BỘ đề THI HSG TỈNH môn TOÁN lớp 10 11 12 năm 2017 BỘ đề THI HSG TỈNH môn TOÁN lớp 10 11 12 năm 2017 BỘ đề THI HSG TỈNH môn TOÁN lớp 10 11 12 năm 2017 BỘ đề THI HSG TỈNH môn TOÁN lớp 10 11 12 năm 2017 BỘ đề THI HSG TỈNH môn TOÁN lớp 10 11 12 năm 2017 BỘ đề THI HSG TỈNH môn TOÁN lớp 10 11 12 năm 2017 BỘ đề THI HSG TỈNH môn TOÁN lớp 10 11 12 năm 2017 BỘ đề THI HSG TỈNH môn TOÁN lớp 10 11 12 năm 2017 BỘ đề THI HSG TỈNH môn TOÁN lớp 10 11 12 năm 2017
Trang 9SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT
NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN - LỚP 10
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.
a) Giải hệ phương trình
3
3
b) Giải phương trình
2
6x 2
.
Câu 2.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm:
2 4
x 1 2 x x m x 0
Câu 3.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC và N là điểm thuộc đoạn thẳng AC sao cho AC4AN Đường thẳng
DM có phương trình y 1 0 và N 1; 3
2 2
Xác định tọa độ điểm A.
Câu 4.
a) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AA , BB , CC1 1 1 đồng quy tại H (A1BC,
B AC, C AB) Biết AA12 2, CC1 3và HB5HB 1 Tính tích cot A.cot C và diện tích tam giác ABC
b) Cho a, b,c là các số thực không âm có tổng bằng 3 Chứng minh rằng
2 2 2
a b c abc 4
Câu 5.
Tập hợp X có n *
2 n phần tử được chia thành các tập con đôi một không giao nhau Xét quy tắc chuyển phần tử giữa các tập như sau: nếu A, B là các tập con của X
và số phần tử của A không nhỏ hơn số phần tử của B thì ta được phép chuyển từ tập A vào tập B số phần tử bằng số phần tử của tập B Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các bước chuyển theo quy tắc trên, ta nhận được tập X
-HẾT - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh: ………
Trang 10SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
(Đề thi có 1 trang, gồm 6 câu)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút.
Câu 1.
a Tìm m để đồ thị hàm số yx43mx2m có ba điểm cực trị A, B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm là điểm O(0; 0).
b Tìm trên đồ thị hàm số 1
2
x y x
hai điểm A, B sao cho AB vuông góc với đường
thẳng y vàx AB2 2
Câu 2.
a Tìm các số thực a b thỏa mãn:, log2a2 log3b2 log (5 a b)
b Cho các phương trình:
2016 2015 2014
1 0 (1) ;
x x x x 2017 2016 2015
x x x x . Chứng minh rằng mỗi phương trình trên có đúng một nghiệm dương Gọi các nghiệm
dương của phương trình (1) và (2) lần lượt là a và b, hãy so sánh ae và b be a
Câu 3 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 1
Câu 4 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
ABa BC a, góc giữa đường thẳng A B và mặt phẳng (ABC) là 60' 0 Gọi G là trọng tâm tam giác AA’C’.
a Tính thể tích khối tứ diện GABA’.
b Tính khoảng cách từ điểm C’ đến mặt phẳng (GBC).
Câu 5 Cho mặt cầu (H) bán kính R Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên
bằng b nội tiếp mặt cầu (H) Xác định a, b theo R để khối chóp S.ABCD có thể tích
lớn nhất
Câu 6 Ở địa phương X, người ta tính toán thấy rằng: nếu diện tích khai thác rừng hàng năm
không đổi như hiện nay thì sau 50 năm nữa diện tích rừng sẽ hết, nhưng trên thực tế thì diện tích khai thác rừng tăng trung bình hàng năm là 6% /năm Hỏi sau bao nhiêu năm nữa diện tích rừng sẽ bị khai thác hết? Giả thiết trong quá trình khai thác, rừng không được trồng thêm, diện tích rừng tự sinh ra và mất đi (không do khai thác) là không đáng kể (cho biết log1,064, 06 24)
_ Hết _
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 11' 4 6 2 (2 3 )
y x mx x x m
Hàm số có 3 cực trị phương trình y' 0 có ba nghiệm phân biệt m 0
Lúc đó đồ thị có 3 cực trị
Tam giác ABC có trọng tâm là
9
2
3
m m
m
Đối chiếu điều kiện ta có 2
3
m
Đường thẳng AB có dạng: y x m (d)
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và đồ thị hàm số là
2 1
( 1) 2 1 0 (1); 2 2
x
x
Đồ thị cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt A, B khi PT (1) có hai nghiệm phân
biệt khác 2
2
6 3 0
(*)
3 0
Lúc đó A x( ;1 x1 m); B x( ;2 x2 m) với x x1, 2 là các nghiệm của phương trình (1)
1 2 1 2
Với m 1 thay vào (1) ta có x 1 suy ra: A( 1; 0); B(1; 2) và ngược lại
Với m 7 thay vào (1) ta có x 3,x 5 suy ra: A(3; 4); B(5; 2) và ngược lại
Đặt log2a 2 log3b 2 log (5 a b ) 2t a 4 ;t b 3 ;t a b 5t
t t t
Đặt ( ) 3 4
f t
với tR Ta thấy f(t) là hàm số nghịch biến và f(2)1
suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất t 2 a 16; b 9
Vậy a 16; b 9
Đặt 2016 2015 2017 2016
f x x x x g x x x x trên [0; )
Ta có f, g là các hàm số liên tục trên và f x'( ) 0, g x'( ) 0 x 0
suy ra các hàm số f, g đều đồng biến trên [0; )
Do đó các phương trình f x( ) 0; g x( ) 0 có tối đa một nghiệm
Lại có f(0) (1)f 0; g(0) (1)g 0
nên các phương trình f x( ) 0; g x( ) 0 có đúng một nghiệm (0;1)
Vì a, b là các nghiệm của (1) và (2) nên f a( ) 0; g b( ) 0
g a a a a a f a a ( ) ( )
g a g b a b
vì g là hàm số đồng biến
ae be ab
b a
Trang 12Xét hàm h x( ) e
x
với x (0;1)
e x e e x
h x
suy ra h x( ) là hàm số nghịch biến trên (0;1)
Vì ab nên h b( ) h a( ) suy ra ( )
ae be ab
b a
ae be
Đặt x a; y b a b( , 0)
Ta có hệ
m a a a có nghiệm [0;1]
f a a a a trên [0;1]
1 '( )
f a
'( ) 0 ( 1) 2 (1 ) 1 ( 1) 2 ( 1) ( 1)
1
2 1
(vì a(0;1))
Ta có f(1) 2 2; f(0) 3 1;
( 2 1) 4 2 2 8 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
Từ đó ta có GTLN của f(x) là 2 2; GTNN của f(x) là 4 2 2
do đó 4 2 2 m 2 2
Lưu ý:
- Học sinh có thể lập BBT để kết luận thì không phải so sánh các giá trị trên;
- Không cần thiết phải rút gọn giá trị f( 2 1)
H
M'
G
C B
A A'
' 60 AA'=AB.tan60 3
Trang 133 '.
.AA' AA'= 2 3
3 '.
'.
'.
.
A GAB
A GAB
A CAB
V A G A A A B
V A C A A A B
Ta có: d C( ', (GBC)) d A GBC( ; ( )) d A A BC( ; ( ' )) (1)
Kẻ AH vuông góc với A’B.
Ta có BC (ABB A' ') BC AH.Do đó AH ( 'A BC) d A A BC( ; ( ' )) AH .
a AH
AH AB a a a
Do đó ( ', ( )) 3
2
a
d C GBC
I
D
C B
A
O M
S
Hình 1
M
A
O I S
Hình 2 Gọi I là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm SA
Ta thấy O nằm trong hoặc nằm ngoài đoạn SI (hình 2) thì ta đều có AIOM hoặc
AOIM đều là các tứ giác nội tiếp, do đó
2 2
Mặt khác ta lại có
2
2
a
suy ra
Ta có
3
.
64 81
S ABCD
có “=”
2 2
2 2
4 8
3 3
R R
a b
Trang 14Vậy thể tích khối chóp lớn nhất khi 4
3
R
3
R
b
Lưu ý: Học sinh có thể sử dụng hàm số để tìm GTLN của V.
6
(2.5 đ)
Gọi S là diện tích rừng khai thác trong một năm như hiện nay.
Diện tích rừng hiện nay là: 50S.
Giả sử sau n năm nữa diện tích rừng sẽ bị khai thác hết
Sau một năm diện tích rừng khai thác hết: 1, 06.S
Sau hai năm diện tích rừng khai thác hết: 2
1, 06.S 1, 06 S
……
Sau n năm diện tích rừng khai thác hết: 2
1, 06.S 1, 06 S 1, 06 n S
Theo giả thiết ta có:
50S S.1.06 S 1, 06 S 1, 06 S 1, 06 n
50 1.06 1, 06 1, 06 1, 06 1.06
0, 06
n
1, 06 n 4, 06
n 1 log1,064, 06 24 n 23
Vậy sau 23 năm nữa diện tích rừng sẽ bị khai thác hết
……… HẾT………
