Đề số 1 kiểm tra đội tuyển

Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và cắt AC tại E.. Chứng minh rằng với mọi điểm P trên cạnh BC, ta luôn có diện tích tam giác PDE không lớn hơn 1 4 diện tích tam giác A

BÀI KIỂM TRA SỐ 1 (Chọn đội tuyển HSG chính thức)

Môn: Toán - Lớp 9

(Thời gian: 120 phút, không kể giao đề)

Bài 1: Rút gọn biểu thức: A = x2 x 1 x 2 x 1

Bài 2: Cho biểu thức: B = 1 + 2 1 2

a Rút gọn B

b Chứng minh rằng B > 3

2

Bài 3: Với a, b, c, d là các số dương thoả mãn a.b = c.d = 1

Chứng minh rằng (a + b).(c + d) + 4 2 a + b + c + d 

Bài 4: Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D

và cắt AC tại E

a Chứng minh rằng với mọi điểm P trên cạnh BC, ta luôn có diện tích tam giác PDE không lớn hơn 1

4 diện tích tam giác ABC

b Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích tam giác PDE đạt giá trị lớn nhất?

HD Chấm BÀI KIỂM TRA SỐ 1 (Chọn đội tuyển HSG chính thức)

Môn: Toán - Lớp 9

(Thời gian: 120 phút, không kể giao đề)

Bài 1: Rút gọn biểu thức: A = x2 x 1 x 2 x 1 ĐK: x 1

A = x 1 2 x 1 1  x 1 2 x 1 1 ( đ)

Với 1  x 2 A x  1 1 x 1 1 2 ( đ) Với x 2 A x 1 1  x 1 1 2 x 1 ( đ)

a B =    

1

a

( đ)

= 1 +

( đ)

a

( đ)

= 1 +

a

( đ)

= 1 +

a

a









(ĐK: 0; 1; 1

4

b Ta có:  a 12 0 a 0  a 1 2 a ( đ)

1 2

a

a

Mặt khác a a 1 0nên chia cả hai vế của (*) cho 3 1

2 a a ta có:

3 1

a





  và vì a 1nên dấu “=” không x ảy ra Vậy B >

2 Víi a 0; a 1

1 4



( đ)

Bài 3: Với a, b, c, d là cỏc số dương thoả món a.b = c.d = 1

Chứng minh rằng (a + b).(c + d) + 4 2 a + b + c + d 

Xột hiệu:  ab c  d 4  2ab 2cd  ( đ)

= ab c  d 2ab  2cd  4 ( đ)

= ab c   d 2  2c d 2 ( đ)

Do a b c d, , , là các số d ơng và a b c d 1 nờn ta cú a b.  c d. 1( đ)

=> c d 2 a b 2 c d 2 cd a b 2 ab ( đ)

=> c d 2 a b 2  c d 2 a b2 ( đ)

 c d2 0;  a b2 0 nờn  c d 2 a b2 0 hay:

Tức là: (a + b).(c + d) + 4 2 a + b + c + d  ( đ)

Bài 4: Cho tam giỏc ABC Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và cắt AC tại

E

a Chứng minh rằng với mọi điểm P trờn cạnh BC, ta luụn cú diện tớch tam giỏc PDE khụng lớn hơn 1

4 diện tớch tam giỏc ABC

b Đường thẳng DE ở vị trớ nào thỡ diện tớch tam giỏc PDE đạt giỏ trị lớn nhất?

CM

a Kẻ AH  BC cỏt DE tại K Đạt AH = h,

AK = k ta cú:

PDE ABC

S DE h - k

P =

2

k h - k

DE k

= nên P =

Áp dụng BĐT: 2 a  a b a b, 0

Dấu “=” xảy ra khi a b Tổng không đổi thì tích lớn nhất khi a = b ( đ)

Ta cú k + h – k = h khụng đổi k 0; 0   ớn nhất khi k = h - k

2

h

( đ)

2

2

4

4 PDE 4 ABC

h

h

b SPDE lớn nhất khi k = tức DE là đ ờng trung bình của tam giác ABC

2

h

( đ)

E

H

D

h

k

A

P K