Giải tích ngẫu nhiên ngày nay đóng một vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết xác suất thống kê hiện đại, nó có ứng dụng hết sức rộng rãi ở tất cả các lĩnh vực khác nhau như trong công nghệ thông tin, công nghệ viễn thông, kinh tế, thị trường chứng khoán, bảo hiểm, dự báo rủi ro, nông nghiệp,... Và hiện nay đang được giảng dạy ở hầu hết các trường đại học trong và ngoài nước, nó thu hút rất nhiều nhà khoa học không ngừng nghiên cứu và phát triển về nó. Luận văn chia làm 3 chương cụ thể: chương 1: Những khái niệm cơ bản của tích phân ngẫu nhiên chương 2: Quá trình Itô và các tính chất chương 3: Tích phân Wiener Itô bội
Trang 1LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin gửi lời tri ân đến bậc sinh thành Người đã nuôi dưỡng, giáo dục,tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi có thể học tập tới ngày hôm nay
Tôi xin gửi đến thầy hướng dẫn − Tiến sĩ Dương Tôn Đảm lòng kính trọng vàbiết ơn sâu sắc Thầy đã hướng dẫn, giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập vàquá trình thực hiện luận văn Thầy đã chỉ bảo những khó khăn trở ngại, truyền đạt
những ý tưởng, hướng dẫn tôi cách tìm tài liệu, động viên tôi lúc khó khăn để tôi có
thể hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán−Tin học trường ĐạiHọc Khoa Học Tự Nhiên, các thầy cô trong bộ môn Xác Suất Thống Kê, các thầyPGS.TS Nguyễn Bác Văn, Tiến sĩ Tô Anh Dũng đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn, cungcấp cho tôi những kiến thức quý báo trong những năm học cao học
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng đào tạo Sau Đại Học,thư viện trường cùng quý thầy cô, cán bộ công nhân viên trường Đại Học Khoa HọcTự Nhiên đã giúp đỡ, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian học tại trườngcũng như trong thời gian thực hiện luận văn này
Cuối cùng, tôi tỏ lòng biết ơn đến cán bạn lớp Cao học Toán khoá 17, đặc biệtlà các bạn chuyên ngành Xác Suất Thống Kê khoá 17 luôn sẵn sàng giúp đỡ, động viên,chia sẽ những khó khăn , tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học và trongquá trình thực hiện luận văn
Tp Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2010
Nguyễn Thành Tâm
Trang 2Mục lục 2 Luận văn thạc sĩ toán học
MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn 1
Mục lục 2
Lời giới thiệu 6
Bảng kí hiệu 8
Chương I: Một số khái niệm về tích phân ngẫu nhiên 9
§1.1 Tích phân Wiener 9
1.1.1 Tích phân Wiener của hàm số đơn giản 9
1.1.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Wiener của hàm đơn giản 10
1.1.3 Tích phân Wiener của hàm số bình phương khả tích 12
1.1.4 Ví dụ 13
§1.2 Tích phân ngẫu nhiên Itô 14
1.2.1 Định nghĩa tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên 14
1.2.2 Các tính chất của tích phân ngẫu nhiên Itô 15
1.2.3 Ví dụ 16
§1.3 Tích phân Stratonovitch 18
1.3.1 Các định nghĩa 18
1.3.2 Ví dụ 19
1.3.3 Liên hệ giữa tích phân Stratonovitch và tích phân Itô 19
§1.4 P−Tích phân 21
1.4.1 Định nghĩa 21
1.4.2 Chú ý 21
1.4.3 Ví dụ 22
§1.5 Martingale 23
1.5.1 Định nghĩa ( Bộ lọc) 23
1.5.2 Định nghĩa ( Martingale) 23
1.5.3 Định lý 23
1.5.4 Định lý 25
Chương II: Quá trình Itô và các tính chất 28
Trang 3§2.1 Quá trình Itô 28
2.1.1 Định nghĩa ( quá trình Itô) 28
2.1.2 Công thức Itô trường hợp một chiều 29
2.1.3 Ví dụ 29
2.1.4 Công thức Itô tổng quát 30
2.1.5 Ví dụ 31
2.1.6 Định lý ( mối liên hệ giữa quá trình Itô và martingale) 34
§2.2 Khai triển Itô−Taylor 36
2.2.1 Khai triển Taylor cho trường hợp biễu diễn tích phân tất định 36
2.2.2 Khai triển Itô−Taylor cho quá trình Itô 37
§2.3 Phương pháp số xấp xỉ quá trình Itô 43
2.3.1 Một số tiêu chuẩn hội tụ 43
2.3.1 Định nghĩa ( xấp xỉ mạnh) 44
2.3.2 Định nghĩa ( xấp xỉ yếu) 44
2.3.3 Phương pháp xấp xỉ mạnh 44
2.3.3.1 Phương pháp Euler−Maruyama mạnh 45
2.3.3.2 Phương pháp Milstein mạnh 45
2.3.3.3 Phương pháp Taylor mạnh 46
2.3.3.4 Phương pháp xấp xỉ mạnh Runge−Kutta 47
2.3.4 Phương pháp xấp xỉ yếu 48
2.3.4.1 Phương pháp Euler yếu 48
2.3.4.2 Phương pháp Taylor yếu 48
2.3.4.3 Phương pháp Runge−Kutta yếu 49
Chương III: Tích phân Wiener−Itô bội 50
§3.1 Tích phân Wiener−Itô kép 50
3.1.1 Định nghĩa ( Hàm bậc thang ngoài đường chéo) 50
3.1.2 Định nghĩa ( Hàm đối xứng hoá) 50
3.1.3 Định lý 51
3.1.4 Định lý 51
3.1.5 Bổ đề 53
3.1.6 Định nghĩa ( Tích phân Wiener−Itô kép) 53
3.1.7 Ví dụ 53
3.1.8 Định lý 54
Trang 4Mục lục 4 Luận văn thạc sĩ toán học
3.1.9 Định lý 55
3.1.10Ví dụ 56
§3.2 Tích phân Wiener−Itô bội 57
3.2.1 Tích phân Itô lặp 57
3.2.1.1 Định nghĩa ( Hàm đối xứng) 57
3.2.1.2 Định nghĩa ( Hàm đối xứng hoá) 57
3.2.1.3 Định nghĩa ( Tích phân Wiener−Itô lặp) 58
3.2.1.4 Định lý 59
3.2.1.5 Định lý 59
3.2.2 Tích phân Wiener−Itô bội 60
A Xây dựng tích phân bội cho hàm bậc thang ngoài đường chéo 61
3.2.2.1 Định nghĩa ( Hàm bậc thang ngoài đường chéo) 61
3.2.2.2 Định lý 61
3.2.2.3 Định lý 62
B Xấp xỉ tích phân bội bằng dãy các hàm bậc thang ngoài đường chéo 64
3.2.2.4 Định lý 64
3.2.2.5 Định nghĩa ( Tích phân bội) 64
3.2.2.6 Định lý ( Tính chất của tích phân bội) 65
3.2.2.7 Định lý ( Mối quan hệ giữa tích phân bội với tích phân lặp) 65
3.2.2.8 Định nghĩa ( Tích phân bội theo tích phân lặp) 66
§3.3 Đa thức Hermite và quá trình Hermite 67
A Đa thức Hermite theo một biến x 67
3.3.1 Định nghĩa 67
3.3.2 Định nghĩa ( Đa thức Hermite một biến) 67
B Đa thức Hermite bậc n biến x, tham số t 69
3.3.3 Định nghĩa ( Đa thức Hermite chưa chuẩn hoá bậc n, biến x, tham số t) 71 3.3.4 Định lý 71
3.3.5 Định lý 72
3.3.6 Một vài kết quả rút ra từ đa thức Hermite 73
C Quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite 74
3.3.7 Định nghĩa ( Đa thức Hermite bậc n, biến x, tham số t chuẩn hoá) 74
3.3.8 Định nghĩa ( Quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite) 74
3.3.9 Định lý 75
Trang 53.3.10Bổ đề 75
3.3.11Hệ quả 76
3.3.12Định lý ( Các tính chất cơ bản của quá trình Hermite) 77
3.3.13Định nghĩa (Quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite suy rộng) 79
3.3.14Định lý 79
§3.4 Khai triển Wiener−Itô Chaos 81
3.4.1 Định nghĩa ( Tích tenxơ) 81
3.4.2 Định lý 81
3.4.3 Định lý ( Phép biểu diển Itô của một đại lượng ngẫu nhiên) 83
3.4.4 Khai triển Wiener−Itô Chaos 85
3.4.5 Ví dụ 89
3.4.5.1 Ví dụ 1 89
3.4.5.2 Ví dụ 2 89
3.4.5.3 Ví dụ 3 90
Kết luận 91
Tài liệu tham khảo 92
Trang 6Lời giới thiệu 6 Luận văn thạc sĩ toán học
LỜI GIỚI THIỆU
Giải tích ngẫu nhiên ngày nay đóng một vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyếtxác suất − thống kê hiện đại, nó có ứng dụng rộng rãi ở tất cả các lĩnh vực khác nhaunhư trong công nghệ thông tin, công nghệ viễn thông, kinh tế, thị trường chứng khoán,
bảo hiểm, dự báo rủi ro, trong nông nghiệp Và hiện đang được giảng dạy ở hầu
hết các trường đại học trong và ngoài nước, nó thu hút rất nhiều nhà khoa học khôngngừng nghiên cứu và phát triển về nó
Trong đó vi tích phân Itô là một trong những khái niệm quan trọng của giải tíchngẫu nhiên Từ khái niệm đó người ta đã xây dựng nên một lớp các quá trình ngẫunhiên Itô, chúng rất có ý nghĩa về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng Do đó đã đượccác nhà toán học và các nhà kinh tế nghiên cứu và phát triển
Phạm vi của luận văn này là hệ thống lại một số kết quả đã có và tìm hiểu thêmcác tính chất của quá trình Itô, xem xét một số ứng dụng của vi tích phân Itô, khái quátlại những kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên và trên cơ sở đó bước đầu tìm hiểuvề giải tích Malliavin
Luận văn được chia làm 3 chương cụ thể như sau:
Chương I: Những khái niệm cơ bản của tích phân ngẫu nhiên Chương này trìnhbày các kiến thức cơ sở cần cho các chương tiếp theo bao gồm: tích phân Wiener và cáctính chất, tích phân Itô và các tính chất, tích phân Stratonovitch, P− tích phân, trongđó ta có xét đến sự liên hệ của các loại tích phân, ngoài ra ta còn tìm hiểu sơ lược vềMartingale cùng với định lý quan trọng của nó từ đó dẫn tới việc ta xét mối quan hệ
giữa quá trình Itô và martingale ở chương II
Chương II: Quá trình Itô và các tính chất Nghiên cứu và phân tích kỹ quá trìnhItô trong trường hợp một chiều và trường hợp nhiều chiều, công thức Itô trường hợpmột chiều và công thức Itô tổng quát cùng các ví dụ Trong đó ta nghiên cứu tính chấtquan trọng là điều kiện để quá trình Itô trở thành martingale Tiếp theo là nghiên cứucông thức khai triển Itô−Taylor , một trong những công thức quan trọng dùng để xây
Trang 7dựng các phương pháp số để giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên Từ khai triểnItô−Taylor tiếp đến ta xây dựng các thuật toán xấp xỉ để giải phương trình vi phân ngẫunhiên trên cơ sở phương pháp số.
Chương III: Tích phân Wiener−Itô bội Bắt đầu từ tích phân Wiener−Itô kép làtrường hợp đặt biệt của tích phân bội, kế tiếp ta xét tích phân lặp, tích phân Wiener−Itôbội và xét mối quan hệ giữa chúng Trong chương này ta còn xét đa thức Hermite, quátrình Hermite và các tính chất đặc biệt của chúng Từ đó dẫn đến kết quả cuối chươnglà xây dựng khai triển Wiener−Itô Chaos và một số ví dụ áp dụng
Trang 8Bảng kí hiệâu 8 Luận văn thạc sĩ toán học
BẢNG KÍ HIỆU
1A Hàm chỉ tiêu của tập A
L2(Ω) Không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích
L2([0, T ]) Không gian các hàm số thực bình phương khả tích trên [0, T ]
||.|| L2 (Ω) Chuẩn trên L2(Ω)
l.i.m
n→∞ Giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình
E(X) Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X
Lf Toán tử tác động lên hàm f
O(∆) Vô cùng bé có bậc cao hơn bậc của ∆
α(x) ∼ β(x) α tương đương với β
I2(f ) Tích phân Wiener−Itô kép của hàm f
Jn (f ) Tích phân Wiener−Itô lặp n lần của hàm f
In (f ) Tích phân Wiener−Itô bội của hàm f
b
(2k − 1)!! Tích các số lẽ 1.3 .(2k − 3)(2k − 1)
Trang 9CHƯƠNG I:
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
Trong chương này chúng ta nhắc lại sơ lược về khái niệm, một số tính chất, và cácquan hệ của một số tích phân ngẫu nhiên quen thuộc
F W t, t ≥ 0 là quá trình Wiener, là quá trình thỏa các điều kiện sau:
• Xuất phát từ 0, nghĩa là W0 = 0
• Có số gia độc lập
•Gia số W t − W s, 0 ≤ s ≤ tcó phân phối chuẩn với kỳ vọng bằng 0 và phương
sai bằng (t − s)
• Hầu hết quỹ đạo của W t là hàm liên tục
1.1.1 Tích phân Wiener của hàm số đơn giản
Hàm f : [0; T ] −→ R là hàm số đơn giản trên [0, T ], nếu nó có dạng :
Trang 10Chương I: Tích phân ngẫu nhiên 10 Luận văn thạc sĩ toán học
ck , k = 0, 1, , n − 1 là các số thực hữu hạn
S là không gian tuyến tính , tức là nếu f, g ∈ S thì af + bg ∈ S, ∀a, b ∈ R
S là tập trù mật trong không gian Hilbert của các hàm bình phương khả tích L2([0, T ])
1.1.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Wiener của hàm đơn giản
1.1.2.1 Tính chất 1
Với f ∈ S thì I(f) ∈ L2(Ω) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 0
và phương sai bằng ||f||2
2 , tức là:
Trang 11Do W t là quá trình Wiener nên W tk+1 − W tk, (k = 0, 1, , n − 1) là các đại lượng
ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng E(W tk+1− W tk) = 0và phương sai là V ar(W tk+1− W tk) =
Trang 12Chương I: Tích phân ngẫu nhiên 12 Luận văn thạc sĩ toán học
• Chứng minh tính bảo toàn tích vô hướng:
Từ đẳng thức hình bình hành, tính tuyến tính và tính đẳng cự của I ta có:
< I(f ), I(g) >= ||I(f ) + I(g)||
1.1.3 Tích phân Wiener của hàm số bình phương khả tích
Do S là tập trù mật trong L2
([0, T ]) nên từ ánh xạ I : S −→ L2
Dựa vào tính chất (1.1.2.2) và (1.1.2.3) ta được:
||I(f n ) − I(f m)||L2 (Ω)= ||I(f n − f m)||L2 (Ω) = ||f n − f m||L2([0,T ])
⇒ ||I(f n ) − I(f m)||L2 (Ω) → 0 khi n, m → ∞ Từ đùó suy ra {I(f n)} là dãy cauchy trong L2(Ω) Do L2(Ω) là không gian đầy đủ nêntồn tại giới hạn ( theo nghĩa bình phương trung bình ):
Trang 13(l.i.m là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình)
Ta gọi biến ngẫu nhiên
Trang 14Chương I: Tích phân ngẫu nhiên 14 Luận văn thạc sĩ toán học
§ 1.2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITÔ
Tích phân Wiener là tích phân của hàm tất định theo độ đo Wiener, ta sẽ mở rộng hàm
dưới dấu tích phân là một hàm ngẫu nhiên f : [0, T ] × Ω → R, với T không âm, khi đó
ta sẽ được tích phân Itô
Giả sử (Ω, F, P ) là không gian xác suất cơ sở, trên không gian xác suất đó có họ hàm không giảm các σ−đại số F t⊂ F, và quá trình Wiener W t Cho T > 0 là một số không âm, ta xét N T là lớp các hàm ngẫu nhiên:
f : [0, T ] × Ω → R
Sao cho:
• f (t, ω) là hàm đo được ( theo hai biến ), tức là B × F− đo được, với B là
σ− đại số Borel trên [0, T ]
• f (t, ω) là tương thích đối với Ft , tức là f t là Ft đo được
1.2.1 Định nghĩa tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên
Việc xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô cũng tương tự như xây dựng tích phân Wiener
Do đó để xây dựng khái niệm tích phân ngẫu nhiên thuộc lớp N T trước hết ta xét cáchàm sơ cấp đơn giản
Hàm sơ cấp ϕ ∈ N T là hàm có dạng:
• 0 = t0 < t1< < tn−1 < tn = T là phân hoạch của [0, T ]
• µ là biến ngẫu nhiên F0 đo được
• µ k (ω) là các biến ngẫu nhiên Ftk− đo được
• 1Ak là hàm chỉ tiêu của tập A k , với A k = (t k, tk+1 ], k = 0, 1, , n − 1
Với các hàm sơ cấp dạng (1.2.1) ta xác định tích phân Itô bởi:
Trang 15Tập hợp các hàm số sơ cấp ϕ là trù mật trong N T Do đó với f ∈ N T sẽ tồn tại
dãy hàm sơ cấp ϕ n (t, ω) ∈ N T bi chặn sao cho
Do đó I(ϕ n) là dãy cauchy trong không gian L2(Ω, F , P ).
Ta định nghĩa tích phân Itô cho hàm ngẫu nhiên f thuộc lớp N T theo công thức sau:
1.2.2 Các tính chất của tích phân ngẫu nhiên Itô
Tích phân Itô là một ánh xạ I từ không gian L2(B × F ) = L2([0, T ] × Ω, B × F , mes × P ) vào không gian L2
(Ω, F , P ) có các tính chất sau:
Trang 16Chương I: Tích phân ngẫu nhiên 16 Luận văn thạc sĩ toán học
Tương tự như tích phân Wiener, các tính chất này của tích phân Itô đúng với các hàm
sơ cấp Do đó khi xấp xỉ f bằng dãy các hàm sơ cấp và sau đó bằng cách chuyển qua giới hạn ta chứng minh được sự đúng đắn của các tính chất này cho f ∈ N T
Trang 17j
1
2(t j+1 − t j)2 → 0 khi ∆t j → 0Khi đó theo định nghĩa tích phân Itô ta được:
Trang 18Chương I: Tích phân ngẫu nhiên 18 Luận văn thạc sĩ toán học
§ 1.3 TÍCH PHÂN STRATONOVICH
1.3.1 Các định nghĩa
1.3.1.1 Định nghĩa 1
Giả sử f : [0, T ] × Ω −→ R, T > 0 là một hàm ngẫu nhiên khả vi liên tục , tích phân
Stratonovitch được định nghĩa bởi giới hạn theo xác suất của tổng tích phân
Giả sử f : [0, T ] × Ω −→ R, T > 0 là một hàm ngẫu nhiên khả vi liên tục , tích phân
Stratonovitch được định nghĩa bởi giới hạn theo xác suất của tổng tích phân
n−1
X
k=0
12
Trang 19Đôi khi người ta dùng một khái niệm mở rộng hơn của tích phân Stratonovitch:
1.3.3 Liên hệ giữa tích phân Stratonovitch và tích phân Itô
Giả sử f : R −→ R là một hàm khả vi liên tục, khi đó ta có công thức liên hệ giữa tích
phân Stratonovitch và tích phân Itô như sau:
Trang 20Chương I: Tích phân ngẫu nhiên 20 Luận văn thạc sĩ toán học
Lấy giới hạn hai vế , cho |∆| = max|t k+1 − t k| → 0 với phân hoạch bất kỳ D : 0 = t0 <
t1 < < tn = T,khi đó ta sẽ được công thức liên hệ trên
Trang 21§ 1.4 P − TÍCH PHÂN
Cho hàm ngẫu nhiên f(t, ω) ∈ L2
([0, T ] × Ω)
Wt là quá trình Wiener
Xét tổng tích phân:
với một p cố định nào đó sao cho 0 ≤ p ≤ 1
Được gọi là p−tích phân và kí hiệu bởi:
Trang 22Chương I: Tích phân ngẫu nhiên 22 Luận văn thạc sĩ toán học
• Khi p = 1
2, thì p−tích phân trở thành tích phân Stratonovitch.
Đặc biệt, trong trường hợp p = 1
2,ta có định nghĩa tương đương về tích phân Stratonovitch
− W t(n) k
1.4.3 Ví dụ
Cho W t là quá trình Wiener, hàm f(t, ω) = W t (ω).
Khi đó p−tích phân của hàm f là:
− W t(n) k
− W t(n) k
− W t(n) k
W t(n) k+1
− W t(n) k
Trang 23Ta sẽ đi chứng minh X t là một martingale Trước hết ta xét các khái niệm sau:
1.5.1 Định nghĩa (Bộ lọc)
(i) Họ các σ−trường con F t ⊂ F được gọi là bộ lọc nếu nó thỏa các điều kiện sau:
• Ft là một họ luôn tăng của σ−trường, tức là F s⊂ Ft, ∀0 ≤ s ≤ t < ∞
• Ft là họ liên tục phải, tức là Ft= T
ε>0
Ft+ε, ∀ε > 0
• Mọi tập có độ đo không ( theo độ đo xác suất P) đều chứa trong F0, tức là
nếu A ∈ F và P (A) = 0 ⇒ A ∈ F0
(ii) Quá trình ngẫu nhiên {X t, t ≥ 0} được gọi là thích nghi với bộ lọc {Ft, t ≥ 0} nếu
với mỗi t ≥ 0, X t là Ft− đo được
Trang 24Chương I: Tích phân ngẫu nhiên 24 Luận văn thạc sĩ toán học
Chứng minh
Trước hết ta chứng minh E|M t | < ∞, ∀t ∈ [0, T ]
Ứng dụng tính chất (1.1.2.1) của tích phân Wiener ta được:
f (u)dWu
ai1[ti−1,ti), với t0 = s, và t n = t Trong trường
hợp này ta có:
= 0, ∀i Vì vậy (1.5.3) đã chứng minh xong
Kế tiếp giả sử f ∈ L2[0, T ] Tồn tại một dãy các hàm sơ cấp {f n}∞n=1 hội tụ về f trong
L2([0, T ]) Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có bất phương trình
E[X|F ] 2
≤ E[X2|F ]Từ đó suy ra:
Trang 25Dựa vào tính chất E[E(X|F)] = E(X) của kỳ vọng có điều kiện, và ứng dụng tính chất (1.1.2.1) của tích phân Wiener ta nhận được:
L2(Ω) Chú ý rằng hội tụ của dãy trong L2
(Ω) dẫn đến hội tụ theo xác suất , kéo theosự tồn tại của một dãy con hội tụ hầu chắc chắn Do đó bằng cách chọn dãy con nếucần thiết , ta có thể kết luận rằng với xác suất 1,
lim
hZt s
fn (u)dW u
Fs
i
= E
hZt s
f (u)dWu
... class="text_page_counter">Trang 26
Chương I: Tích phân ngẫu nhiên 26 Luận văn thạc sĩ toán học
Trước hết ta xét f hàm sơ cấp Ta cần chứng minh ≤ s <... dụng để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên. Cơng thức Taylor ngẫu nhiên gọi khai triển Itô−Taylor
2.2.1 Khai triển Taylor cho trường hợp biễu diễn tích phân tất định
Xét... tính chất 32 Luận văn thạc sĩ tốn học
Trang 34Chương II: Q trình Itơ tính chất 34 Luận văn thạc sĩ tốn