Đề số 3 kiểm tra đội tuyển

Nếu ta thờm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thỡ được số B là số chớnh phương.. Đường chộo AC cắt DM và DN lần lượt tại E và F.. Chứng tỏ tứ giỏc MNFE nội tiếp được trong đường trũn.. Xỏ

BÀI KIỂM TRA SỐ 3 (Chọn đội tuyển HSG chớnh thức)

Mụn: Toỏn - Lớp 9

(Thời gian: 150 phỳt, khụng kể giao đề)

Bài 1: Cho số chớnh phương A gồm 4 chữ số Nếu ta thờm vào mỗi chữ số của A một

đơn vị thỡ được số B là số chớnh phương Hóy tỡm cỏc số A và B

Bài 2:

Tỡm x để biểu thức M =

2 2

1

2 1

x x

 

  đạt giỏ trị giỏ trị nhỏ nhất (x 1).Tớnh giỏ trị nhỏ nhất đú?

Bài 3: (2,0đ) Giải phương trỡnh với ẩn là x:

2

Bài 4:

x + x theo m

Bài 5: Giải hệ phương trỡnh:

0

3







Bài 6: (3,0 đ)

Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a và M là trung điểm của cạnh AB, N là một điểm nằm trờn AB sao cho AN = 1

3AB Đường chộo AC cắt DM và DN lần lượt tại E và F

a Chứng minh AME đồng dạng với AFN 

b Chứng tỏ tứ giỏc MNFE nội tiếp được trong đường trũn

c Xỏc định vị trớ tương đối giữa đường thẳng BC với đường trũn (BEF), giữa đường thẳng CD với đường trũn (DEF)

HD Chấm BÀI KIỂM TRA SỐ 3 (Chọn đội tuyển HSG chính thức)

Môn: Toán - Lớp 9

(Thời gian: 120 phút, không kể giao đề)

Bài 1: (1,75 đ) Bài 1: Cho số chính phương A gồm 4 chữ số Nếu ta thêm vào mỗi

chữ số của A một đơn vị thì được số B là số chính phương Hãy tìm các số A và B

Giải:

Theo bài ra ta có: A = 2         2

abcd x vµ B = a + 1 b + 1 c + 1 d + 1 = y trong đó x, y là

Khi đó ta có:

B – A = y2 – x2 = 1000(a +1) + 100(b +1) + 10(c +1) + (d +1) – (1000a + 100b + 10c + d)

= 1000 + 100 + 10 + 1 = 1111 = 101.11 = 1111 1 (0,25 đ)

A và B là số có 4 chữ số nên x và y chỉ có thể là số có 2 chữ số (0,25 đ) Vậy B – A = y2 – x2 = (y – x).(y + x) = 101.11 (0,25 đ)

Vì y + x > y – x nên ta có hệ: y + x = 101

y - x = 10





Vậy A = 452 = 2025; B = 562 = 3136 (0,25 d)

Bài 2: (1,5 đ)

Tìm x để biểu thức M =  2 

2

1

2 1

x x

 

  đạt giá trị giá trị nhỏ nhất (x 1).Tính giá trị nhỏ nhất đó?

Giải:

* M =  

2

1

1

 

 

= 1 -  

1

1

x

x

 



=

(0,25 đ)

=

2

2 x 1 4

Vì

0 nªn

Do đó M nhận giá trị nhỏ nhất là 3

* M nhận giá trị nhỏ nhất bằng 3

4 khi 1 1 0

2

2

x a x a



2 2 2

2 2

x b

x a x a

x b



1

  2

1 0 1 là nghiệm duy nhất

1

a

Với a 1 0x2 Ph ơng trình vô nghiệm (0,125 đ) Với 1 a 0 a 1 0x0 Ph ơng trình vô định (0,125 đ)

Bài 4: (1,0 đ)

x + x theo m

Giải:

Đặt a = m2 + 5 ta cú PT: x2 + ax – 1 = 0 với a  Z Theo Vi Et ta cú: x1 + x2 = -a; x1.x2 = -1 (0,25đ)

x + x = x  x  x + x x - x x + x (1) (0,25 đ)

x x  x x - x x = a + 2 và 4 4  2 22 2 2  2 2

1 1 2 2 x + x1 2 -3x x = a +2 -31 2

x  x x x 

x + x = a 2  a 2  3

a 2  3 a 2 (2) (0,125 đ)

x + x =  2  3  2 2

m 5 2 3 m 5 2

Bài 5: (1,25 đ) Giải hệ phương trỡnh:

0

3







(*) Giải:

(*) 

0

3







(0,5 đ)

Đặt    

4

1

x a

 = X và    

3

1

a

 y = Y ta cú: -X + Y= 0

X +2Y= 3





 (**) (0,25 đ) Giải hệ (**) ta được:

x = 1 và y = a 1

  Với ĐK; a1, a2, a3 (0,5 đ)

Bài 6: (3,0 đ)

Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a và M là trung điểm của cạnh AB, N là một điểm nằm trờn AB sao cho AN = 1

3AB Đường chộo AC cắt DM và DN lần lượt tại E và F

a Chứng minh AME đồng dạng với AFN 

b Chứng tỏ tứ giỏc MNFE nội tiếp được trong đường trũn

c Xỏc định vị trớ tương đối giữa đường thẳng BC với đường trũn (BEF), giữa đường thẳng CD với đường trũn (DEF)

Giải:

a Ta cú AN = ; AM = a a

AFN ~ CD

  nờn ta cú:

  (0,125 đ)

a

AF AC

Tương tự ta cú: AEM ~CED nờn:

1 2

AE MA

1 2 3

AE

CE EA

1

3

AE

AC

2

AC a

AE

Từ cỏc giỏ trị trờn ta rỳt ra: 2 : 2

AN a a

Từ (*) và (**) AN AF Nghĩa là AME ~ AFN

AE AM

b Từ chứng minh trờn ta suy ra: NFAEMA  EMA NFE 2V (0,5 đ)

tứ giác NMEF nội tiếp đ ợc trong đ ờng tròn

c

~ mà AME ~ CDE và AFN ~ CFD CDE ~ CFD

CD CE

CF CE CD CB

CF CD

tiếp xúc với đ ờng tròn (BFE); CD tiếp xúc với đ ờng tròn (DEF)

BC

E

F

M N

B A