Trong mạng lập phương đơn giản (SC), khoảng cách giữa 2 nút mạng lân cận gần nhau nhất cũng chính là thông số mạng a. Do đó, bán kính mỗi khối cầu sẽ là a 2 . Nếu ta xem khối lập phương cạnh a với các khối cầu tại mỗi đỉnh thì mỗi nút mạng sẽ có 1 8 V của khối cầu bên trong khối lập phương. Vì thế, hệ số xếp chặt f là:Trong mạng lập phương đơn giản (SC), khoảng cách giữa 2 nút mạng lân cận gần nhau nhất cũng chính là thông số mạng a. Do đó, bán kính mỗi khối cầu sẽ là a 2 . Nếu ta xem khối lập phương cạnh a với các khối cầu tại mỗi đỉnh thì mỗi nút mạng sẽ có 1 8 V của khối cầu bên trong khối lập phương. Vì thế, hệ số xếp chặt f là:Trong mạng lập phương đơn giản (SC), khoảng cách giữa 2 nút mạng lân cận gần nhau nhất cũng chính là thông số mạng a. Do đó, bán kính mỗi khối cầu sẽ là a 2 . Nếu ta xem khối lập phương cạnh a với các khối cầu tại mỗi đỉnh thì mỗi nút mạng sẽ có 1 8 V của khối cầu bên trong khối lập phương. Vì thế, hệ số xếp chặt f là:Trong mạng lập phương đơn giản (SC), khoảng cách giữa 2 nút mạng lân cận gần nhau nhất cũng chính là thông số mạng a. Do đó, bán kính mỗi khối cầu sẽ là a 2 . Nếu ta xem khối lập phương cạnh a với các khối cầu tại mỗi đỉnh thì mỗi nút mạng sẽ có 1 8 V của khối cầu bên trong khối lập phương. Vì thế, hệ số xếp chặt f là:
Trang 1Bài 1.Tìm chỉ số xếp chặt của các mạng sau
(a) lập phương đơn giản (simple cubic)
Trong mạng lập phương đơn giản (SC), khoảng cách giữa 2 nút mạng lân cận gần nhau nhất cũng chính là thông số mạng a Do đó, bán kính mỗi khối cầu sẽ là 𝑎
2 Nếu ta xem khối lập phương cạnh a với các khối cầu tại mỗi đỉnh thì mỗi nút mạng sẽ có 1
8𝑉 của khối cầu bên trong khối lập phương Vì thế, hệ số xếp chặt f là:
𝑓 = 8×
𝑉 8
𝑎 3 =𝜋
6 với 𝑉 = 4
3× 𝜋 × (𝑎
2)3
(b) lập phương tâm khối (body-centered cubic)
Tương tự với mạng (SC) nhưng có thêm một khối cầu đặt tại nút mạng tại tâm khối lập phương Khoảng cách giữa 2 khối cầu lân cận lúc này sẽ là 𝑎√32 Hệ số xếp chặt sẽ là:
𝑓 = √3𝜋8 với 𝑉 = √3𝜋𝑎163
(c) lập phương tâm mặt (face- centered cubic)
Trong khối lập phương tâm mặt có 8 nút mạng với khoảng cách a, đồng thời có thêm các nút tại tâm của 6 mặt Các nút này tương ứng với các khối cầu đặt tại đó với một nửa khối cầu nằm phía trong khối lập phương, khoảng cách giữa 2 khối cầu lân cận lúc này là 𝑎
√2
Hệ số xếp chặt sẽ là:
𝑓 = √2𝜋
6 với 𝑉 = 𝜋𝑎3
√2
(d) lục giác xếp chặt (hexagonal closed packed)
Các nút mạng được nối bởi các vecto mạng tạo thành một lăng trụ tam giác có thể tích
= √3𝑎2𝑐
4 Nó có 3 nút mạng góc cho mỗi mặt đáy tam giác, mỗi nút mạng sở hữu 𝑉
12 bên
Trang 2trong khối lăng trụ tam giác Khoảng cách giữa 2 khối cầu lân cận là a (lăng trụ tam giác
là xếp chặt) Do đó, hệ số xếp chặt sẽ là:
𝑓 = 2 × 6×
𝑉 12
√3𝑎2𝑐 4
= 𝜋
√18 với 𝑐 = √8
3𝑎
(e) Bonus: Determine the packing fraction for a diamond structure
Kim cương được sắp xếp trong không gian như hình
Kim cương thuộc mạng lập phương tâm mặt (FCC), ô cơ sở gồm hai nguyên tử ở
vị trí (0,0,0) và (1/4,1/4,1/4) Khoảng cách giữa 2 khối cầu lân cận là √3𝑎
4 Ô đơn
vị chứa 8 nguyên tử, vì có 4 nguyên tử cơ sở nằm về phía trong khối tinh thể, có 1
8 trong 8 nút mạng ở góc và 12 trong 6 nút mạng tâm 6 mặt Hệ số xếp chặt sẽ là:
𝑓 = 4 × 𝑉 +
1
8 × 8 × 𝑉 + 1 2 × 6 × 𝑉
16
Trang 3
2 a Chỉ ra ô đơn vị (unit cell), cơ sở (basic),vectơ cơ sở
Ô đơn vị
Cơ sở
Vectơ cơ sở
Trang 42.b Thực tế cho thấy mạng tinh thể CuO2 không phẳng, các nguyên tử
Oxy lệch khỏi mặt phẳng (lên hoặc xuống) (trong hình I.1.7, dấu + nghĩa
là lệch lên trên mặt phẳng và dấu - là lệch xuống dưới mặt phẳng) Xác
định ô nguyên tố (primitive cell)? Hằng số mạng? Vẽ mạng đảo của tinh thể này Mô tả sự thay đổi trong giản đồ nhiễu xạ tia X khi những nguyên
tử oxy này hết bị lệch khỏi mặt phẳng nữa
: Ô nguyên tố
Hằng số mạng trong trường hợp này là √2 𝑎
Mạng đảo của cả hai mạng Bravais của hình I.1.6 và hình I.1.7 được vẽ như sau:
(*) Khi nghiên cứu cấu trúc tinh thể bằng phương pháp nhiễu xạ tia X (cũng như nhiễu
xạ neutron, điện tử…) thì bức tranh thu được chỉ là ảnh của chùm tia bị tinh thể nhiễu xạ, bức tranh đó chính là hình ảnh mạng đảo của tinh thể (từ đó ta có thể suy ra mạng tinh thể thuận, tức là mạng tinh thể thực)
a
Trang 5Hình (a) là mạng đảo của tinh thể CuO2 khi bị biến dạng (disorted CuO2 lattice) Hình (b) là mạng đảo của tinh thể CuO2 khi các biến dạng bị mất đi
Các vòng tròn màu trắng tương ứng với đỉnh nhiễu xạ tia X yếu, và các vòng tròn màu đen tương ứng với đỉnh có cường độ mạnh Khi các biến dạng bị mất đi, thì các đỉnh nhiễu xạ tia X yếu của tinh thể sẽ mất đi Do đó giản đồ tia X sẽ trở về dạng ban đầu
(a) (b)
Trang 6Bài 1 Hệ số lấp đầy của α-Co (hcp, a = 2.51 Å, с = 4.07 Å) và β-Co (fcc, a = 3.55 Å)
Cấu trúc fcc thuộc loại mạng xếp chặt (vì có hệ số lấp đầy cao 0,74 - the packing fraction ), cấu trúc hcp cũng thuộc mạng xếp chặt nếu có tỉ lệ c/a lý tưởng ( 𝑐𝑎= √3 8 = 1,63) Ở đây, α-Co
có tỉ lệ c/a=1,62 , gần với giá trị lý tưởng 1,63 Trong cấu trúc fcc của β-Co , khoảng cách giữa hai khối cầu lân cận sẽ là 𝑎
√2=3,55
√2 = 2.51Å Nếu cấu trúc hcp của α-Co có c/a=1,63 thì nó cũng
sẽ là cấu trúc xếp chặt và có khoảng cách giữa hai khối cầu lân cận bằng với cấu trúc fcc của
β-Co Nhưng với giá trị c/a=1,62, nó sẽ “đặc” hơn 0,6% so với giá trị c/a lý tưởng
Bài 2.Thiết bị nhiễu xạ Neutron
Rọi toàn bộ năng lượng của chùm chuẩn trực neutron tới bột có dạng tinh thể lập phương đơn nguyên tử Điều gì sẽ xảy ra với chùm neutron và năng lượng của nó sẽ thoát ra khỏi bột như thế nào? Ứng dụng của hiệu ứng này trong thực nghiệm?
Chùm neutron có bước sóng là λ được chiếu tới tinh thể một góc θ so với trục đối xứng của tinh thể, theo định luật nhiễu xạ Bragg ta có: nλ=2b sin θ, với n là số nguyên, b là khoảng cách nguyên tử lân cận trong một ô đơn vị
Đối với phương pháp bột, bột tinh thể có định hướng bất kì, do đó góc tới có giá trị ngẫu nhiên trong khoảng 0< θ<2π.Nếu chùm neutron có bước sóng thỏa λ<2b sẽ cho tán xạ, và đối với chùm neutron có bước sóng dài hơn (năng lượng thấp hơn) sẽ truyền qua Điều này được ứng dụng trong các thiết bị lọc năng lượng neutron khi cần cản dòng neutron năng lượng cao
Thực tế, việc tán xạ neutron mà có sử dụng hiệu ứng này với bột beryllium, là tinh thể có cấu trúc hcp, để làm bộ lọc Nó cho chùm neutron với bước sóng λ>3,96 Å truyền qua (ứng với năng lượng E<5,2 meV) Bột beryllium được làm lạnh tới 77K để giảm hiện tượng tán xạ phonon do nhiệt Bằng cách hạn chế chùm neutron năng lượng cao, người ta sẽ không còn lo lắng về hiện tượng tán xạ bậc cao – những chùm neutron có năng lượng lớn gấp hai, ba lần năng lượng tán xạ mong muốn tới đầu thu, do đó có thể cải thiện được tín hiệu
Trang 7Bài tập 2.3
Để thỏa điều kiện nhiễu xạ, độ dài của vec tơ mạng đảo phải bằng 𝐺 = 𝐾 = 4𝜋 λsin 𝜃 ⁄
Để tính vị trí của các đỉnh nhiễu xạ đối với cấu trúc fcc ta sử dụng ô đơn vị lập phương đơn giản với 4 nguyên tử cho mỗi ô Mạng đảo là lập phương, với hằng số mạng 𝐺 0 = 2𝜋 𝑎 ⁄ 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐 = 1.77 Å −1 , và hệ số cấu trúc chỉ khác không nếu các chỉ số (hkl) tất cả đều chẵn hay đều lẻ Độ dài của vec tơ mạng đảo là
𝐺 = 𝐺0√ℎ 2 + 𝑘 2 + 𝑙 2
Mạng hcp có 2 nguyên tử mỗi ô đơn vị Mạng đảo được cấu tạo từ mạng lục giác đơn giản bằng cách gán cho hệ số cấu trúc bằng không tại một vài điểm, kết quả tạo thành dãy luân phiên lục giác và tổ ong
Ta sẽ biểu diễn các vị trí của mạng đảo dưới dạng 𝐺⃗ = ℎ𝑎⃗∗+ 𝑘𝑏⃗⃗∗+ 𝑙𝑐⃗∗, với góc giữa 𝑎⃗∗ và 𝑏⃗⃗∗ là 120°, và 𝑐⃗∗ vuông góc với 𝑎⃗∗ và 𝑏⃗⃗∗ Độ dài của vec tơ cơ sở là 𝑎∗= 𝑏∗= 4𝜋
√3𝑎
⁄ = 2.89 Å−1, 𝑐∗= 2𝜋 𝑐 ⁄ =
√3 8 ⁄ 2𝜋 𝑎 ⁄ = 1.53 Å −1
Khoảng cách giữa các đỉnh lân cận như nhau đối với cả hai cấu trúc Vì vậy có vài vị trí đỉnh nhiễu xạ tia X trùng nhau
Trang 8Bài 1: NaCl kết tinh theo mạng lập phương tâm mặt với cơ sở là một cặp ion Na và Cl
cách nhau một khoảng bằng nửa đường chéo của khối lập phương Nguyên tử số của Na
và Cl tương ứng là 11 và 17
(a) Xác định những tia X phản xạ nào sẽ được quan sát thấy (được đánh chỉ số theo ô đơn vị lập phương thông thường)
(b) Nhóm tia phản xạ nào cho cường độ mạnh, nhóm nào cho cường độ yếu?
Lời giải:
(a) Ô đơn vị của NaCl gồm 8 nguyên tử chiếm các vị trí sau đây: Na+
tại (0,0,0), (½ , ½ ,
½ ), (½ , ½ , 0), (½ , 0, ½ ), (0, ½ , ½ ), như được chỉ ra bởi cấc chấm tròn đặc trên hình;
Cl- tại (½ , 0, 0), (0 , ½ , 0), (0, 0 , ½ ), (½ , ½ , ½ ) như được chr ra bởi các chấm tròn rỗng trên hình
Các cường độ nhiễu xạ được tính bởi:
𝐼ℎ𝑘𝑙 ∝ |𝐹ℎ𝑘𝑙|2 = 𝐹ℎ𝑘𝑙 ∙ 𝐹ℎ𝑘𝑙∗
= [∑ 𝑓𝑖cos 2𝜋(ℎ𝑢𝑗 + 𝑘𝑣𝑗 + 𝑙𝑤𝑗) 𝑗
]
2 + [∑ 𝑓𝑗sin 2𝜋(ℎ𝑢𝑗 + 𝑘𝑣𝑗 + 𝑙𝑤𝑗) 𝑗
] 2
Ở đây, h, k, l là những số nguyên Thay thế các tọa độ ion vào biểu thức trên ta có:
Trang 9𝐼ℎ𝑘𝑙 = 𝑓𝑁𝑎2 +{[1 + cos 𝜋(ℎ + 𝑘) + cos 𝜋(𝑘 + 𝑙) + cos 𝜋(𝑙 + ℎ)]
+ 𝛼[cos 𝜋ℎ + cos 𝜋𝑘 + cos 𝜋𝑙 + cos(ℎ + 𝑘 + 𝑙)]}2 + 𝑓𝑁𝑎2 +{[sin 𝜋(ℎ + 𝑘) + sin 𝜋(𝑘 + 𝑙) + sin 𝜋(𝑙 + ℎ)]
+ 𝛼[sin 𝜋ℎ + sin 𝜋𝑘 + sin 𝜋𝑙 + sin(ℎ + 𝑘 + 𝑙)]}2
Ở đây α = fNa+/fCl- =17/11
Chú ý rằng các cường độ 𝐼ℎ𝑘𝑙 ≠ 0 chỉ khác không khi h, k và l là toàn chẵn hoặc toàn lẻ
Như vậy ta có thể quan sát được hai nhóm các tia phản xạ khác nhau
(Xem thêm ở sách VLCR của Đào Trần Cao, trang 56-58)
Dạng lượng giác của phức Công thức Euler, công thức De Moivre :
https://vi.wikipedia.org/wiki/C%C3%B4ng_th%E1%BB%A9c_Euler
https://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre%27s_formula
https://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre%27s_formula
𝑒𝑖𝜑 = cos 𝜑 + isin 𝜑
𝑒𝑖𝜋 = cos 𝜋 + isin 𝜋 = −1
(𝑒𝑖𝜋)2 = (cos 2𝜋) + 𝑖(sin2 𝜋) = 1
(𝑒𝑖𝜋𝜑)2 = (cos 2𝜋𝜑) + 𝑖(sin2 𝜋 𝜑) = 1 = (cos 2𝜋𝜑)2+ (𝑠𝑖𝑛2𝜋𝜑)2
(b) Khi h, k, l đều là những số lẻ,
𝐼 ∝ 16(1 − 𝛼)2,
Cho thấy sự phản xạ là yếu Khi h,k và l đều là những số chẵn,
𝐼 ∝ 16(1 + 𝛼)2 cho phản xạ mạnh
Trang 10Bài 2 Xét một dãy 2N ion có điện tích ±q xen kẽ nhau với một thế năng đẩy 𝐴 𝑅 ⁄ giữa 𝑛 các ion lân cận gần nhất ngoài thế năng Coulomb thông thường Hãy tìm khoảng cách cân bằng Ro giữa hai ion lân cận trong hệ đó và đánh giá năng lượng cân bằng U(Ro) Lời giải:
Khi bỏ qua hiệu ứng bề mặt thì năng lượng mạng của hệ là:
𝑈(𝑅) = 𝑁(−𝑞𝑅2+𝑅𝐴𝑛) ,
ở đây a là hằng số Madelung U(r) có một cực tiểu ở trạng thái cân bằng Vậy khoảng cách cân bằng Ro được được tính bởi:
(𝑑𝑈𝑑𝑅)𝑅=𝑅𝑜 = 0 ,
Từ đó suy ra khoảng cách cân bằng là:
𝑅𝑜 = ( 𝑛𝐴
𝑎𝑞2)𝑛−11
Và năng lượng cân bằng là:
𝑈(𝑅𝑜 ) = − 𝑁
𝑅𝑜(𝑎𝑞2−
𝐴
𝑅𝑜𝑛−1) = − 𝑁𝑎𝑞2
𝑅𝑜 (1 −
1
𝑛 )
Với a=2ln2 đối với một dãy một chiều
Trang 11Câu 1: dẫn ra được công thức (3.14) trang 68 trong sách VLCR Đào Trần Cao
Đề bài cho 𝐾𝑚𝑎𝑥 = 𝜋 𝑎 ⁄ , kí hiệu 𝐾𝑚𝑎𝑥 tương úng với kí hiệu q (số sóng) trong công thức (3.14) Thế q=π/a vào (3.14), ta được:
(2α-Mω2
)U=0
và (2α-mω2)V=0 (vì e-iπ=-1)
Do đó, hai mạng này độc lập với nhau Tại tần số ω2=2α/M chuyển động trong mạng được mô tả bởi giá trị dịch chuyển là U, và tại ω2=2α/m chuyển động trong mạng được mô tả bởi giá trị dịch chuyển là V
Câu 2:
Từ công thức (3.11) trang 67, theo như điều kiện đề bài, ta viết lại như sau:
(Hệ số α1, α2 trong sách chính là hệ số C1, C2 của đề bài cho)
Thế công thức (3.13) trang 67 vào công thức ở trên, ta được:
Để hệ hai phương trinhg này có nghiệm khác 0 đồng thời đối với cả u và v, ta phải có định thức của nó phải bằng 0, tức là:
(Kí hiệu K trong đề bài tương đương với kí hiệu q của công thức trong sách)
Đối với qa =0, ta giải ra được: ω2
=0 và 2(C1+C2)/M Đối với qa =π, ta giải ra được: ω2
=2C1/M và 2C2/M
Trang 12Bài 1:
(a) Ta đã biết mối quan hệ tán sắc có được từ lecture 4:
ω = ωm|sin12qa| (công thức 5.6 của lecture 4) Suy ra:
q =2asin−1 ω
ωm,
do đó
dq
dω =2a(ωm2 − ω2)−1/2 (*) Thế (*) vào công thức (6.19) của lecture 5, ta được:
D(ω) = 2L
πa (ωm2 − ω2)−1/2 Xuất hiện suy biến khi ω = ωm
(b) Đề bài cho: ω(q) = ω0− Aq2 q = [(ω0 −ω)
A ]1/2, (ω0 là giá trị của ω tại q=0) Thể tích của hình cầu bán kính q trong không gian Fourier là:
Ω = 4𝜋𝑞
3
4𝜋
3 [
(𝜔0− 𝜔)
3/2
Mật độ trạng thái của orbital lân cận ω0 đối với ω < ω0 là:
D(ω) = (2πL)3|dωdΩ| = (2πL)3 2πA3/2(ω0− ω)1/2
Và rõ ràng rằng D(ω) bằng 0 khi ω > ω0
Bài 2:
(a) Sự chuyển động của các nguyên tử trong tinh thể điện môi trong trường hợp bài toán bị hạn chế trong mỗi lớp tinh thể, về bản chất, ta sẽ xét nó như trong không gian hai chiều, trong mặt phẳng có tiết diện là A Giá trị của q bị lượng tử hóa, và cách đều nhau bởi những khoảng 2πL, do
đó, mỗi điểm của không gian q có diện tích là (2πL)2 (trong trường hợp hai chiều q⃗ của bài toán), tức là ta sẽ có (2πL)2 = 4πA2 giá trị cho phép của q trong một đơn vị diện tích trong không gian q Tổng số mode ứng với vec-tơ sóng nhỏ hơn q là:
Trang 13N = diện tích hình tròn bán kính q diện tích tương ứng với mỗi điểm của không gian q =
πq2 ( 2π L )2 Suy ra:
N = A 4π2πq2 = Aω2
4πv2 (Với: ω = vq) Mật độ của mỗi mode ứng với mỗi tần số là:
𝐷(𝜔) = 𝑑𝑁
𝑑𝜔 =
𝐴𝜔 4𝜋𝑣2 Năng lượng nhiệt trung bình của phonon của mỗi tần số trong mỗi lớp tinh thể nguyên tử là:
(công thức 6.12 và 6.30 trong lecture 5)
(nhân với hệ số 2 là do: các vận tốc của phonon không phụ thuộc vào tính phân cực, và ở đây ta
đang xét trong hệ hai chiều) (trong công thức trên thì: τ = kBT) Trong đó, ωD được định nghĩa từ:
Ở giới hạn nhiệt độ thấp ħ𝜔𝐷 ≫ 𝜏, ta được:
Nhiệt dung riêng:
(b) Nếu các lớp liên kết với nhau với một lực rất yếu, khi đó, hệ sẽ hành xử như một cấu trúc
thẳng, với mỗi mặt phẳng như một đơn vị dao động, từ kết quả tính toán của hệ 2 chiều và 3 chiều, thì ta có thể dự đoán rằng C ∝ T Nhưng nó chỉ thỏa khi ở nhiệt độ thấp: τ ≪ ħωD ≈ ħvNlayer/L , với Nlayer/L là số lớp ứng với mỗi đơn vị chiều dài
Trang 14Bài 1:
Năng lượng của hệ N electron tại nhiệt độ T có dạng (phương trình 7.24 lecture 6),
Trong đó, f(E) là hàm Fecmi, D(E) là mật độ trạng thái của khí elecron 3 chiều,
Mà D(E) bằng: (Phương trình 7.20 – lecture 6)
Tại T = 0, U bây giờ bằng Uo:
Với:
Trang 15Bài 2:
Mật độ trạng thái của khí electron tự do trong hệ hai chiều có dạng: 𝐷(𝜖) = 𝑚 𝜋ħ ⁄ 2
Ta có mật độ của electron bằng n = N/V của hệ tại nhiệt độ T, do đó:
Và tính ra được μ:
𝜇(𝑇) = 𝑘𝐵𝑇𝑙𝑛[𝑒𝑥𝑝(𝜋𝑛ħ2⁄ 𝑚𝑘𝐵𝑇 ) − 1]
Trang 16Bài 1:
Khi không có tán xạ, phương trình chuyển động của một electron biểu diễn bởi hàm Bloch trong một điện trường E là:
𝑑𝐩
𝑑𝑡 = ħ
𝑑𝐤
𝑑𝑡 = 𝐅 = −𝑒𝐄 Lấy phép tích phân ta thu được:
k = k(0) − 𝑒𝑬𝑡
ħ Điều này chứng tỏ rằng k biến đổi tuyến tính với t Trong không gian k tất cả các electron di chuyển với cùng vận tốc ngược với phương của điện trường, như chỉ ra trong hình (a) bên dưới Khi một electron tiến tới biên vùng Brillouin thứ nhất, gọi là điểm A, nó bị phản xạ lại và tái hiện tại A’ ở phía bên kia của gốc tọa độ Các trạng thái của A và A’ là tương đương nhau Theo cách này electron dịch chuyển một cách tuần hoàn trong không gian k
Dưới tác dụng của điện trường E, trạng thái của electron thay đổi liên tục và do vậy vận tốc của
nó cũng thay đổi (tương đương với vận tốc nhóm) 𝑣 =𝜕𝜔𝜕𝑘 =1ħ𝜕𝜀(𝑘)𝜕𝑘 , ε là năng lượng của electron, như được chỉ ra hình (b) Vận tốc electron như vậy thay đổi giữa các giá trị âm và dương Sự chuyển động của electron trong không gian thực cũng mang tính tuần hoàn
Khi xảy ra tán xạ ta sẽ không quan sát được sự dao động như đã nói ở trên Điều này là bởi vì trong một tinh thể có nhiều cơ chế tán xạ khác nhau và phương trình chuyển động nói trên chỉ áp dụng được trong khoảng thời gian giữa các tán xạ Vì thời gian tán xạ rất ngắn, vec-tơ sóng của electron chỉ dịch chuyển dọc theo một phần ngắn của vec-tơ mạng đảo trước khi electron đó bị tán xạ, nên sự dao động tuần hoàn không thể xảy ra
E nhỏ có nghĩa là nó không cho phép một electron đạt tới một năng lượng đủ để nhảy lên một
vùng năng lượng cao hơn Một tinh thể thực có vô số các vùng năng lượng và nếu điện trường
Trang 17đủ lớn thì các chuyển mức giữa các vùng sẽ xảy ra Điều kiện để các chuyển mức đó không xảy
ra là:
𝑒𝐸𝑎 ≪ [𝜀𝑔𝑎𝑝(𝑘)2]/𝜀𝐹
Bài 2:
(a) Thế năng tuần hoàn trong xấp xỉ năng lượng gần đúng Fermi được mô tả như mối quan hệ
nhiễu loạn với động năng của electron Do đó, thế năng phải nhỏ hơn động năng:
|𝑉0| ≪ (
ħ𝜋
𝑎 ) 2 2𝑚
|𝑉1| ≪ (
ħ2𝜋
𝑎 ) 2 2𝑚
Và tương tự cho |𝑉2|, |𝑉3| … Vùng năng lượng có dạng parabol
(b) Sự biến mất của suy biến năng lượng là do sự trộn lẫn giữa hàm sóng và thế năng Ma trận
nguyên tố là 𝐸12 = ⟨𝜓1|𝑉(𝑥)|𝜓2⟩ Tại 𝑘 = 𝜋 𝑎 ⁄ hàm sóng chuẩn hóa 𝜓1 = 1
√𝐿𝑒i𝑘𝑥 (đối với vùng thấp) và 𝜓2 = 1
√𝐿𝑒i(𝑘−2𝜋𝑎 )𝑥
(đối với vùng cao, suy ra từ mô hình vùng mở rộng)
Đối với vùng k = 0, thì việc tính toán cũng tương tự, chỉ khác hàm sóng bây giờ là 𝜓1 =
1
√𝐿𝑒i(𝑘−2𝜋𝑎 )𝑥 và 𝜓2 = 1
√𝐿𝑒i(𝑘+2𝜋𝑎 )𝑥, điều này dẫn tới biến đổi Fourier:
Trong cả hai trường hợp thì ma trận Hamiltonian cho ra năng lượng vùng cấm là: ∆𝐸 = 2𝐸12
Bài 3:
Mạng BCC chứa 2 nguyên tử trong một ô đơn vị, vì thế nồng độ của các của các electron dẫn bằng: