Đề số 5 kiểm tra đội tuyển

Gọi AH, BI, CK là các đường cao của tam giác.. Hai đường tròn cùng bán kính R tương ứng đi qua các cặp điểm A, B và B, C cắt nhau tại điểm thứ hai M.. Chứng minh rằng bán kính đường tròn

BÀI KIỂM TRA SỐ 5 (Kiểm tra đội tuyển HSG)

Môn: Toán - Lớp 9

(Thời gian: 150 phút, không kể giao đề)

Bài 1: Cho P là một số tự nhiên nào đó Gọi n là số lập bởi hai chữ số cuối cùng của P,

còn m là số còn lại của P (chẳng hạn, nếu P = 456789 thì n = 89, còn m = 4567) Chứng minh rằng P chia hết cho 8 khi và chỉ khi (4m + n) chia hết cho 8 hoặc (4m – n) chia hết cho 8

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của P =

4 x x

x

2 4 2





Bài 3:

Cho 17 5 38  5 23

5 14 6 5

  Tính giá trị của biểu thức:  3 2 2009

Bài 4: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:  

3

Bài 5: Cho A = 1 1 1 1 1001

    



 Chứng minh rằng A < 100

Bài 6: Các góc của tam giác ABC, đều là góc nhọn và có độ lớn bằng , ,   Gọi AH,

BI, CK là các đường cao của tam giác Hãy tính HIK

ABC

S S



 ?

Bài 7: Cho hình bình hành ABCD Hai đường tròn cùng bán kính R tương ứng đi qua

các cặp điểm A, B và B, C cắt nhau tại điểm thứ hai M Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD bằng R

HD Chấm BÀI KIỂM TRA SỐ 5 (Đội tuyển HSG 08-09)

Môn: Toán - Lớp 9

(Thời gian: 150 phút, không kể giao đề)

Bài 1: (1,25 đ) Cho P là một số tự nhiên nào đó Gọi n là số lập bởi hai chữ số cuối

cùng của P, còn m là số còn lại của P (chẳng hạn, nếu P = 456789 thì n = 89, còn m = 4567) Chứng minh rằng P chia hết cho 8 khi và chỉ khi (4m + n) chia hết cho 8 hoặc (4m – n) chia hết cho 8

Giải:

Theo bài ra ta viết được: P = 100m + n = 96m + (4m + n) = 104m – (4m – n) (0,25 đ) Nếu P  8 => (4m + n)  8 vì 96m  8 (0,25 đ)

Hoặc (4m – n)  8 vì 104m  8 (0,25 đ)

Ngược lại (4m + n)  8=> P 8 vì 96m  8 (0,25 đ)

Hoặc (4m - n)  8=> P 8 vì 104m  8 (0,25 đ)

Bài 2: (1,25 đ) Tìm giá trị lớn nhất của P =

4 x x

x

2 4 2





Giải:

P =

2 2

2 4 2

x

4 1 x

1 4

x x

x









= 5

x

2 x

1

2















5 x

2 x

1

2















2

















x

2

















x

x nhỏ nhất khi

2

2















x

mà 2 0

2

















x

x nên P lớn nhất và bằng 

5

1

2

x 0

2 2























x

Bài 3: (1,25 đ)

Cho 17 5 38  5 23

5 14 6 5

  Tính giá trị của biểu thức:  3 2 2009

Giải:

Ta có 17 5 38   5 23

5 14 6 5

m



(0,125đ)

17 5 38 5 3 5 2 3 5.2 2

5 9 6 5 5



(0,25 đ)

   

 2

17 5 38 17 5 38



(0,125 đ)

=  2 2

17 5 38 1

3

5 3 5





 

(0,25 đ)

Thay m = 1

3 vào biểu thức A ta có: A =

2009

     

     

   

(0,25 đ)

=

2009

2009

1 8

3 3

(0,25 đ

Bài 4: (1,75 đ)

Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:  

3

Giải:

Ta có a2 + b2 – ab    2 2 

ab a + b a b ab ab(a + b)

a  b ab(a + b) (0,125 đ)

20 19

20b ab a b 19b a

   2 3 3

4b a ab 5b 19b a

3 3 2

19

4 5



Chứng minh tương tự với a, b, c > 0 ta sẽ có:

3 3

2

19

4 5



 

3 3

2

19

4 5

a c



 

=>

3

(0,125 đ)

Bài 5: (1,0 đ) Cho A = 1 1 1 1 1001

    



 Chứng minh rằng A < 100

Giải:

Ta chia A thành 100 nhóm như sau:

A =1 1 1 12 1 1 1 13 1 199 1001

             



Thay mỗi phân số trong dấu ngoặc bằng phân số lớn nhất trong dấu ngoặc ta được:

99

Bài 6: (1,5 đ) Các góc của tam giác ABC, đều là góc nhọn và có độ lớn bằng , ,   Gọi AH, BI, CK là các đường cao của tam giác Hãy tính HIK

ABC

S S



 ?

Giải:

Ta có

ABC

CIH BHK

AKI ABC

S

S S

S S















ABC

HIK

S

S

(0,25 đ)

= 1 -

ABC

CIH ABC

BHK

S

S S

S

















ABC

AIK

S

S

(0,25 đ) Hai tam giác AKI và ABC có A chung nên ta có:

AB

AI AC

AK AB AC

AI AK











.

S

S

ABC

AIK

(0,25đ)

Trong tam vuông AKC và AIK ta có: AK Cos ; AI Cos

S

ABC

AIK CosCos Cos 





(0,25 đ)

Chứng minh tương tự ta cũng có:  2

ABC

CIK 2

ABC

BHK

S

S

; S

S

Cos











(0,125đ)

ABC

S

S

Cos Cos









(0,125

Bài 7: (2,0 đ) Cho hình bình hành ABCD Hai đường tròn cùng bán kính R tương ứng

đi qua các cặp điểm A, B và B, C cắt nhau tại điểm thứ hai M Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD bằng R

Giải:

(O1) và (O2) là hai đường tròn có cùng bán kính nên

ta có I (trung điểm của BM) chính là tâm đối xứng

của hình gồm hai đường tròn (O1) và (O2) (0,25đ)

Gọi K là giao điểm của CI với (O1)

Khi đó ta có: IK = IC (0,25đ)

Lại có IM = IB nên KMCB là hình bình hành (0,25đ)

=> KM song song và bằng BC, nên KM song song và

=> KMDA là hình bình hành (0,25đ)

=> KMA DAM (0,25đ)

=> Đường tròn ngoại tiếp tam giác KMA bằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DAM

(0,25đ)

=> Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác KMA bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DAM và bằng R (0,25đ)

I

H

K

C

B

A

D

O2

O1 I

M

C B

A K