Hệ thức lượng giác cơ bản doc

Những công thức lượng giác.1.. Hệ thức lượng giác cơ bản.. Công thức cộng Cosa-b= cosa.cosb + sina.sinb cosa+b= cosa.cosb – sina.sinab.. Sina-b= sina.cosb -cosa.sinb sina+b= sina.cosb +

I Những công thức lượng giác.

1. Hệ thức lượng giác cơ bản.

Sin2α + Cos2α =1 => Sin2α = 1- Cos2α; Cos2α = 1-Sin2α=(1-Sinα)(1+Sinα)

Tanα= ; Cotα= ; Tanα Cotα=1

1+tan2α=1/Cos2α 1+Cot2α=1/Sin2α

2 Gía trị lượng giác của các cung đặc biệt

a) Cung đối nhau

cos(-α)=cosα sin(-α)= -sinα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα b) Cung bù nhau

cos(π- α)= -cosα sin(π- α)= sinα tan(π- α)= -tanα cot(π- α)= -cotα c) Cung hơn kém nhau π

cos(π+α)= -cosα sin(π+α)= -sinα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα d) Cung phụ nhau

cos( - α)= sinα sin( - α)= cosα tan( - α)= cotα cot( - α)= tanα

e) Cung hơn kém nhau

cos( + α)= -sinα sin( + α)= cosα tan( + α)= -cotα cot( + α)= -tanα

3 Công thức cộng

Cos(a-b)= cosa.cosb + sina.sinb cos(a+b)= cosa.cosb – sina.sinab Sin(a-b)= sina.cosb -cosa.sinb sin(a+b)= sina.cosb + cosa.sinb

Tan(a-b)= tan(a+b)=

Công

thức

lượng

Cot(a-b)= Cot(a+b)=

4 Công thức nhân đôi, nhân ba.

a) Công thức nhân đôi

sin2a= 2sina.cosa = (sina+cosa)2 – 1 = 1 – (sina-cosa)2

cos2a= cos2a – sin2a = 1 – 2sin2a = 2cos2a – 1.

Tan2a= 2tana/(1-tan2a) cot2a=(cot2a – 1)/2cota

b) Công thức nhân ba

sin3a= 3sina – 4sin3a cos3a= 4cos3a – 3cosa

tan3a= (3tana –tan3a)/(1- 3tan2a)

cot3a= (cot3a-3cota)/(3cot2a – 1)

5 Công thức hạ bậc

Sina.cosa= sin2a sin2a= cos2a=

Tan2a=

Sin3a= cos3a=

Tan3a= tan3a.(1-3tan2a) + 3tana

Cot3a=cot3a.(3cot2a-1) + 3cota

Sin4a+cos4a=1-sin22a sin6a+cos6a=1-sin22a

6 Công thức biến đổi tổng thành tích

Cosa + cosb=2cos cos sina + sinb=2sin cos

cosa - cosb= -2sin sin sina - sinb=2cos sin

Cosa - sina=cos(a + ); sina – cosa= - cos(a + ) = -sin( - a)

Cosa + sina=sin(a + );

Tana + tanb= Tana - tanb=

cota + cotb= cota - cotb=

cota – tana= 2cot2a

7 Công thức biến đổi tích thành tổng

Cosa.cosb= [ cos(a-b) + cos(a+b) ]

Sina.sinb= [ cos(a-b) – cos(a+b) ]

Sina.cosb= [ sin(a-b) + sin(a+b) ]

Cosa.sinb=[ sin(b-a) +sin(b+a) ]

II Những phương trình lượng giác cơ bản

1 Phương trình sinx=m

Bước 1: Nếu m∣>1 => phương trình vô nghiệm

Bước 2: Nếu ∣m∣≤1

+) Trường hợp 1: Nếu m là các giá trị đặc biệt: 0, ± ; ±; ± ; ±1

Thì đặt m=sinα => x= α+k2π hoặc x= π-α+k2π

+) Trường hợp 2: Nếu m không là các giá trị đặc biệt

=> x= arcsinm + k2π hoặc x= π – arcsinm + k2π

Sinx=0  x=kπ

Sinx=1  x= Sinx= -1  x=

2 Phương trình cosx=m

Bước 1: Nếu m∣>1 => phương trình vô nghiệm

Bước 2: Nếu ∣m∣≤1

+) Trường hợp 1: Nếu m là các giá trị đặc biệt: 0, ± ; ±; ± ; ±1

Thì đặt m=cosα => x= ±α + k2π

+) Trường hợp 2: Nếu m không là các giá trị đặc biệt

=> x= ±arccosm + k2π

+) Đặc biệt

Cosx= 0  x= ; Cosx= 1  x=k2π; Cosx= -1  x= π + k2π

3 Phương trình tanx=m

Đặt điều kiện tanx ≠ 0  Cosx ≠ 0  x ≠

Xét 2 trường hợp

+) Trường hợp 1: Nếu m là giá trị đặc biệt 0; ±1; ± ; ±

Thì đặt m= tanα  x= α +kπ

+) Trường hợp 2: Nếu m không là giá trị đặc biệt thì

=> x= arc tanm +kπ

4 Phương trình cotx=m

Đặt điều kiện sinx ≠ 0  x ≠ kπ

Xét 2 trường hợp

+) Trường hợp 1: Nếu m là giá trị đặc biệt 0; ±1; ± ; ±

Thì đặt m= cotα  x= α +kπ

+) Trường hợp 2: Nếu m không là giá trị đặc biệt thì

=> x= arc cotm +kπ

*) Nhận xét: Phương trình tanx=m và cotx=m luôn có nghiệm với mọi m

*) Các phương trình lượng giác luôn có giá trị k ϵ Z