BO DE THI HSG TINH

Trên các cạnh AB và AD kéo dài ta hạ từ đỉnh C các đường vuông góc CE và CF.. Qua điểm M trên cạnh đáy BC kéo dài ta kẻ một đường thẳng p bất kỳ cắt AB và AC ở S và T.. Một đường tròn t

NĂM HỌC 1997 – 1998

Câu 1 (1 điểm):

Tính N = 8 − 2 15 − 8 + 2 15

Câu 2 (3 điểm): Rút gọn biểu thức









−

−









+

−

−

− +

−

− +

+

=

x x

x x

x x

x

x

1 1

1 1

1

1

2

2 Biết -1 < x < 1 và x ≠ 0

Câu 3 (2 điểm):

Cho tam giác ABC về phía ngoài của tam giác ta dựng các tam giác vuông cân ABE và ACF vuông tại đỉnh A Chứng minh rằng:

a) Trung tuyến AI của tam giác ABC vuông góc với EF

b) AI =

2

1

EF

Câu 4 (3 điểm):

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dây cung AC Các tiếp tuyến với đường tròn tại B

và C cắt nhau ở D

a) Chứng minh DO // AC

b) Kẻ CH ⊥ AB (H ∈ AB) Chứng minh: CH2 = AH.HB

c) Tính đoạn AC biết góc BAC = 300 và AB = 4cm

Câu 5 (1 điểm): Chứng tỏ rằng 2030 > 3020

NĂM HỌC 1999 – 2000

Câu 1 (5 điểm):

a) Cho biểu thức:

1 1

1 2

−

−

−

−

=

x

x x

A Tìm ĐK để A có nghĩa, rút gọn A b) Giải và biện luận phương trình với m là tham số: x2 − 3 =x−m (1)

Câu 2 (5 điểm):

a) Tìm số tự nhiên N có 3 chữ số biết N là số chính phương và là bội số của 48

b) Chứng minh rằng: (2 11) 41

25

1 9

1

2 <

+ + + +

n Với n ∈ N và n ≥ 1

Câu 3 (5 điểm): Cho hai điểm O, A cố định, dựng góc XOY = 450 sao cho các đường thẳng Ox,

Oy không đi qua A Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với Ox cắt Ox, Oy lần lượt tại M, N cũng

từ A kẻ đường thẳng vuông góc với Oy cắt Ox, Oy lần lượt tại E, D Khi góc xOy quay quanh

O Chứng minh: a) Các đoạn thẳng DM, EN có độ dài không đổi

b) Trung điểm EN chạy trên một đường cố định

Câu 4 (4 điểm): Cho tứ giác ABCD có tổng các góc BAD và CDA bằng 900, các cạnh AB = CD; BC = a; AD = b Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AC, AD, BD, BC

a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?

b) Gọi diện tích tứ giác MNPQ là S Chứng minh

8

) (a b 2

S≥ − Dấu “=” xảy ra khi nào?

Câu 1 ( 5 điểm): Một số có 3 chữ số, có tổng các chữ số bằng 7.

a) Chứng minh rằng số đó chia hết cho 7 ⇔ các chữ số hàng chục và hàng đơn vị như nhau

b) Hãy tìm tất cả những số như thế trong tập hợp các số hữu tỉ

Câu 2 (5 điểm): Giải phương trình 5x− 1 − 3x− 2 = x− 1 (1)

Câu 3 (3 điểm): Cho phương trình ax2 + bx + c có hai nghiệm dương x1, x2 Chứng minh rằng phương trình cx2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dương Gọi hai nghiệm đó là x3, x4 Chứng minh rằng: x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4

Câu 4 (5 điểm): Cho tam giác cân ABC (AB = AC), Aˆ = α Trên cạnh đáy BC lấy điểm D Vẽ đường tròn qua D và tiếp xúc với AB tại B; Qua D và tiếp xúc với AC tại C Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai E khác D

a) Tính góc BEC

b) Tìm quỹ tích điểm E khi D di động trên BC

NĂM HỌC 2001 – 2002

Câu 1 (5 điểm): Hãy tính xem có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số tận cùng bằng 6 và chia

hết cho 3

Câu 2 (5 điểm): Giải phương trình 3x−x2 − 5 x2 − 3x+ 2 = 2 (1)

Giải: Điều kiện: x ≤ 1 hoặc x ≥ 2.

y 5 (k0 t/m)

=

 + = ⇔ + = ⇔  = −

Với y = 0: x2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x1 = 1, x2 = 2

Câu 3 (5 điểm): Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Cho k ∈ R, k ≠ -1 thỏa mãn:

kb2= (k+1)2ac Chứng minh rằng: Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 và x1 = kx2

Câu 4 (5 điểm): Cho AC là đường chéo của hình bình hành ABCD Trên các cạnh AB và AD

kéo dài ta hạ từ đỉnh C các đường vuông góc CE và CF Chứng minh:

a) AB.AE + AD.AF = AC2

b) Có nhận xét gì khi hình bình hành ABCD trở thành hình chữ nhật

NĂM HỌC 2002 – 2003

Câu 1 (4 điểm): Cho a, b là các số nguyên dương, biết rằng trong 4 mệnh đề sau đây chỉ có một

mệnh đề là sai:

1) a + 1 chia hết cho b

2) a = 2b + 5

3) a + b chia hết cho 3

4) a + 7b là số nguyên tố

a) Hãy tìm các mệnh đề đúng

b) Tìm các cặp số a, b thỏa mãn các mệnh đề đúng

Câu 2 (4 điểm): Giải phương trình 2 2 2 2 2 2 2

b x

x a x b

b x a x

−

= +

−

−

Câu 3 (4 điểm): Cho a, b, c là ba số khác nhau, c ≠ 0 Chứng minh rằng: Nếu hai phương trình

x2 + ax + bc = 0 và x2 + bx + ac = 0 có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng thỏa mãn phương trình x2 + cx + ab = 0

Câu 4 (4 điểm): Cho D, E, F theo thứ tự là 3 điểm nằm trên 3 cạnh BC, AC, AB của ∆ABC hoặc trên các đường thẳng chứa các cạnh đó Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để ba điểm D, E, F thẳng hàng là: DB EC FA 1

DC EA FB =

Câu 5 (4 điểm): Cho ∆ABC cân tại A có cạnh bên bằng m và cạnh đáy bằng n Qua điểm M trên cạnh đáy BC kéo dài ta kẻ một đường thẳng p bất kỳ cắt AB và AC ở S và T.

a) Chứng minh rằng hiệu BM CM

BS - CT không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng p và điểm M

b) Qua S kẻ SS’ // AC và qua T kẻ TT’ // AB (S’, T’∈BC) Chứng minh rằng: Tích MS’.TT’ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

c) Hãy kẻ đường thẳng k đi qua A cắt AB (không kéo dài) sao cho tổng các khoảng cách từ

B và C đến k là nhỏ nhất.

NĂM HỌC 2003 – 2004

Câu 1 (4 điểm): Cho hai số tự nhiên có 2 chữ số thỏa mãn tính chất sau: mỗi số bằng bình

phương thiếu của tổng các chữ số của nó Tìm hai số đó biết số thứ hai lớn hơn số thứ nhất 50 đơn vị

Câu 2 (4 điểm): Cho biểu thức M = a2 + b2 biết rằng a và b là nghiệm của phương trình 5a2 + 5b2 + 8ab = 18 Tìm những giá trị của a và b để :

a) M đạt giá trị lớn nhất

b) M đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 3 (4 điểm): Cho phương trình x2 + px + q = 0 (1) Hãy tìm các giá trị nguyên của p và q sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm gấp 4 lần nghiệm kia

Câu 4 (4 điểm): Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ vuông góc với nhau tại A Đường tròn bán kính R không đổi có tâm là điểm O di động trên xx’ Một đường tròn thứ hai có tâm là điểm C

di động trên yy’, bán kính CA, đường tròn này tiếp xúc ngoài với đường tròn tâm O tại T.

a) Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của hai đường tròn kẻ từ T đi qua một điểm cố định

b) Đặt OA = d Hãy tính giá trị của d theo R để hai đường tròn bằng nhau Trong trường hợp

hai đường tròn bằng nhau hãy tính diện tích hình giới hạn bởi hai đường tròn với đường thẳng

xx’.

Bài 5 (4 điểm): Hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong ∆ABC cho trước Đỉnh M di động trên cạnh AB, đỉnh N trên cạnh AC, các đỉnh P và Q theo thứ tự trên cạnh BC Tam giác ABC có

đường cao AH = h, cạnh đáy BC = a.

a) Tính giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật MNPQ theo h và a.

b) Xác định vị trí của M để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất

Câu 1 (4 điểm): Tìm tất cả các số tự nhiên khác 0 sao cho khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ

số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó được gấp lên 9 lần

Câu 2 (4 điểm): Giải phương trình sau

-Câu 3 (4 điểm): Hãy tìm các giá trị nguyên của a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

(x, y) với x, y là những số nguyên:







= + + +

= +

−

+

0 4 )1 (

2

0 )2

3(

y a

x

a y a

ax

Câu 4 (4 điểm): Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH và đường tròn (O) ngoại tiếp ∆HAC Gọi D là điểm đối xứng của B qua H, nối A với D cắt đường tròn (O) tại E Chứng minh:

a) CH là tia phân giác của góc ACE

b) HO // EC

c) Cho AB = a, ·ACE = 600 Tứ giác AHEC là hình gì? Tính diện tích của tứ giác AHEC

theo a.

Câu 5 (4 điểm): Cho hình thang ABCD có AB // CD, CD > AB, hai đường chéo AC và BD cắt

nhau tại O Cho biết S∆ AOB = S1; S∆ DOC = S2 Tính diện tích hình thang ABCD

NĂM HỌC 2005 – 2006

Câu 1 (2 điểm): Cho biểu thức A(x) = (x2 – 4x + 3)2005.(x2 + 4x + 3)2006

Gọi S là tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức đã cho Hãy tính S

Câu 2 (3 điểm): Chứng minh rằng không thể tìm được hai số lẻ mà tổng các bình phương của

chúng bằng bình phương của một số nguyên

Câu 3 (5 điểm): Cho a > 0.

a) Chứng minh rằng: Nếu

a

a a

a−1= − 1 thì: −1 = 5

a a

b) Tính giá trị của a

Câu4 (5 điểm): Cho 4 số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: ba bất đẳng thức sau không thể

đồng thời xảy ra:

a + b < c + d (1)

(a + b)(c + d) < ab + cd (2)

(a + b)cd < (c + d)ab (3)

Câu 5 (5 điểm): Cho ∆ABC cho các cạnh BC = a, AC = b, AB = c Diện tích ∆ABC bằng S

Phân giác của góc A cắt BC ở D và cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ở E

a) Chứng minh: AD2 = AB.AC – BD.DC

b) Chứng minh:

c b

a AB

BD

+

= c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC theo a, b, c, S

NĂM HỌC 2006 – 2007

Bài 1: Cho A= 2005+ 2007; B 2 2006= A lớn hơn hay nhỏ hơn B? Hãy chứng minh

Bài 2: Cho 1 ≤ m ≤ 2 và 1 ≤ n ≤ 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2

(m n) A

+

=

Bài 3: Giải phương trình: x+ x 2− =2 x 1− (1)

Bài 4: Cho hàm số y = x2 có đồ thị là đường cong (P) và hai điểm M, N thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M, N

b) Vẽ đồ thị (P) trên hệ trục tọa độ xOy và tìm tọa độ điểm E thuộc đoạn đường cong M, N của đồ thị (P) sao cho ∆MNE có diện tích lớn nhất

Bài 5: Độ dài các cạnh của một tam giác là các số nguyên liên tiếp không nhỏ hơn 3 đơn vị độ

dài Chứng minh rằng đường cao hạ xuống cạnh có độ dài lớn thứ hai thì chia cạnh này thành hai phần có hiệu độ dài bằng 4

NĂM HỌC 2007 – 2008

Bài 1 (4 điểm) Cho a là một số tự nhiên lẻ, b là số tự nhiên Chứng minh rằng các số a và ab +

4 không có ước số chung khác ±1

Bài 2 (4 điểm) Cho hệ phương trình ax by 15

ay bx 15



 + =

 (a, b là số nguyên dương và a ≠ b) Tìm

tất cả các cặp giá trị của a, b để hệ phương trình có nguyệm số nguyên dương

Bài 3 (3 điểm) Giải phương trình: 3x2 −7x 9+ − x2 − =2 3x2 −5x 1− − x2−3x 13+

(1)

Bài 4 (5 điểm)

a) Cho ∆v.ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c Chứng minh rằng:

a b

c

2

+

≥ Với điều kiện nào của a, b thì c a b

2

+

= , khi đó tính giá trị của c theo a và b

b) Cho 2 số thực a, b thỏa mãn điều kiện a2 + b2 ≤ 2 Chứng minh rằng: a + b ≤ 2

Bài 5 (4 điểm) Cho ∆ABC trung tuyến AM Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC

lần lượt tại D và E, BE cắt CD tại O Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng