bài tập vật lý chất rắn trên elerning

bài tập vật lý chất rắSự biểu hiện của E_F0 cho thấy là nó chỉ phụ thuộc vào nồng độ của các điện tử dẫn, nhưng không phải trên khối lượng các tinh thể. HOMEWORK 1 Câu 1: Các khối lập phương tâm mặt là dày đặc nhất và khối đơn giản nhất là khối mỏng nhất của hệ thống lưới ba khối Bravais. Các cấu trúc kim cương thì ít dày đặc Sự biểu hiện của E_F0 cho thấy là nó chỉ phụ thuộc vào nồng độ của các điện tử dẫn, nhưng không phải trên khối lượng các tinh thể. HOMEWORK 1 Câu 1: Các khối lập phương tâm mặt là dày đặc nhất và khối đơn giản nhất là khối mỏng nhất của hệ thống lưới ba khối Bravais. Các cấu trúc kim cương thì ít dày đặc n trên elerning

HOMEWORK 3

Câu 1: NaCl kết tinh trong mạng tinh thể lập phương tâm mặt với một cơ sở của Na

và của Cl được ngăn cách bởi nửa bề mặt đường chéo của hình lập phương Các số nguyên tử của Na và Cl tương ứng là 11 và 17

a) Xác định sự phản xạ của tia X sẽ quan sát được ( lập chỉ mục cho các đơn vị khối

thông thường)

b) Của các nhóm mạnh và nhóm yếu?

Bài làm:

(a) Các đơn vị tế bào của NaCl bao gồm tám nguyên tử chiếm sau

vị trí: Na+ ở (0 0 0), , như được chỉ ra bởi khối xung quanh chất rắn như hình 1.4; CI- ở như được chỉ ra bởi khối xung quanh chất rắn như hình

Cường độ nhiễu xạ được cho bởi:

Trong đó h,k,l là những số nguyên Thay tọa độ của các ion dẫn đến việc

Trong đó

Lưu ý rằng các cường độ chỉ khi h,k l là tất cả các số lẻ hoặc tất cả là các số chẵn Như vậy hai nhóm khác nhau của nhiễu xạ

ngang có thể được quan sát thấy

(b) Khi h, k and I là những số lẻ,

dẫn đến làm suy yếu Khi h,k,l là những số chẵn thì,

cho thấy sự phản ánh mạnh mẽ nhất

Câu 2: Hãy xem xét một dòng 2N ion xen kẽ mang ± q với một tiềm năng đẩy A/R ^

n giữa láng giềng gần nhất ngoài các Coulomb tiềm năng thông thường Tìm việc tách trạng thái cân bằng R0 cho một hệ thống như vậy và đánh giá năng lượng cân bằng U (R0)

Bài làm:

Bỏ qua hiệu ứng bề mặt, năng lượng mạng tinh thể của hệ thống là

việc tách trạng thái cân bằng Ro được cho bởi

Từ đó đến việc tách trạng thái cân bằng

Và năng lượn cân bằng

Với cho một chuỗi của một chiều

HOMEWORK 4

Câu 1: Đối với trường hợp của mạng hai nguyên 1D, tìm tỷ lệ biên độ của

1 /

n n

u u =

của hai nhánh tại

max 2

k = π

Cho tại giá trị này của K hai mạng lưới có ảnh hưởng như tách rời: một mạng tinh thể vẫn ở yên trong khi di chuyển mạng khác

Bài làm:

Khi K=

max

2

K =π

, ta có:

2 1

2 2

C M

C M

ω

ω

Các giải quyết cho phương trình này đưa ra cho các phương pháp tần số bình thường

ω2 = 2C/M1; ω2 = 2C/M2

Khi ω2 = 2C/M1, theo đó ta có:

u

v → ∞

Với u là số hữu hạn, v tiến tới 0

Khi ω2 = 2C/M2, theo đó ta có:

0

u

trong đó

v

là số hữu hạn và

u

là số không Trong bất kỳ trường hợp, 2 mạng lưới có ảnh hưởng như tách rời: một mạng tinh thể vẫn ở yên trong khi di chuyển mạng khác

Câu 2: Hãy xem xét các cách thức bình thường của một chuỗi tuyến tính trong đó các

hằng số lực giữa các nguyên tử gần nhất xen kẽ là C và 10C Khi cho chúng được cân bằng, và tách các khu vực bên cạnh là a/2 Tìm ω (K) tại K = 0 và K = π/a Phác họa phân tán bằng mắt Vấn đề này mô phỏng một tinh thể của các phân tử hai nguyên tử

như H v2

Bài làm:

Chúng ta gọi cho các hằng số lực xoay chiều là 1

C

và 2

C

Đối với một loại nguyên tử,

các lực liên tục 1

C

là bên phải và các lực 2

C

liên tục là bên trái Đối với các loại khác

của các nguyên tử, 2

C

là bên phải và 1

C

là bên trái Các phương trình của chuyển động cho hai khu vực này là:

2

2

s

d u

2

2

s

d v

M C u v C u v C u C u C C v

dt = − + + − = + + − +

Với các kết quả như sau:

i ksa t

s

u = ue −ω

và

( )

i ksa t s

Điều này dẫn đến các phương trình eigenvalue

2

2

2 1 1 2

ika

ika

u

v

ω

ω

− +

 

= 0 Hai đáp án là:

1 2 1 2 1 2

( ) ( 2 cos )

M ω± = C + C ± C + C + C C ka

Bây giờ, chọn 1

C

= C và 2

C

= 10C Các đáp án là:

1( k 0) 0

ω = =

2( k 0) 22 / C M

1( k / ) a 2 / C M

ω = π =

2( k / ) a 20 / C M

Các chế độ tần số không k = 0 được gọi là chế độ Goldstone

BÀI TẬP 5

Câu 1: Tính chất mật độ các đơn vị

1 Tính chất đặc biệt trong mật độ của các đơn vị

a Từ mối quan hệ phân tán nguồn gốc trong phần 4 cho một mạng tuyến tính nguyên

tử đầu của N nguyên tử tương tác với các đơn vị bên cạnh gần nhất, cho thấy mật độ của cách thức đó là:

Trong đó là tần suất lớn nhất

b Giả sử một nhánh của phonon quang học có công thức gần với q=0 trong 3 chiều Chứng minh với và Ở đây, mật độ các cách thức là không liên tục

Bài làm:

Trong chương 5 Ta có: = ( )1 /

L

d k dk

π ω

Ở đây L=Na Với chuổi 1D, ta có:

( )k 4C sin(ka/ 2) msin(ka/ 2)

M

m

dk

ω

Sử dụng ω( )k =ω

và kết hợp tất cả các phương trình, ta có:

m

L D

a

ω

=

−

với

0 ≤ ≤ ω ωm

Câu 2 Nhiệt dung của lớp mạng tinh thể

a Hãy xem xét một tinh thể điện môi tạo thành từ các lớp nguyên tử, với các khớp nối cứng nhắc giữa các lớp, do đó các chuyển động của các nguyên tử bị hạn chế với mặt phẳng của lớp Cho thấy rằng nhiệt dung phonon trong xấp xỉ Debye trong giới hạn nhiệt độ thấp là tỷ lệ thuận với T2

b Giả sử thay vào đó, như trong nhiều cấu trúc lớp, mà lớp liền kề đang rất yếu ràng buộc với nhau Những gì bạn mong đợi nhiệt dung phonon tiếp cận ở nhiệt độ cực thấp?

Bài làm:

Năng lượng nhiệt kết hợp với các phonon được cho bởi

( ) /

D

k T

e

ω

ω

ω

ω ω

=

−

h

nơi có mật độ của các trạng thái

( )

D ω

phụ thuộc vào loại cách thức (âm thanh hoặc quang, dọc hoặc ngang) Đối với một cách thức đặc biệt trong mạng 2D, chúng ta có

( ) 2 2 ( ) 1

L

A D

v

ω ω

π

=

Giả sử rằng một chiều dọc và hai chiều ngang có cùng tốc độ của âm thanh v, ta có

2

/ 2

0

3

D

k T

A

ω

ω

ω ω

π

=

−

h

Các tần số Debye D

ω

thu được bằng cách sử dụng

4 2

D

π

Chúng ta sau đó có thể xác định bằng cách thay thế U

( )

D

x x

ω

h

3 2 3

2 3

0

3

D

x B

x

π

=

−

∫

h h

Đối với T << ( ) − D

tức là cho nhiệt độ nhỏ hơn nhiều so với nhiệt độ Debye, chúng ta

thấy rằng

D

Sau đó,

3

2 3

0

3

,

B

x

π

∞

−

∫

h

h

Sử dụng phương trình này cho các năng lượng nhiệt kết hợp với các phonon 2D, chúng

ta nhận được nhiệt

2

18

( )

D

dT

 

−

 

2

18

( )

D

dT

−

Đây là quy tắc T2 trong 2 chiều

HOMEWORK 6

Câu 1: 1 Động năng của khí điện tử Cho thấy rằng động năng của một chất khí ba

chiều của N electron tự do ở 00 K là

Bài làm:

Đối với sự phân bố Fermi-Dirac ở 0K, ta có:

và mật độ các trạng thái của electron trong không gian 3-D là:

Khi đối với các electron tự do, động năng bằng với tổng bình phương năng lượng, trung bình động năng mỗi electron chỉ đơn giản là:

do đó động năng của electron tổng N là:

Câu 2 Điện thế hóa học ở hai chiều Cho điện thế hóa học của một chất khí Fermi trong hai kích thước được cho bởi:

Lưu ý: Mật độ của các quỹ đạo của một chất khí electron tự do trong hai kích thước là độc lập năng lượng: : , mỗi đơn vị diện tích của mẫu vật

Bài làm:

Tại hữu hạn nhiệt độ T, điện thế hóa học được xác định bởi các điều kiện:

phía bên phải có thể được tính toán một cách rõ ràng như:

do đó, từ trên hai phương trình, chúng ta có thể giải quyết cho μ là:

Bài 1: Xét điện tử có điện tích e trong mạng một chiều với các mức năng

lượng:

Với a là hằng số mạng Điện trường đều có phương song song với mạng Hãy

mô tả một cách định tính chuyển động của điện tử trong không gian k và trong không gian thực, xét trường hợp có và không có tán xạ Hỏi khi điện trường yếu thì sẽ có ý nghĩa gì, và điều gì xảy ra trong tinh thể thực (có nhiều vùng năng lượng) khi điện trường không còn yếu nữa?

Bài giải

Do điện tử e nằm trong mạng một chiều nên có thêm tác dụng của trường tinh thể tác dụng lên chuyển động của điện tử

Một mặt (dk/dt) vuông góc với từ trường E

Mặt khác (dk/dt) vuông góc với v mà v lại vuông góc với bề mặt đẳng năng E= const.

Vì vậy bản thân điểm cuối của vectơ k nằm trên mặt phẳng vuông góc với H và quỹ đạo chuyển động của điểm cuối này được xác định bởi đường cắt của mặt phẳng vuông góc H này và bề mặt đẳng năng Điện tử sẽ chuyển động theo hình lò xo trong

cả không gian k và trong không gian thực Khi điện trường yếu thì sẽ các vòng lò xo trong chuyển động của điện tử sẽ sát lại nhau Khi điện trường không còn yếu nữa thì các còng của lò xo lại xa nhau ra

Bài 2: Điện tử có khối lượng m bị giới hạn trong không gian một chiều với thế năng

yếu, được mô tả bởi chuỗi Fourier:

a Với điều kiện nào thì phép gần đúng điện tử liên kết yếu có thể áp dụng được? Giả sử điều kiện đó được thỏa, hãy dẫn ra 3 vùng năng lượng thấp nhất trong vùng Brillouin Hãy đánh số các vùng năng lượng này (bắt đầu từ vùng thấp nhất)

b Hãy tính (với gần đúng bậc nhất) độ rộng vùng cấm tại (giữa vùng thứ nhất và vùng thứ hai) và tại (giữa vùng thứ hai và vùng thứ ba)

Bài làm:

a Trong xấp xỉ NFE chu kì điện thế được coi là một nhiễu loạn liên quan đến động năng của các electron Do đó, tiềm năng năng lượng phải nhỏ hơn nhiều

so với năng lượng động lực,, Các dải năng lượng chủ yếu là parabol, với những khoảng trống ở mọi điểm suy thoái

b Sự suy thoái của năng lượng được lấy ra bằng cách kết hợp các hàm song tương ứng và khả năng nhiễu loạn Các phẩn tử ma trận là Trong khu vưc k=π/a, các hàm song bình thường là ( đối với dải thấp) và (đối với dải thấp)

Đối với việc phân chia dải tại k= 0 tính toán tương tự, ngoại trừ các hàm song là:

và Dẫn đến biến đổi Fourier

Bài 3: Tinh thể kim loại natri có dạng BCC, độ dài của cạnh lập phương 4.25 ´ 10-8 cm Hãy tìm mật độ điện tử dẫn Giả sử có một điện tử dẫn ứng với mỗi nguyên tử Áp dụng mô hình khí điện tử Fermi đối với các điện tử dẫn, hãy dẫn ra biểu thức của năng lượng Fermi (ở 0 K) và chứng minh rằng nó chỉ phụ thuộc vào mật độ điện tử dẫn, mà không phụ thuộc vào khối lượng của tinh thể

Bài làm:

Một mạng bbc chứa nguyên tử trên mỗi đơn vị thể tích, do đó mật độ của các electron

Theo mô hình khí điện tử tự do của Fermi, số electrons trong một thể tích V có năng lượng trong phạm vi E đến E+dE là:

dN =

với , m là khối lượng của electron Ở T=0K, sự phân bố hàm f(E) là:

Do đó, tổng số electron trong V là:

Trong đó, là năng lượng Fermi ở 0 K Với n = , năng lượng Fermi ở 0 K là:

Cho natri kim loại, chúng ta có:

=3.18 eV

Sự biểu hiện của cho thấy là nó chỉ phụ thuộc vào nồng độ của các điện tử dẫn, nhưng không phải trên khối lượng các tinh thể

HOMEWORK 1

Câu 1: Các khối lập phương tâm mặt là dày đặc nhất và khối đơn giản nhất là khối

mỏng nhất của hệ thống lưới ba khối Bravais Các cấu trúc kim cương thì ít dày đặc hơn bất kỳ trong số này Một biện pháp cho vấn đề này là phân chia những phần tử tương ứng trong mạng Bravais sao cho trật tự sắp xếp được khít lại gần nhau thành một khối chất rắn

Giả sử mặt cầu rắn đồng nhất được phân phối thông qua không gian bằng cách là trung tâm của chúng nằm trên các điểm của mỗi bốn cấu trúc, và những điểm lân cận nằm trên khối cầu chỉ cần tiếp xúc mà không chồng chéo Giả sử rằng các khối cầu

có mật độ đơn vị, xác định mật độ của một tập hợp các khối cầu xếp chặt vào nhau của các cấu trúc sau:

Khối đơn giản

Lập phương tâm khối

Lục phương xếp chặt.

Xác định phân tử xếp chặt của cấu trúc kim cương

Bài làm:

Gọi a là hằng số mạng, n là số đơn vị cấu trúc, r là bán kính nguyên tử, Vx là tổng thể tích quả cầu, V là thể tích 1 ô cở sở

Khối đơn giản

r=a/2

n=8*1/8=1

Mật độ siết chặt (Mv) = n*Vx/V = = π/6

Lập phương tâm khối

r=

n=1+8*1/8=2

Mv=n*Vx/V==

Lập phương tâm mặt

r=a /4

n=6*1/2+8*1/8=4

Mv=n*Vx/V==

Lục phương xếp chặt

r=a/2

n=4*1/6+4*1/12+1=2

Mv=n*Vx/V==

Kim cương (mạng tinh thể kim cương bao gồm một mạng FCC với cơ sở hai điểm)

r=a /8

n=8

Mv=n*Vx/V==

Các khối thông thường đối với hầu hết các chất siêu dẫn nhiệt độ cao (Tc cao) là lớp oxit đồng, như mô tả trong hình I.1.6 Giả sử khoảng cách giữa các nguyên tử đồng (tròn đầy) là a Để đơn giản chúng ta hãy cũng giả định rằng trong chiều không gian thứ ba các lớp СuО2 đơn giản là được xếp chồng lên nhau với khoảng cách c, và không có các nguyên tử khác trong tinh thể Ở xấp xỉ bậc nhất, các lớp có một đối xứng gấp bốn lần, tinh thể là bốn phương

(a) Vẽ các mạng Bravais và chỉ ra một tập hợp có thể có của vectơ nguyên thủy cho các tinh thể này Các tế bào đơn vị là gì, và cơ sở là gì?

(b) Trong LaCuO4 một phát hiện ra, lúc kiểm tra gần hơn, mạng СuО2 thực sự không bằng phẳng, nhưng mà các nguyên tử oxy được chuyển một lượng nhỏ ra khỏi mặt phẳng ("lên" hoặc "xuống") luân phiên (trong Hình 1.1.7, a + có nghĩa là lên và a - có nghĩa là xuống) Khoảng cách giữa các tế bào và mạng tinh thể nguyên thủy cho các tinh thể này là gì? Lưới đảo là gì? Mô tả (chất lượng) những gì sẽ xảy ra trong các mô hình nhiễu xạ tia X như các biến dạng giảm dần dần bằng không

Bài làm:

a)

Xây dựng như trong hình, trong đó các vectơ nguyên thủy là:

a1 = ax, a2 = ay, a3 = cz…(vecto màu đỏ)

Cơ sở là vùng được khoanh tròn màu cam

Ô cơ sở là các ô màu xanh với 4 nguyên tử Đồng ở các góc

Ô nguyên thủy chứa 2 Cu02 là ô vuông màu xanh da trời như hình vẽ