Tài liệu chương 4 Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang ppt

1 Mô men tĩnh và trọng tâm của hình phẳng 1-Mô men tĩnh Xét 1 hình phẳng có diện tích F trên hệ trục xoy.. 2- Trọng tâm của hình phẳng: Mô men tĩnh lấy đối với trục nào đó mà bằng 0 t

ch-ơng 4

Đặc tr-ng hình học của mặt cắt ngang

Trong ch-ơng kéo nén đúng tâm, ta đã biết khả năng chịu lực của mặt cắt ngang chỉ phụ thuộc vào diện tích của mặt cắt ngang mà không phụ thuộc vào hình dáng của chúng Trong các tr-ờng hợp chịu lực khác, ngoài diện tích, khả năng chịu lực còn phụ thuộc vào hình dáng, nghĩa là còn phụ thuộc vào các thông số khác mà ta

sẽ nghiên cứu trong ch-ơng này

1 Mô men tĩnh và trọng tâm của hình phẳng

1-Mô men tĩnh

Xét 1 hình phẳng có diện tích F trên hệ trục xoy Tại điểm K(x,y) bất kỳ, lấy xung quanh K một phân tố diện tích dF Khi đó mô men tĩnh của hình phẳng diện tích F đối với trục x hoặc y đ-ợc định nghĩa bằng biểu thức sau:

Sy = x dF

F

.



Sx = y dF

F

.



Theo định nghĩa thì mô men

tĩnh có thứ nguyên là:[chiều

dài3].và có đơn vị cm3

Ta cũng thấy là mô men tĩnh có

thể d-ơng, âm hoặc bằng 0

2- Trọng tâm của hình phẳng:

Mô men tĩnh lấy đối với trục

nào đó mà bằng 0 thì trục đó gọi là trục trung tâm

Giao điểm của 2 trục trung tâm đ-ợc gọi là trọng tâm của hình phẳng

Hệ trục toạ độ có gốc toạ độ đi qua trọng tâm gọi là hệ trục trung tâm Hệ trục trung tâm phải thoả mãn điều kiện là Sx=Sy=0

Ta hãy xác định trọng tâm: Giả sử ta biết trọng tâm của hình phẳng diện tích

dF là C(xc,yc) Ta có t-ơng quan hệ trục toạ độ là:

y=yc+yo

x=xc+xo

Thay vào biểu thức tổng quát ta có:

Sx= (

F

 yc+yo).dF=

F

 yc.dF +

F

 y0.dF =yc.F (vì

F

 yodF =0 ) Suy ra: Sx=yc.F và yc=S

F

x

y yo dF

y K x xo

C

o xc x x

T-ơng tự ta có: Sy=xc.F và xc=S

F

y

(4.1) (4.1) là công thức xác định mô men tĩnh của hình phẳng và đồng thời cũng là công thức xác định trong tâm của hình phẳng khi biết mmô men tĩnh và diện tích Trong tr-ờng hợp hình phẳng bao gồm các hính ghép đơn giản thì toạ độ trọng tâm đ-ợc xác định bằng các biểu thức sau:

xc=x F x F x F

n

(4.2)

yc = y F y F y F

n

Trong đó xci, yci, Fi là hoành độ , tung độ và diện tích của hình thứ i

2 Mô men quán tính

1 Mô men quán tính trục:

Mô men quán tính của

hình phẳng diện tích F đối

với trục x hoặc y đ-ợc định

nghĩa bằng biểu thức sau:

Jx=

F

 y2.dF

và Jy=

F

 x2.dF

Qua biểu thức định nghĩa

ta thấy :Mô men quán tính có

thứ nguyên là [chiều dài4],

Đơn vị là cm4 và luôn luôn

d-ơng

2 Mô men quán tính độc cực:

Mô men quán tính độc cực của hình phẳng diện tích F đối với gốc toạ độ đ-ợc

định nghĩa bằng biểu thức sau:

y

y dF

K 

x x

Jxy=

F

 xy.dF Dựa vào biểu thức định nghĩa, ta thấy mô men quán tính ly tâm cũng có thứ nguyên [chiều dài4], và có thể d-ơng âm hoặc bằng 0

4.Hệ trục quán tính chính trung tâm:

Ng-ời ta đã chứng minh đ-ợc rằng luôn luôn tồn tại 1 hệ trục mà có mô men quán tính ly tâm Jxy=0 Hệ trục đó gọi là hệ trục chính Mô men quán tính lấy đối với hệ trục chính gọi là mô men quán tính chính

Hệ trục chính mà có gốc toạ độ đi qua

trọng tâm gọi là hệ trục quán tính chính trung

tâm và mô men quán tính lấy đối với nó gọi là

mô men quán tính chính trung tâm

Hệ quả:Nếu hình phẳng có ít nhất 1 trục

đối xứng thì hệ trục đ-ợc tạo bởi 1 trục đối

xứng và 1 trục vuông góc với nó chính là hệ

trục chính

Ta có thể dễ dàng chứng minh đ-ợc điều

này: Giả sử ta có 1 hình phẳng có 1 trục đối xứng (hình vẽ)

Vì là hình đối xứng cho nên bao giờ ta cũng lấy đ-ợc 1 điểm có toạ độ +x thì

điểm đối xứng là -x Cho nên mô men quán tính ly tâm của bên phải bao giờ cũng bằng và ng-ợc dấu với bên trái Cho nên Jxy=0 nghĩa là hệ trục này chính là hệ trục chính

Trong thực tế , mặt cắt ngang có 1 truc đối xứng rất phổ biến, cho nên hệ quả này rất quan trọng khi sử dụng trong thực tế

5.Mô men quán tính của 1 số hình đơn giản

a) Hình chữ nhật

Xét 1 hình chữ nhật có kích th-ớc b,h Xét

dải phân tố diện tích dF=b.dy Theo biểu

thức định nghĩa, ta có:

Jx=

F

 y2.dF=







h h

2

2

y2.b.dy

ta có Jx=b h. 3

12

T-ơng tự Jy=h b. 3

12

y

-x +x x

y +h/2 dy

y x h

+h/2

b

b)Hình tam giác

Xét 1 hình tam giác có đáy là b, chiều

cao là h T-ơng tự nh- khi tính đối với hình

chữ nhật , ta có mô men quán tính lấy đối với

trục x đi qua đáy là:

Jx=b h. 3

12

c) Hình tròn

Xét 1 hình tròn đ-ờng kính D=2R Lập

hệ trục toạ độ đi qua tâm xoy Vì là hình tròn cho nên ta có:

Jp=2Jx=2Jy

Lấy phân tố diện tích nh- trên hình vẽ

Ta có dF= .d.dR

Jp= d d

R

  



3 0

0

2



 =.R4 .D4

Hay Jp=0,1D4

Ta có Jx=Jy=0.05D4

d )Hình vành khăn

Xét hình vành khăn có đừơng kính ngoài D, đ-ờng kính trong d Khi đó ta có:

Jp=Jđăc-Jrỗng=0.1D4(1-4)

3 Các phép biến đổi hệ trục toạ độ

Hầu hết các mặt cắt ngang ngoài thực tế đều là các hình ghép bởi các hình đơn giản, cho nên khi chuyển về hệ trục toạ độ chung ta phải chuyển đổi hệ trục toạ

độ,cho nên ta phải nghiên cứu các phép biến đổi hệ trục toạ độ

1 Phép chuyển trục song song

y

h

by x

b

Ta có t-ơng quan hệ trục

toạ độ nh- sau:

Y=y+b

X=x+a

Theo biểu thức định nghĩa,

ta có:

JX=

F

 (y+b)2.dF

=

F

 y2dF+2b

F

 y.dF+b2

F

 dF hay :

JX=Jx+2bSx +b2.F

T-ơng tự JY=Jy+2a.Sy +a2.F

Ta tính mô men quán tính ly tâm:

JXY =

F

 (x+a).(y+b).dF =

F

 (xy +ay+bx+ab)dF Sau khi biến đổi ta có: JXY=Jxy+a.Sx+b.Sy+abF

Các công thức trên là công thức chuyển đổi song song từ hệ trục bất kỳ sang hệ trục mới Nếu hệ trục ban đầu là hệ trục trung tâm có gốc toạ độ trùng với trọng tâm của hìng phẳng, khi đó Sx=Sy=0 Cho nên:

JX=Jx+b2F

JY=Jy+a2F (4.4)

JXY=Jxy+abF

Công thức 4.4 là công thức th-ờng đ-ợc sử dụng trong khi tính toán vì trong thực tế hầu hết các hình đơn giản ta đều biết sẵn các công thức tính các mô men quán tính, cũng nh- trọng tâm của các hình đơn giản

Qua công thức 4.4 ta thấy càng ra xa trọng tâm thì mô men quán tính trục càng lớn

2- Phép xoay trục

Khi xoay trục, ta đ-ợc biểu thức tính toán t-ơng tự nh- -s trên mặt cắt xiên trong ch-ơng trạng thái -s và cũng sử dụng vòng tròn Mor để tính toán

Y y dF

Y y

b o x x

O a X X