He thuc luong giac co ban

Phần 1: Biến đổi lợng giácBài 1... Tìm hệ thức giữa m, n không chứa x,y.. Tìm giá trị của S với m,n tìm đợc.. Cho tgx-cotgx=3 Tính các giá trị của biểu thức sau: A=tg2x+cotg2x B=tgx+cotg

Phần 1: Biến đổi lợng giác

Bài 1 Tính A = sinx.cosx; B = sin3x + cos3x; C = tanx+cotx; D = tan2x+cot2x; E = tan3x+cot3x biết:

a) sinx+cosx = 1/3 b)sinx+cosx = -3/4 c) sinx – cosx=4/5 với sinx+cosx<0 d) sinx-cosx = -1/2

Bài 2 Cho cotx = 2, tính: A = (3sinx+5cosx)/(7sinx-8cosx); B = (8sinx-3cosx)/(sinx+4cosx)

C = (sin3x+5cosx)/(7sinx+cos3x); D = (6sin3x+cos3x)/(sinx-cosx); E = (6sinx-5cosx)/(3sin3x-23cos3x)

Bài 3 Cho 3sin4x+cos4x=1 Tính A = 4sin2x+8cos2x B = 7sin2x-3cos2x

Bài 4 Cho sin4x+2cos4x=1 Tính A = sin2-9cos2x B = 5sin2x-6cos2x

I- Chứng minh đẳng thức

1/.1 sin22 1 2 2

1 sin

x tg x

x

+ = +

2 1 cot 2 1 4

tg x g x tg x

tg x g x tg x g x

+ = +

1 sin cos cos 1 sin

− = +

1/.

1 sin cos

a tga

+

2/

+

+

2 cot 1 3/. 2 1

cot 1

tga g a ga

tg a − =

−

4 /

− + 5 / (sina+cos )a2+(sina−cos )a2=4sin cosa a6 / 1 2sin cos+ a a=sin cos (1a a +tga).(1 cot+ ga)

7 / tg a− sin a tg a= sin a (sin cos )2 1

2

cot sin cos

tg a

1 −1 cot+ x gx−1+tgx x= sin cosx x 10/. sin2 cos2

− + x − + x= x x

gx tgx 11/ A, sin4x-cos4

x=1-2cos 2 x B, sin 4 x+cos 4 x=1-2cos 2 x.sin 2 x C, sin 6 x+cos 6 x=1-3sin 2 x.cos 2 x

D, sin 8 +cos 8 x=1-4sin 2 x.cos 2 x+2sin 4 x.cos 4 x 12/ a)sin 2 x-tg 2 x=tg 6 x(cos 2 x-cotg 2 x)b)

cot sintg x − sin cos + cosg x=tg x+ g x

3 cos (1 cos )

sin

+

tgx x

II- Rút gọn biểu thứcA=cos2 x+cos 2 x.tg 2 x 1 1

2

sin cos

x C

−

= +

cos cot

x tg x A

x g x

−

=

2 2 2

cos cos cot sin sin

B

+

=

+

cos sin cot

C= a− ga

N

=

cos cot sin

1 1 sin cos

A

−

=

− B= 1 sin1 sin+ x x+ 1 sin1 sin− x x

− + C= −(1 sin 2x)cotgx+ − 1 cotgx

III- Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x: A=cos4 x-sin 4 x+2sin 2 x (=1) B=cos 4 x+sin 2 x.cos 2 x+sin 2 x (=1) C=2(cos 6 x+sin 6 x)-3(sin 4 x+cos 4 x) (=-1) D=3(sin 8 x-cos 8 x)+4(cos 6 x-2sin 6 x)+6sin 4 x (=1)E= sin 4x+ 4 cos 2x+ cos 4x+ 4sin 2x (=3) A=2(sin 4 x+cos 4 x+sin 2 x.cos 2 x) 2 -(sin 8 x+sin 8 x) B=sin 6 x+cos 6 x-2sin 4 x-cos 4 x+sin 2 x

C

=

+ − D=(sin

4 x+cos 4 x-1)(tg 2 x+cotg 2 x+2)

2

cot sin

E

gx x

−

sin cos

F

2 6

tg x

= − − H=cos 2 x.cotg 2 x+5cos 2 x-cotg 2 x+4sin 2 x I=(1+cotgx)sin 3 x+(1+tgx)cos 3 x-sinx-cosx 2 2 ( )( )

tgx

8 x+cos 8 x+6sin 4 x.cos 4 x+4sin 2 x.cos 2 x(sin 4 x+cos 4 x)

B- Bài tập ứng dụng:

I- Chứng minh đẳng thức

Bài 1

Chứng minh rằng: 1 sin 2

2

1 2 2

1 sin

x

tg x x

−

Bài 2

Chứng minh rằng:

.

tg x g x tg x g x

Bµi 3

Chøng minh r»ng: 1 sin cos

+

Bµi 4

Cho sin 4 a cos 4 a 1

m + n = m n

+ Chøng minh r»ng:

+

Bµi 5 Cho 2 tg a tg b tg c tg a tg b tg b tg c tg a tg c 2 . 2 . 2 + 2 . 2 + 2 . 2 + 2 . 2 = 1

CMR: sin 2 a + sin 2 b + sin 2 c = 1

Bµi 6

Cho:





3

3 ( m n + ) + 3 ( m n − ) = 2 a

1/

a tga

a + = a

+

2 /

+

+ 2

cot 1

tga g a

ga

−

4 /

5 / (sin a + cos ) a + (sin a − cos ) a = 4sin cos a a

6 / 1 2sin cos + a a = sin cos (1 a a + tga ).(1 cot + ga )

7 / tg a − sin a tg a = sin a (sin cos ) 2 1

2

tg a

−

Bµi 8 sin 2 cos 2

gx tgx

Bµi 9 sin 2 cos 2

gx tgx

Bµi 10 A, sin4x-cos4x=1-2cos2x B, sin4x+cos4x=1-2cos2x.sin2x

C, sin6x+cos6x=1-3sin2x.cos2x D, sin8+cos8x=1-4sin2x.cos2x+2sin4x.cos4x

Bµi 11 sin2x-tg2x=tg6x(cos2x-cotg2x)

cot

Bµi 12

sin

+

x B,

sin cos 1 cos sin cos 1 1 sin

Bµi 13

Cho

sin 1

sin sin 2

cos cos 3













=

=

=

CMR: a12+ a22 + a32 = 1

sin 1 sin sin 2

cos cos sin 3

cos cos cos 4

















=

=

=

=

CMR: a12 + a22 + a32 + a42 = 1

II- Rót gän biÓu thøc

Bµi 14 A=cos2x+cos2x.tg2x

  

2

x C

−

=

+

= + + + E=(tgx+cotgx)2-(tgx-cotgx)2

Bµi 15 sin 2 2

x tg x A

−

=

−

B

+

=

+

cos sin cot

C

a ga

= −

sin cos cos cos sin sin

N

=

Bµi 16 cos cot sin

sin cos

a ga a tga A

−

=

− B = 1 sin 1 sin + − x x + 1 sin 1 sin − + x x

C = − x gx + − gx

III- Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc x

Bµi 17 A=cos4x-sin4x+2sin2x (=1) B=cos4x+sin2x.cos2x+sin2x (=1)

C=2(cos6x+sin6x)-3(sin4x+cos4x) (=-1) D=3(sin8x-cos8x)+4(cos6x-2sin6x)+6sin4x (=1) E= sin4 x + 4 cos2 x + cos4 x + 4sin2 x (=3)

Bµi 18 Cho a sin sin α β − b cos cos α β = 0

CMR: 2 1 2 2 1 2

S

+ + Không phụ thuộc vào α β ; Bài 19

Cho x,y thoả mãn:

2 2 2 2

1

m tg x n tg y





Tìm hệ thức giữa m, n không chứa x,y

Đ/s:

2 2

1

m n

Bài 20 A=2(sin4x+cos4x+sin2x.cos2x)2-(sin8x+sin8x) B=sin6x+cos6x-2sin4x-cos4x+sin2x

C

=

+ − D=(sin

4x+cos4x-1)(tg2x+cotg2x+2)

2

cot sin

E

gx x

−

F

2 6

tg x

= − − H=cos2x.cotg2x+5cos2x-cotg2x+4sin2x I=(1+cotgx)sin3x+(1+tgx)cos3x-sinx-cosx 2 2 ( )( )

1

tg x

tgx

M=sin8x+cos8x+6sin4x.cos4x+4sin2x.cos2x(sin4x+cos4x) Bài 21 Cho S=sin6x+cos6x-m(sin4x+cos4x)

1/ Tìm m đề S không phụ thuộc x 2/ Tìm giá trị của S với m tìm đợc

Bài 22 Cho S=m(cos8x- sin8x)+4(cos6x-sin6x)+nsin4x

1/ Tìm m,n đề S không phụ thuộc x 2/ Tìm giá trị của S với m,n tìm đợc

Bài 23 Cho S=sin6x+cos6x+a(sin4x+cos4x)+4(a+1)sin2x.cos2x

Tìm a đề S không phụ thuộc x

IV- Tính giá trị của các biểu thức l ợng giác

Bài 24 Cho sinx+cosx=4/5

Tính giá trị các biểu thức sau:

A=sinx.cosx (9/50) B=sinx-cosx C=sin3x-cos3x Bài 25 Cho tgx-cotgx=3

Tính các giá trị của biểu thức sau: A=tg2x+cotg2x B=tgx+cotgx C=tg4x-cotg4x

Bài 26 Cho tgx=2

Tính các giá trị của biểu thức sau:

Bài 27 Cho sinx+cosx=m

Tính các giá trị của biểu thức sau: A=sinx.cosx B=sinx-cosx C=sin3x+cos3x D=sin4x-cos4x E=sin5x+cos5x F= sin6x+cos6x G= sin8x+cos8x H= sin7x-cos7x Bài 28 Cho sinx-cosx=m

Tính các giá trị của biểu thức sau: A=sinx+cosx B=sin3x-cos3x C= sin4x+cos4x D= sin5x-cos5x E= sin6x-cos6x F= sin7x-cos7x G= sin8x+cos8 H= sin9x-cos9x Bài 29 Cho tgx+cos tgx=m

Tính các giá trị của biểu thức sau: A=tg2x+cotg2x B= tg3x-cotg3x C= tg4x+cotg4x D= tg5x-cotg5x E= tg6x+cotg6x

Bài 30 Cho tgx-cotgx=m

Tính các giá trị của biểu thức sau: A=tg2x-cotg2x B= tg3x-cotg3x C= tg4x-cotg4x D= tg5x-cotg5x E= tg8x+cotg8x

Bài 31 Tìm Max, min của:

( )

f x

=

Bài 32 Cho 3sin4x-cos4x=1/2 Tính: A=sin4x+3cos4x

Bài 33 Cho 3sin4x+2cos4x=98/81 Tính: A=2sin4x-5cos6x

Bài 34 Cho sin4x+2cos4x=1 Tính: A=5sin6x-8cos8x

Bài 35 Cho 17cos4x-5sin4x=7 Tính: A=9sin8x-2cos6x

Phần 2: góc liên quan đặc biệt

Bài 36 Tính giá trị của các biểu thức:

sin( 330 ) cos( 390 )

− − −

0

( 420 )

tg B

tg

=

−

tg tg C

+ −

=

− sin( 4,8 ).sin( 5,7 ) cos( 6,7 ).cos( 5,8 )

D

tg

( 0 0) 0

0

cot 72 cot 18 cos316

g tg

0

cos( 288 ).cot 72

18 ( 162 ).sin168

g

tg

−

0

sin( 243 ) cos216

36

−

−

Bµi 37 Rót gän c¸c biÓu thøc sau:

A = π + − x  π − x  + g π − + x tg  π − x 

B = π + + x  π + x  + g π − + x tg  π − x 

( )

17

2 cot

2

π

D =  π + x  +  π − x  + π + − x π − x

E =  π + x  + π − + x  π + x  + π + x

F tg =  π − x  + tg x  + π  + tg x  + π  + tg x  + π 

II- C«ng thøc céng gãc

Bµi 1

TÝnh gi¸ trÞ c¸c hµm sè lîng gi¸c cña c¸c gãc: 5 7

12 12 12

π π π Bµi 2 TÝnh gi¸ trÞ:

sin10 cos20 sin 20 cos10 cos17 cos13 sin17 sin13

−

sin 9 cos39 cos9 sin39

Bµi 3

a = − a  π π 

∈  ÷  TÝnh cos

π

Bµi 4

Cho:

1 sin

sin

10

a

a b b

π



CMR:

4

a b + = π

Bµi 5

CMR:

4

Bµi 6

Cho: cos( )

a b m

a b n

− TÝnh: tga.tgb

Bµi 7 Rót gän:

A

=

+ − −

B

=

Bµi 8

m

tg m tg

m

π

α β ∈    ÷ α = β = −

+

π

α β + =

Bµi 9

π

α β ∈    ÷ α = + β =

−

π

α β − =

Bµi 10

x = y = x y  π 

∈  ÷ .TÝnh x+y Bµi 11

x = y = x y  π 

∈  ÷  TÝnh x+y Bµi 12

Cho: , 0,

2

a b tga tgb

π



TÝnh a+b

Bµi 13

Cho: ( ) 5

tg a b

tg a b

+ =



 TÝnh tg2a, tg2b

Bµi 14

a b c ∈  π  tga = tgb = tgc =

  CMR:a b c + + = π 4

Bµi 15

Cho: , 0;

3

a b > a b + = π

.

3

tga tgb ≤

Bµi 16

x y ∈  π  x y + = π tgx tgy = −

Bµi 17

a b ∈  π  ga = gb =

Bµi 18 Rót gän c¸c biÓu thøc:

A

=

+ + −

B

=

C

=

D =  x + π  +  π − x  +  π + x 

Bµi 19 Chøng minh r»ng:

1.

x y tgx tgy

+

cos cos

x y x y

tg x tg y

3 cos(x+y).cos(x-y)=cos2a-sin2y=cos2y-sin2y 4.sin(x+y).sin(x-y)=sin2x-sin2y=cos2y-cos2x

5 sin(x+y).cos(x-y)=sinx.cosx+siny.cosy 6.cosa.sin(b-c)+cosb.sin(c-a)+cosc.sin(a-b)=0

7 sina.sin(b-c)+sinb.sin(c-a)+sinc.sin(a-b)=0

8.cos(a+b).sin(a-b)+cos(b+c).sin(b-c)+cos(c+a).sin(c-a)=0

9 sin(a+b).sin(a-b)+sin(b+c).sin(b-c)+sin(c+a).sin(c-a)=0

10

tg a b

− + =

−

11 sin( ) sin( ) sin( )

0

12 tg6a-tg4a-tg2a=tg6a.tg4a.tg2a 13 tg(a+b)-tga-tgb=tg(a+b).tga.tgb

14 tga+tgb+tgc- sin( )

cos cos cos

a b c

tga tgb tgc

Bµi 20 Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo x

1 A = cos2 x − sin(300 + x ).sin(300 − x ) (=3/4)

2 B tgx tg = (450 + − x ) tg (450 + + x ) tgx (=-1)

3 C = cos2 x + cos (2 x a + − ) 2 cos cos cos( x a x a + ) (=sin2a)

4 2 4

D = x +  x + π  +  x + π 

E = x +  x + π  +  x + π 

G = x +  x + π  +  x + π 

H = x +  x + π  +  x + π 

8 I = sin (2 x a + + ) sin (2 a x − + ) 2sin( a x + ).sin( a x − ) cos   2 a − sin2 a  

9 K = cos (2 a x − + ) cos2 x − 2 cos cos cos( a x a x − )

Bµi 21 Cho cos2a+cos2b=1 CMR: cos(a+b).cos(a-b)=1

Bµi 22 Cho sinb=sina.cos(a+b) CMR: 2tga=tg(a+b)

Bµi 23 Cho 3sinb=sin(2a+b) CMR: 2tga=tg(a+b)

Bµi 24 Cho 2sinb=sin(2a+b) CMR: 3tga=tg(a+b)

Bµi 25

Cho sin2x=sina.cosa CMR: cos2 2 cos2

4

b =  a + π 

Bµi 26

Cho sinb=msin(a+b) CMR: sin

cos

a

tg a b

a m = +

−

III- C«ng thøc gãc béi

Bµi 1 Chøng minh r»ng

1

2

1 2sin

1

a

g  π − + a   π − x  =

2

2

2 cos

a

3

2

x tgx

x tgx

+ + 4

2

2

x

tg x

−

−

x

tg x

x

  6

1 1

2 cos

x

a

7 cos sin cos sin

2 2

tg a

1

a

9 1 1 sin 22

a

10

cos2

a

tg a

cos sin

a b a b

tg a g b

−

12

8cos2

a

a − a = 13

3

14

cos

tga

−

+

15 4 4 3 1

4 4

a + a = + a

8 8

a + a = + a 17 6 6 15 1

x − x = x + x 19 2 2 2 3 cos 4 ( )

cot

1 cos4

x

tg x g x

x

+

−

tga tg a  + π  + tg a  + π   tg a + π  + tg a  + π  tga = −

Bµi 2 Cho cosa+cosb+cosc=0 CMR: 12cosa.cosb.cosc=cos3a+cos3b+cos3c

Bµi 3 Rót gon c¸c biÓu thøc:

1.

0

2 0

15

tg A

tg

=

− 2.B=cos3x.sinx-sin3x.cosx

2 C = 1 sin + a − 1 sin − a 4 D=cos3a.cos3a+sin3a.sin3a

5 E=cos3a.cos3a-sin3a.sin3a 6 F=sin3a.cos3a+cos3a.sin3a

7

G

−

=

+ − 8.

.

1 cos4 1 cos2

H

=

9

1 cos

2

2

a a

I tg

a

π π

π

10

3

1 sin

2

1 sin

2

a K

a

π π

=

Bµi 4 TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:

A=cos200.cos400.cos600.cos800(Nh©n 2 vÕ víi sin20 0 )

4 5

7

π )

sin 6 sin 42 sin 66 sin 78

sin 5 sin15 sin 25 sin 85

cos cos2 cos 4 cos8 cos2n

sin10 sin 20 sin 80

M = P = sin1 sin 2 sin 3 sin 900 0 0 0

Bµi 5

CMR: ( 0 ) ( 0 ) 1

4

4

tgx tg − x tg + x = tg x

¸p dông tÝnh: A = sin 20 sin 40 sin 800 0 0 ( 3 / 8 )

cos10 cos20 cos30 cos90

B = (3/256) C tg = 20 40 60 800tg 0tg 0tg 0 (3) Bµi 6 TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:

sin 2 sin18 sin 22 sin 38 sin 42 sin 58 sin 78 sin 82

D =

3 17 23 37 43 57 63 77 83 243

E tg tg = tg tg tg tg tg tg tg tg

F tg = π tg π tg π tg π tg π tg π tg π tg π

6 42 66 78

H tg tg = tg tg

Bµi 7 CMR: tga tg a + ( + 60 )0 + tg a ( + 120 ) 3 30 = tg a

TÝnh: tg 10 + tg 50 + tg 90 + + tg 1730 + tg 177 (45)0

Bài 8 CMR: tg x tg2 + 2(600 − + x ) tg2(600 + = x ) 9 tg x23 + 6

2

tg + tg + tg + tg + + tg + tg

Bài 9 CMR: tg 37 30'0 = 6 + 3 − 2 2 −

Bài 10 CMR: cot ga = cot 2 g a + 1 cot + g x2

CMR: 4.cos360 + cot 7 30' 1 g 0 = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

Bài 11

sin18

4

−

= 0 10 2 5

cos18

4

+

=

0 5 1 cos36

4

+

= 0 10 2 5

cos36

4

−

=

Bài 12

Cho 4

tg = tg CMR: 3sin

tg

a

− =

−

Bài 13 Cho tg a b ( + = ) 3 tga CMR: sin(2 a + 2 ) sin 2 b + a = 2sin 2 b

IV- Công thức biến đổi tổng thành tích - Tích thành tổng

Bài 1 Rút gọn các biểu thức:

A

=

+ +

1 2 cos2

3 2sin 2

a B

a

−

= +

C

=

+ +

D

=

tg a tg a E

g a g a

+

=

+

sin 2 cot 2

a F

tga g a

= +

tg a g a G

tg a tg a

+

= +

1 2 cos

1 2 cos

a H

a

−

= +

2 2 cos2

2 2 cos2

a I

a

−

=

+

3 2 cos3

3 2 cos3

a K

a

−

= +

1 2sin

1 2sin

a H

a

−

= +

2 2sin 2

2 2sin 2

a I

a

−

=

+

3 2sin 3

3 2sin 3

a K

a

−

= +

Bài 2

Rút gọn các biểu thức:

2

A

=

2 sin cos

B

=

− C = 2 + 2 2 cos ; + a a ∈ [ ] 0, π Bài 3 Biến đối thành tích

M=1+2cosa+cos2a N=1+2sina-cos2a P=1-cosa+cos2a Q=1+sina-cos2a Bài 4 Chứng minh các đẳng thức sau:

sina+sin3a+sin9a-sin5a=4sin2a.cos4a.cos3a

cosa+cos5a-cos7a-cos11a=4sin3a.sin6a.cos2a

4

cos 4 a + 4 cos2 a + = 3 8cos a 3 4 cos2 − a + cos 4 a = 8sin4a

4

1+4cosa+6cos2a+4cos3a+cos4a=16cos2a.cos

2

a

cos85 + cos35 − cos25 = 0 tg 90 − tg 270 − tg 630 + tg 810 = 4

4

2

a

3

sin 9 a + 3sin 7 a + 3sin5 a + sin 3 a = 8sin 6 cos a a

a − a − a = a a 2 1

4

−

− = 2 0 2 0 5 1

8

−

3

tg + tg + tg + tg =

tg + tg − tg − g + g + g =

2

2

a + a −  a − π  +  a − π  =  a − π 

tg − a − a = − ga  − π 

b c + c a +

Bµi 5

Cho ( )

( ) ( )

sin cos cos

α β α β

−





CMR: . . cos ( )

a A b B

a B b A + = α β − +

Bµi 6 Cho: cos α + cos β + cos γ = 0

12

Bµi 7

CMR:

2

tg a a

Bµi 8 CMR: sin5a=16sin5a-20sin3a+5sina

Bµi 9

Cho:

( )

x y

π





CMR: 2

2

x + y = π

Bµi 10 Cho: msin(a+b)=cos(a-b), a-b≠kπ, |m|≠1

1 m sin 2 a + 1 m sin 2 b = 1 m