ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG

Ở chương 3, khi tính độ bền của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm, ta thấy ứng suất trong thanh chỉ phụ thuộc vào độ lớn của diện tích mặt cắt ngang A.Trong những trường hợp khác, như thanh chịu uốn, xoắn... thì ứng suất trong thanh không chỉ phụ thuộc vào diện tích A mà còn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt... nghĩa là còn những yếu tố khác như: momen tĩnh, momen quán tính mà người ta gọi chung là đặc trưng hình học của mặt cắt ngang.Ở chương 3, khi tính độ bền của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm, ta thấy ứng suất trong thanh chỉ phụ thuộc vào độ lớn của diện tích mặt cắt ngang A.Trong những trường hợp khác, như thanh chịu uốn, xoắn... thì ứng suất trong thanh không chỉ phụ thuộc vào diện tích A mà còn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt... nghĩa là còn những yếu tố khác như: momen tĩnh, momen quán tính mà người ta gọi chung là đặc trưng hình học của mặt cắt ngang.

_

Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang GV Lê đức Thanh T06/2016

1

Chương 6

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG

I KHÁI NIỆM

Ở chương 3, khi tính độ bền của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm, ta thấy ứng suất

trong thanh chỉ phụ thuộc vào độ lớn của diện tích mặt cắt ngang A.Trong những trường

hợp khác, như thanh chịu uốn, xoắn… thì ứng suất trong thanh không chỉ phụ thuộc vào

diện tích A mà còn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt… nghĩa là còn những yếu tố khác như: momen tĩnh, momen quán tính mà người ta gọi chung là đặc trưng

hình học của mặt cắt ngang

Xét thanh chịu uốn trong hai trường hợp có cùng mặt cắt ngang A đặt lực khác nhau như trên H.6.1 Bằng trực giác, dễ dàng nhận thấy trường hợp a), thanh chịu lực tốt hơn trường hợp b) Như vậy, khả năng chịu lực của thanh còn phụ thuộc vào hình dáng và vị

trí mặt cắt ngang đối với phương tác dụng của lực.(Ứng suất nhỏ 04 lần độ võng nhỏ 16

lần) Cho nên sự chịu lực không những phụ thuộc A, mà cần phải nghiên cứu các đặc

trưng hình học khác của mặt cắt ngang để tính toán độ bền, độ cứng, độ ổn định để thiết

kế mặt cắt của thanh cho hợp lý

II MÔMEN TĨNH – TRỌNG TÂM

Xét một hình phẳng có mặt cắt ngang A như hình vẽ Lập hệ tọa độ vuông góc Oxy

trong mặt phẳng của mặt cắt.Gọi M(x,y) là một điểm bất kỳ trên hình

Lấy chung quanh M một diện tích vi phân dA

 Mômen tĩnh của mặt cắt A với trục x (hay trục y) là tích phân:

A

y A

vì x, y có thể âm hoặc dương nên mômen tĩnh có thể có trị số âm hoặc dương

, m3,

 Trục trung tâm là trục có mômen tĩnh của mặt cắt A đối với trục đó bằng không

 Trọng tâm là giao điểm của hai trục trung tâm

H.6.1 Dầm chịu uốn

a) Tiết diện đứng; b) Tiết diện nằm ngang

z a)

P

x

y

P

z

 Mômen tĩnh đối với một trục đi qua trọng tâm bằng không

 Cách xác định trọng tâm C của mặt cắt A:

x  x C x o; y  y C  y o

với C(xc,yc) Thay vào (6.1), 







A

xo C

o A

C o

A

C

0



xo

A y

Từ (6.2) 

A

S y

A

S

C

y

Kết luận: Tọa độ trọng tâm C(x C,y C) được xác định

diện tích A theo (6.3)

Ngược lại, nếu biết trước tọa độ trọng tâm, có thể sử dụng (6.2), (6.3) để xác định các mômen tĩnh

Nhận xét: Mặt cắt có trục đối xứng, trọng tâm nằm trên trục này vì mômen tĩnh đối với

trục đối xứng bằng không

Mặt cắt có hai trục đối xứng, trọng tâm nằm ở giao điểm hai trục đối xứng

Thực tế, có thể gặp những mặt cắt ngang có hình dáng phức tạp được ghép từ nhiều hình đơn giản Khi tính mômen tĩnh của hình phức tạp bằng cách tính tổng mômen tĩnh của các hình đơn giản

Với những hình đơn giản như chữ nhật, tròn, tam giác (trọng tâm và diện tích đã

biết) hoặc mặt cắt các loại thép định hình I, U, V, L… có thể tra theo các bảng trong

phần phụ lục) để biết diện tích, vị trí trọng tâm, từ đó dễ dàng tính được mômen tĩnh của hình phức tạp gồm n hình đơn giản:

i

n

i n

n y

i

n i n

n x

x A x

A x

A x A S

y A y

A y

A y A S

























1 2

2 1 1

1 2

2 1 1

(6.4)

Mặt cắt có trục đối xứng

x

y

C

x

y

C x

y

C

x

M

y

0

C

x

y

x0

y0

x 0

x c

yc

y0

A

dA

_

Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang GV Lê đức Thanh T06/2016

3

trong đó: Ai ,xi ,yi: diện tích và tọa độ trọng tâm của hình đơn giản thứ i,

n : số hình đơn giản











n

i i i y

C

A

x A A

S

x

1

1











i i

n

i i i x

C

A

y A A

S

y

1

1

(6.5)

Thí dụ 1:

Xác định trọng tâm mặt cắt chữ L chỉ gồm hai hình chữ nhật như trên

hình 2 có diện tích A2,và C2(x2,y2)

;

2 1

2 2 1 1

A A

A x A

x A

S

C









2 1

2 2 1 1

A A

A y A

y A

S







Thí dụ 2

Tìm trọng tâm cho mặt cắt ngang hình chữ U

Chọn trục x qua đáy mặt cắt (trục y là trục đối xứng,

trọng tâm 0 nằm trên trục y)

a) Có thể tính cho ba hình chữ nhật nhỏ 2(1x20cm)

và 20x2cm cộng lại:

A

S

) 1 20 ( 2 ) 2 20 (

) 12 1 20 ( 2 1 2 20

























trừ hình chữ nhật trong A2 = 18x20cm

cm A

A

S

S

) 20 18 ( ) 22 20 (

) 12 20 18 ( ) 12 22 24 (

2 1

2

























Thí dụ 3: Tìm trọng tâm hình chữ T Chọn trục x ban đầu qua đáy mặt cắt

(Tương tự cho hai hình còn lại)

H 6.12

20cm 2cm

20cm

y

6,5cm 15,5cm

10 cm y

12 cm

2 cm

2 cm

x

9,2cm

1,13cm

16cm

0

8cm

0

6cm 1

cm

6,87cm

X

y

Y 4a

a

2a X 0

1,5a

A

1

0

C

x

y

x2

x c

y c

y 1

C1

C 2

A 2

x1

y2

cm

A A

S S

) 2 12 ( ) 2 10 (

) 6 2 12 ( ) 13 2 10 (

2 1

2

























III MÔMEN QUÁN TÍNH - HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM

1- Mômen quán tính (MMQT)

Mômen quán tính độc cực (đối với 1điểm)

MMQT của mặt cắt A với điểm 0 được định nghĩa là biểu

thức tích phân:

A



 2

Mômen quán tính đối với trục y và x của mặt cắt A

được định nghĩa:





A

x A

Mômen quán tính ly tâm của mặt cắt A (đối với hệ trục x,y) được định nghĩa:



A

Từ định nghĩa các mômen quán tính, ta nhận thấy:

- Ix , Iy , Ip  0 (luôn luôn dương)

- MMQT ly tâm Ixy có thể dương, âm hoặc bằng không

MMQT độc cực bằng tổng MMQT đối với hai trục vuông góc x, y có gốc tại điểm cực

Theo định nghĩa của MMQT, ta cũng có:

Tính chất: Mômen quán tính của một hình phức tạp bằng tổng mômen quán tính của

từng hình đơn giản

2- Hệ trục quán tính chính trung tâm (QTCTT)

Một hệ trục tọa độ có MMQT ly tâm đối với hệ trục đó bằng

không được gọi là

hệ trục quán tính chính

Hệ trục quán tính chính đi qua trọng tâm mặt cắt (gốc đặt tại

(mọi tính toán về sau đều dùng hệ trục nầy)

Đối với hệ trục này, ta có:

y

0

M

x

y

dA

A



x

Hình có một trục đối xứng

y

0

dA 1

A1

x

A2 dA

2

_

Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang GV Lê đức Thanh T06/2016

5

S x  0; S y  0; I xy  0

Tính chất: Khi mặt cắt A có một trục đối xứng thì bất kỳ hệ trục nào vuông góc với

trục đối xứng đó đều là hệ trục quán tính chính của mặt cắt

Thật vậy: xét mặt cắt A có trục đối xứng là y như trên H.6.7 Ta luôn tìm được

những cặp vi phân diện tích đối xứng để:













I

2

0 )

Nhận xét:

MMQT đối với trục chính trung tâm được gọi là mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt A

3.Bán kính quán tính

A

I

A

I

r y  y thứ nguyên là chieudai

Bán tính quán tính đối với trục chính gọi là bán kính quán tính chính

VI MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH ĐƠN GIẢN

1- Hình chữ nhật

Hệ có hai trục đối xứng x,y cũng là hệ trục QTCTT

đến trục là y

Ta có

12

3 2

2

2

bdy y dA y I

h

h A

x    



(6.10)

Tương tự, đổi vai trò của x và y, b và h, ta được:

12

3

hb

2- Hình tam giác(tự đọc)

Tính MMQT hình tam giác đối với trục x đi qua đáy (H.6.9)

b

C

x

y

y

H.6.8

0

y

x

x

y

dy

H.6.9 h/2

Diện tích dA là dải vi phân song song với đáy, có chiều dày là dy, khoảng cách đến trục x là y và có bề rộng b yđược tính như sau: b y  b(h hy)

12 4

3 )

( )

2

h

b dy y h y h

b dy h

y h b y dA

y

I

h

o h

o A

h

o























3 Hình tròn - Hình vành khăn (tự đọc)

b)

x y



d

D

C R

a) H 6.10

d D

y

a) Hình tròn b) Hình vành khăn

Tính MMQT của hình tròn đối với trục x (hay y) là đường kính

Hệ trục (x,y) cũng là hệ trục chính trung tâm

Trước tiên tìm mômen quán tính độc cực đối với trọng tâm 0

Xét vòng tròn bán kính R ở H.6.10a Lấy phân tố diện tích dA ở dạng một vành

Mômen quán tính độc cực của toàn bộ hình tròn:

4 4

3 2

1 , 0 32 2

dA I

R

o A











Do đối xứng, ta có: I x  I y

Theo (6.10), ta có: I I x I y  2I x  2I y

4 4

05 0 64

R I

I x  y    ,

(6.13)

Theo tính chất của MMQT đối với trục đã biết ở mục 6.3,

hai hình tròn đường kính D và d:

4 4

4

1 64 64

64   







x

D x x

4

1

D

d





V CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG CỦA MMQT

_

Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang GV Lê đức Thanh T06/2016

7

Nếu biết các momen quán tính của hình phẳng A trong hệ trục tọa độ Oxy Xác định

MMQT của hình phẳng này trong hệ trụcO 1 XY song song với hệ trục đã cho (H.6.11)

A b bS

I

dA b ydA b dA y dA y b dA

Y

I

x x

A

X

2

2 2

2 2

2

2 )

(

















(6.15)



abA aS

bS

I

dA ab ydA a xdA b xydA dA

y b x a XYdA

I

y x xy

A

A A

A

XY























(6.17)

abA I

I A a I I A b I

(6.18)

Công thức (6.18) thường được sử dụng để tính các mômen quán tính chính trung tâm

của một hình phức tạp khi đã biết mômen quán tính chính trung tâm của từng hình đơn giản

Từ công thức này, ta nhận thấy: trong tất cả các trục song song thì mômen

quán tính đối với trục trung tâm luôn có giá trị nhỏ nhất Momen quán tính tăng

dần khi di chuyển trục song song xa dần trọng tâm mặt cắt (a,b tăng)

Thí dụ: Tính mômen quán tính đối với trục BB đi qua đáy của hình chữ nhật (H.6.8)

Giải

I BB = I x +

3 2

12 2

3 2

3 2

bh hb h bh A



























12

3

h

b

Thí dụ 4: Tìm MMQT chính trung tâm của mặt cắt chữ U như hình vẽ

Giải

Tìm trọng tâm C:

Chọn hệ trục ban đầu qua đáy (trục y là trục đối

xứng, C nằm trên trục y)

cm A

S

) 1 20 ( 2 ) 2 20 (

) 12 1 20 ( 2 1 2 20



























IY

M

°

y

X Y

01

x

X

y Y

b a

H 6.12

20cm 2cm

20cm

y

6,5cm 15,5cm

4 )

2 ( )

1

(

67 , 3766

I

12

2

605 67 , 666 5

, 5 ) 20 1 ( 12

20

)

3

(

)

2

(















 X

X I

) 1805 666

, 1 ( 2 333 , 13 ) 1 20 ( 5 , 9 12

1 20 2 12

20 2

3 3

2









 







Y I

I

Ix lớn_

Ix nhỏ

3 2

3

67 , 3766 )

5 , 5 ) 20 18 ( 12

20 18 ( ) 5 , 4 ) 22 20 ( 12

22 20

cm





















)

3 3

67 , 4946 12

18 20 12

20 22

cm I

Y

Y Y  Y LÔN  Y NHO     

Thí dụ 5: Tìm trọng tâm và momen quán tính chính trung tâm

2

2 2 ) 2 ( 1

2 1 ) 1 ( ) 2 ( )

1

(

A b I

A b I

I

I

I X  X  X  x   x 

4 2

3 2

3

227 , 829 20 ) 8 , 3 ( 12

2 10 24 ) 2 ,

3

(

12

12

.

2

cm















4 3

2 )

2

(

)

1

(

76 , 174 12

10 2 12

2 12

cm I

I

I Y  Y  Y     

Thí dụ 6 Tìm trọng tâm và momen quán tính đối với trục nằm ngang.(hê trục qua đáy)

cm A

S

4

10 12 30

5 , 22 4

10 15 12 30

2

2























2 2 ) 2 ( 1

2 1 ) 1 ( ) 2 ( ) 1

(

A b I

A b I

I I

I X  X  X  x   x 

10 cm

y

12 cm

2 cm

2 cm

x

9,2cm

X x

12,9cm

cm

12cm

10cm

15cm

15cm

Y

0

_

Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang GV Lê đức Thanh T06/2016

9

2 2 4

2 3

4 , 20862 )

4

10 ) 59 , 9 ( 64

10 ( 12 30 ) 09 , 2 ( 12

30

.

12

cm









Thí dụ 7.Tìm momen quán tính chính trung tâm IX

64

5 2 4 2

64

2 2

2

4 2

2 4

2

D D

D D

A

D I





































































64 2

2

4

D I

I X  x 

Tóm tắt:

- Nếu mặt cắt ngang có ít nhất một trục đối xứng

Tìm momen quán tính chính trung tâm như sau:

Tìm toạ độ trọng tâm của mặt cắt ngang ,tìm momen quán tính chính của từng hình

Dùng công thức chuyển trục song song để tìm momen quán tính chính trung tâm

I X I x b2A ; I Y I y a2A ; I XY I xyabA

với x//X (cách nhau b), y//Y(cách nhau a)

- Nếu mặt cắt ngang không có trục đối xứng nào dùng công thức xoay trục như phần sau (tự đọc)

VI CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MMQT- XÁC ĐỊNH HỆ

TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH (HTQTC) :

1 Công thức xoay trục:

Oxy

Hệ trục Ouv hình thành từ việc xoay hệ trục Oxy một

góc  ngược kim đồng hồ ( H.6.13)

Tọa độ của điểm trong hệ trục mới và hệ tọa độ cũ

được liên hệ như sau:









sin cos

cos sin

x y

v

x y

u

Theo định nghĩa, các MMQT đối với trục u, v là:

H 6.13

·

O

M

v

u

x

y

a

a

dA

A

v

y

u

x

X

D

Y

D

X

D

I v dA

A

u  2 ; I u dA

A

v  2 ; I uv dA

A

uv 

 Tính I u























A A

A

A aAÂI

u

xydA dA

x dA

y

dA x

y dA

v

I













cos sin sin

cos

sin cos

2

2 2 2

2

2 2







x

Sử dụng các công thức lượng giác:



2

1 sin

; 2 cos 1

2

1

(a) trở thành:



2 2

2 y x y cos xy sin

x

(6.20)



2 2

2 y x y cos xy sin

x

 Tính I uv :





























A A

A A

A A

uv

dA x xydA

dA xy dA

y

dA x

y x

y dA uv

I

2 2

2













cos sin cos

sin cos

sin

sin cos

) cos sin

(

I uv ( I x I y ) sincos I xy cos2  (b)



2

2 y sin xy cos

x

2- Hệ trục quán tính chính- Cách xác định

 Hệ trục QTC: Theo định nghĩa ở mục 6.3, hệ trục quán tính chính là hệ trục

có MMQT ly tâm bằng không

Để xác định hệ trục này, cho I uv = 0 

y x

xy

I I

I tg





180  có hai

với nhau

x

J uv

J uv

J xy

I u

J max

J min

P

M

M o



C

_

Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang GV Lê đức Thanh T06/2016

11

 MMQT cực trị : Để tìm góc  sao cho mômen quán tính có trị số lớn nhất hoặc

2



u I x I y sin I xy cos

d

dI

(c)

Như vậy đối với hệ trục chính vuông góc, mômen quán tính có giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất, gọi là mômen quán tính chính

Thế ngược lại 2 từ (6.24) vào (6.21) và (6.22), ta được trị số các mômen quán tính chính:

2 2

4 2

1

y

I

4 2

1

y

I

 Cách xác định hệ trục QTCTT của một hình phẳng bất kỳ

Trong trường hợp tổng quát, khi diện tích A không có trục đối xứng, hệ trục

QTCTT được xác định theo trình tự như sau:

- Chọn hệ trục Oxy bất kỳ ban đầu Xác định trọng tâm của hình trong hệ trục này

- Chuyển trục song song về trọng tâm của hình Tính các mômen quán tính đối với

hệ trục trung tâm

- Xoay trục để tìm trục quán tính chính đi qua trọng tâm

Việc xác định hệ trục QTCTT cũng như tính toán các mômen quán tính chính là rất

cần thiết trong việc tính toán ứng suất, chuyển vị của thanh chịu uốn, xoắn… mà ta sẽ nghiên cứu ở các chương sau

Thí dụ 7

d=6,5cm, A =40,5cm2, t =1cm Ix=5810cm4, Iy=327cm4, z0=2,52cm được ghép với hai tấm thép đối xứng 40x1cm

Giải:

Trọng tâm tại C vì hình đối xứng

Tính :I X 2I(X1) 2(I X(2) b22A2)

4

2 3

67

,

30846

40 1 ) 5 , 15 ( 12

1 40 ( 2 5810

2

cm

Thí dụ 8:

Từ bài trên bỏ bớt tấm thép phía trên Tìm

lại

t=1 cm

x h=30cm

b=40cm

b=10 cm

o

z

Y

0

X

1 cm

1

cm

t=1 cm

x h=30cm

b=40cm

b=10 cm

o

z

c

Y

0

X

1 cm

trọng tâm và moment quán tính chính trung tâm IX ,IY

Chọn hệ trục ban đầu x0Yqua trọng tâm

tấm thép

cm

5 40 2 1

40

5 15 5 40

2

,

) , ,













4 5 18056 5

40 38

10 5 15 5810 2 1 40 38 10 12

1

I X   ( , )   ) ( ( ,  , )  , ) ,

4 11 18684 5

40 10

20 327 2 12

40

0

3

cm z

I Y    ( (   )  , ) ,

Thí dụ 9 Đọc thêm

Tính momen quán tính chính trung tâm của hình phẳng

sau (không có trục đối xứng nào)

Chọn hệ trục ban đầu xoy(qua tâm h.1)

a a

a a a









6 6

2 2 3 0

) (

) ( (1) 12 1 (2) 22 2 )

2 ( )

1

(

A b I

A b I I

I

I X  X  X  x   x 

2 2

3

32 ) ) 2 3 ( 12

) 2 ( 3 ( ) ) 6 ( 12

) 6 (

(a a  a a a  a a  a a a  a



) (

)

) 2 ( )

1

(

A a I

A a I

I I

I Y  Y  Y  y    y 

2 2

3

17 2

3 12

3 2 6

12

6a a  a a a  a a  a a a  a

( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

2 2 2 ) 2 ( 1 1 1 ) 1 ( ) 2 ( )

1

(

A b a I

A b a I

I I

12 6

0 6

0  a  a  a   aa a  a







y x

xy I I

I

2 2

17 32

12 2

4

4

, )

(  







a

a

o (2) 61

2 2

4 2

1

y

I

,với (o (1) 29o)

2 2

4 2

1

y

I

,

Cách tìm momen quán tính :

-Nếu mặt cắt ngang không có trục đối xứng

2a

c 4a

0 1

a

X

Y

Imax

Imin

-290 6a

x

y

a a

a

a a a









6 6

2 2

3

0