm số vô tỉ chúng ta sẽ đi xem xét kỹ hơn trong chủ đề “Tích phân bất định của hàm số vô tỉ”

4 Dạng 4: Tính tích phân bất định của hàm mũ, logarit … :

VÍ DỤ 4 : Tính tích phân bất định : � x

1

1+e .

1

x



Suy ra : I  x ln 1e x  C

5 Dạng 5: Tính tích phân các hàm lượng giác :

VÍ DỤ 5 : Tính tích phân bất định : � 2

1

sinx.cos x .

sin

x



Suy ra :  

2

d

x

Vậy : 1

ln tan

x

x

* Ghi nhớ : Từ phép tính tích phân trên, ta có công thức tích phân cần nhớ :

1

ln tan

x

x

VÍ DỤ 6 : Tính tích phân bất định : I =�cos x 3 dx

sinx .

Ta có : cos3 cos cos2 1 sin2  cos



x

ln sin sin

2

I  x  x C

VÍ DỤ 7 : Tính tích phân bất định : � 4

I = sin xdx

x

I  xdx �  �dx  x x dx

x

I  � x  �dx �x x �x x�� C

�

sin 2 sin 4

I  x x x C

x

I  xdx � �dx  x x dx

x

I  � x  �dx �x x �x x�� C

�

sin 2 sin 4

I  x x x C

VÍ DỤ 8 : Tính tích phân bất định : � 4

1

cos x .

dx

  2   1 3

3

3

I  x x C

VÍ DỤ 9 : Tính tích phân xác định :



�4 4 0

1

cos x .

Theo VÍ DỤ 8, ta có : 3 4

0



VÍ DỤ 10 : Tính tích phân bất định : � 3

I = cos xdx

I  xdx x x dx �� x x��C

sin 3 sin

I  x x C

VÍ DỤ 11 : Tính tích phân xác định :



�2 3 0

I = cos xdx

0

sin 3 sin



* Nhận xét :

Như vậy nếu f(x) là một đa thức lượng giác thì để xác định nguyên hàm của f(x) ta sử dụng hai phép biến đổi cơ bản :

- Biến đổi tích thành tổng

- Hạ bậc Các công thức hạ bậc cần nhớ :

2

2

c) 2 1 cos2

tan

1 cos2

x x

x





2 1 cos2 cot

1 cos2

x x

x







4

4

Khi đó ta nhận được một đa thức gồm các hàm số lượng giác bậc nhất và việc xác định nguyên hàm của nó không phải khó khăn

6 Dạng 6: Tính tích phân bất định : I = tan xdx� n

n , với n  2.

- Sử dụng đồng nhất thức :

2



VÍ DỤ 12 : Tính tích phân bất định : I = tan xdx � 2

cos

x

VÍ DỤ 13 : Tính tích phân bất định : I = tan xdx.� 3

cos

x

tan

cos

x

x

Vậy : 1 2

tan ln cos 2

I  x x  C

7 Dạng 7: Tính tích phân các hàm phân thức :

VÍ DỤ 14 : Tính tích phân xác định :

�1 2 0

x

x +1 .

- Sử dụng đồng nhất thức : x x   1 1

- Ta được :

1 1

2

VÍ DỤ 15 : Tính tích phân xác định : �1 2 5

0

x

x +1 .

- Sử dụng đồng nhất thức : x5  x5  x3  x3   x x x x3 2 1  x x2 1  x

2

1

x

x



* Mở rộng : Có thể giải bài toán trên theo phương pháp đổi biến hoặc phương pháp chia đa thức.

 Phương pháp đổi biến số :

Đặt t  x2 � dt  2xdx

Đổi cận : Khi x = 0 thì t = 0

Khi x = 1 thì t = 1 Suy ra :

1

2

t

t t



 Phương pháp chia đa thức : (Tìm hiểu trong chuyên đề sau).

- Do bậc tử (bậc 5) lớn hơn bậc mẫu (bậc 2), nên ta có thể áp dụng phương pháp chia tử cho mẫu

- Khi đó biểu thức dưới dấu tích phân trở thành dạng (tổng quát): 2

1

A Bx

x

 .

- Trong đó : 2 arctan arctan arctan 

1

b

b a a

C



- Các tích phân còn lại tính được

BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

-oOo -I SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 TÍNH CÁC TÍCH PHÂN :

 

�

I = f x dx và �b  

a

I = f x dx

1 Phương pháp chung :

- Bước 1: Chọn x  t , trong đó  t là hàm số mà ta chọn cho thích hợp

- Bước 2: Lấy vi phân dx' t dt

- Bước 3: (Nếu là tích phân xác định) Đổi cận  và  tương ứng theo a và b.

- Bước 4: Biểu thị f x dx theo t và dt Giả sử rằng   f x dx   g t dt 

- Bước 5: Khi đó I  �g t dt  hoặc I g t dt 





 � Tính I

2 Các dấu hiệu dẫn tới việc đặt ẩn phụ :

a  x Đặt x asint, với 2 t 2

 � � Hoặc x a cost , với 0 t� �

x  a

Đặt

sin

a x

t

 với ; \ 0 

2 2

t � �



Hoặc

cos

a x

t

2

t  � �

� �

�

a x

a x



 hoặc a x a x



 Đặt x a cos2t

x a b x     Đặt x a b a sin2t

3 Các ví dụ :

VÍ DỤ 1 : Tính các tích phân bất định sau :

  

� 2 3

1

Đặt x sint, với

  

Suy ra : dx costdt và

 3 3 2  

2

cos

tan

1

x

 Khi đó : I  �dtant  tant C

Mà : x sint �cost  1 sin 2t  1 x2 Suy ra : tan sincos 2

1

t

 .

Phương pháp

2

Vậy :

2

1

x

x

VÍ DỤ 2 : Tính các tích phân bất định sau :

 

� 2 3

1

Đặt x tant, với

  

Suy ra : 12

cos

t

 

3 2 3

2

cos cos

1

t

t x

Khi đó :

2

1

x

x



* Ghi nhớ 1:

Khi ta đặt x tant, với

   Suy ra :

2

cos cos

sin tan cos tan

�

�

�

Mà :

2 2

1

x

 Đặt x  tant, ta suy ra :

2

sin

1

x t

x



1 cos

1

t

x



Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tích phân tổng quát có dạng :

 2 22 1

1

k

a x 





VÍ DỤ 3 : Tính các tích phân bất định sau :



� 2 2

x

x 1 (với x > 1).

,0

t



   Suy ra : 2cos22

sin 2

t

t

 2 2  2

2

2 cos sin 2

1

x

x

t t





     

1 cot cot tan tan

cot cot tan tan 2

t

 

cot tan 2ln tan

VÍ DỤ 4 : Tính các tích phân xác định sau :



�

2

2 2

2 0

x

1 x

.