Phép biến đổi hankel hữu hạn và ứng dụng

Về lịch sử của biến đổitích phân đưa ta trở lại các công trình của Leonard Euler trong nhữngnăm 1763 - 1769, ông xét chúng chủ yếu dưới dạng của các phép biến đổingược trong lời giải của

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN QUANG

PHÉP BIẾN ĐỔI HANKEL HỮU HẠN

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN QUANG

PHÉP BIẾN ĐỔI HANKEL HỮU HẠN

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào

Hà Nội, 2017

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn Phòng sau Đại học; Các thầy giáo, cô giáotrong Khoa Toán cùng toàn thể các anh chị em học viên khóa 19 chuyênngành Toán giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã động viêngiúp đỡ để tác giả có điều kiện tốt nhất trong quá trình thực hiện đề tàinghiên cứu Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS NguyễnVăn Hào đã định hướng chọn đề tài và tận tình chỉ bảo giúp đỡ để emhoàn thành Luận văn này Những thiếu sót của Luận văn được hội đồngđóng góp và đã được hoàn thiện

Em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của cácthầy giáo, cô giáo và các bạn học viên

Hà Nội, tháng 12 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Văn Quang

Lời cam đoan

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, luậnvăn thạc sĩ chuyên ngành toán giải tích với đề tài “Phép biến đổi Hankelhữu hạn và ứng dụng” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thântác giả, không trùng với bất cứ Luận văn nào khác

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Văn Quang

Mục lục

1.1 Khái niệm về hàm Bessel 5

1.1.1 Phương trình Bessel 5

1.1.2 Một số tính chất của hàm Bessel 9

1.2 Phép biến đổi Fourier 13

1.2.1 Một số khái niệm 13

1.2.2 Các tính chất của phép biến đổi Fourier 15

1.2.3 Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier 17

1.2.4 Tích chập và biến đổi Fourier 19

1.3 Phép biến đổi Laplace 21

2 Phép biến đổi Hankel hữu hạn và ứng dụng 42 2.1 Phép biến đổi Hankel hữu hạn 42

2.2 Một số ứng dụng của phép biến đổi Hankel hữu hạn 46

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài Trong gần hai thế kỷ, các phép biến đổi tích phân

là một công cụ toán học đem lại những thành công đáng kể trong việcgiải quyết nhiều bài toán trong các lĩnh vực: toán học ứng dụng, vật lýtoán, và nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác Về lịch sử của biến đổitích phân đưa ta trở lại các công trình của Leonard Euler trong nhữngnăm 1763 - 1769, ông xét chúng chủ yếu dưới dạng của các phép biến đổingược trong lời giải của các phương trình vi phân tuyến tính thường bậchai Cùng thời đó, Laplace đã gửi tới Euler một công trình được xuất bảnnăm 1812 "Théory analytique des probablités" giới thiệu về biến đổi tíchphân Năm 1878, Sipter là người đã gắn tên của Laplace cho biểu diễn

đã được Euler sử dụng trước đó Dưới dạng này nó trở thành phương trình

vi phân với y là hàm chưa biết của biến x Trong thế kỷ 19, biến đổiLaplace được mở rộng tới dạng phức bởi Poincaré và Pincherle, và đượcPicard mở rộng tới trường hợp hàm hai biến Ta có thể kể thêm nữa làcác công trình nghiên cứu được tiến hành bởi Abel và nhiều nhà Toán họckhác

Trong toán học, biến đổi tích phân là phép biến đổi T có dạng T f = f

Đầu vào của phép biến đổi là một hàm f và đầu ra là một hàm T f khác.

Có nhiều loại biến đổi tích phân, mỗi loại tương ứng với một sự lựa chọnhàm K(t, u) khác nhau gọi là nhân của phép biến đổi Một số nhân cónghịch đảo tương ứng K−1(t, u) có nghĩa là tồn tại phép biến đổi ngược

Phép biến đổi Hankel hữu hạn là một phép biến đổi tích phân nhằm giảiquyết một số bài toán xuất hiện từ lĩnh vực vật lý Để hoàn thành luậnvăn thạc sỹ chuyên ngành toán giải tích, em chọn đề tài “Phép biến đổiHankel hữu hạn và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu vềphép biến đổi Hankel hữu hạn và một số ứng dụng của nó

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về định nghĩa, tínhchất cơ bản của phép biến đổi Hankel hữu hạn

4 Phương pháp nghiên cứu

Tra mạng tìm tài liệu, phân tích và tổng hợp kiến thức, xin ý kiến định

hướng của người hướng dẫn.

5 Dự kiến đóng góp của đề tài

- Trình bày hệ thống về phép biến đổi Hankel hữu hạn

- Trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Hankel hữu hạn

Ngoài ra, phương pháp này còn được gọi là giải phương trình vi phân bằngcách tìm nghiệm dưới dạng chuỗi lũy thừa Cụ thể, người ta tìm nghiệm

của phương trình dưới dạng

Phương trình (1.1.2)cho ta phương trình chỉ số s2− n2 = 0với hai nghiệm

s = ±n Từ các nghiệm của phương trình chỉ số này ta sẽ thu được hainghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (1.1.1) trong trường hợp hainghiệm khác nhau bởi một số nguyên

Giản ước phương trình (1.1.3) ta được

{(s + 1)2 − n2}a1 = 0

Bởi vì s2 = n2 nên {(s + 1)2− n2} 6= 0 Do đó, ta nhận ngay được giá trị

a1 = 0 Phép biến đổi đơn giản phương trình (1.1.4) đi tới phương trìnhdưới đây

{(s + 1)2 − n2} ar + ar−2 = 0

Khi đó, ta nhận được mối quan hệ quy nạp của các hệ số trong nghiệmcủa phương trình như sau

qua mối quan hệ lặp của hàm gamma xΓ(x) = Γ(x + 1) ta được

(n + 1)(n + 2) (n + r) = (n + r)(n + r − 1) (n + 2)(n + 1)Γ(n + 1)

Γ(n + 1)

= Γ(n + r + 1)Γ(n + 1) .

Khi đó, ta được công thức biểu diễn của các hệ số chẵn qua hàm gammadưới dạng

22rΓ(n + 1), ta nhận được một nghiệm của phương trình Bessel

(được gọi là hàm Bessel loại một bậc n)

2r+n

(1.1.6)

Từ giả thiết, ta thấy chuỗi bên vế phải của phương trình (1.1.6) hội tụtheo các giá trị của x Đây chính là nghiệm của phương trình Bessel vớigiá trị đặc trưng s = n Với giá trị đặc trưng thứ hai s = −n để nhậnđược nghiệm của phương trình Besssel ta chỉ cần thay n bởi −n và nhận

được nghiệm sau

2r−n

Thế nhưng các giá trị của Γ(−n + r + 1) là vô hạn với các giá trị của r

là số nguyên không âm và như thế 1

2m+n

Thế nhưng

Từ đó ta được điều phải chứng minh.

Trường hợp 2 Với n < 0, ta viết n = −p; p > 0 Khi đó, ta cần phảichứng minh rằng

Chứng minh

Trường hợp 1 Với n không nguyên Trước hết, ta thấy rằng Yn(x) là tổhợp tuyến tính của hai hàm Jn(x) và J−n(x) Theo tính chất 1, hai hàm

Jn(x) và J−n(x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình Bessel

Do đó Yn(x) là tổ hợp tuyến tính của Jn(x) và J−n(x) cũng là hai nghiệmđộc lập tuyến tính của phương trình đó Tức là Jn(x) vàYn(x) cũng là hainghiệm độc lập

Trường hợp 2 Với n nguyên, ta thấy rằng sin nπ = 0 và cos nπ = (−1)n

Do đó theo tính chất 1 ta có

cos nπJn(x) − J(−n)(x) = (−1)nJn(x) − (−1)nJn(x) = 0

Như vậy ta thấy rằng Yn(x) = 0

0 là một dạng không xác định Tuy nhiên,

ta có thể khử dạng vô định này như sau

Tiếp theo ta cần chứng minh rằngJv(x) là nghiệm của phương trình Besselbậc v, tức là

∂Jv

∂v +(x

2−v2)∂Jv

∂v −2vJv = 0 (1.1.11)Bởi vì J−v(x) cũng là nghiệm của phương trình Bessel bậc v nên ta cũngcó

J−v

∂v + (x

2 − v2)∂J−v

∂v − 2vJ−v = 0 (1.1.12)Lấy (1.1.12) trừ (1.1.11) và nhân hai vế của phương trình này với (−1)v

Như thế Yn(x) là nghiệm của phương trình Bessel bậc n

Tính chất 3 Với n là số nguyên ta luôn có

Y−n(x) = (−1)nYn(x)

Chứng minh Từ phương trình (1.1.10) ta được

1.2 Phép biến đổi Fourier

Φ(y)eixydy

Người ta ứng với mỗi hàm f với hàm số

Tương tự như vậy người ta định nghĩa biến đổi Fourier ngược là phép ứngmỗi hàm số f với hàm số

và thường được ký hiệu bởi F−1 Như vậy F−1[f ] = Ψ

Mệnh đề 1.2.1 Nếu hàm f là hàm liên tục, khả tích tuyệt đối trên toàntrục số và có đạo hàm từng phía tại mỗi điểm, thì

F−1[F [f ]] = F F−1[f ] = f.Chứng minh Công thức F−1[F [f ]] = f cũng chính là công thức tíchphân Fourier dưới dạng khác Ta chỉ còn phải chứng minh F−1[F [f ]] = f

Vì hàm cosin là chẵn nên trong công thức tích phân Fourier (dạng thôngthường) có thể đổi vị trí giữa t và x, nghĩa là

1.2.2 Các tính chất của phép biến đổi Fourier

Tính chất 1 Phép biến đổi Fourier và ngược của nó có tính chất tuyếntính, nghĩa là

F [λ1f1 + λ2f2] = λ1F [f1] + λ2F [f2]

và

F−1[λ1f1 + λ2f2] = λ1F−1[f1] + λ2F1[f2].Chứng minh Ta có

Tính chất 3 Phép biến đổi Fourier của một hàm khả tích tuyệt đối (trêntoàn trục thực) là một hàm bị chặn (trên toàn trục số) và ngoài ra ta có

ˆ

f (y)

6

1

2√π

∞

Z

−∞

f (x)

dx = 0

Do đó, từ hệ quả trên ta chỉ cần chứng minh mệnh đề cho lớp hàm bậcthang Mặt khác, ta cũng biết rằng mỗi hàm bậc thang là tổ hợp tuyến

tính hữu hạn của các hàm bậc thang (nhận giá trị 1 trên nửa khoảng[a; b)

nào đó và nhận giá trị 0 trên miền còn lại) Từ tính chất tuyến tính củaphép biến đổi Fourier, ta thấy rằng cũng chỉ cần chứng minh mệnh đề cholớp hàm bậc thang

Giả sử ω là một hàm bậc thang, nghĩa là

2π khi y = 0

1.2.3 Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi

Fourier

Mệnh đề 1.2.2 Nếu hàm khả tích tuyệt đối f có các đạo hàm đến cấp n

liên tục và khả tích tuyệt đối trên toàn trục số thì

F [f(k)] = (iy)kF [f ]; k = 0, 1, 2,

và tồn tại hằng số M sao cho

F [f ]

6

M

|yn|.

∞

−∞

+ √iy2π

Lưu ý rằng hàm F [f(n)] là bị chặn trên toàn trục số (theo mệnh đề ở phần

trên) nên tồn tại số hữu hạn M = sup

−∞<y<∞

F [f(n)] Do đó công thức thứhai của mệnh đề có ngay từ công thức thứ nhất với k = n Mệnh đề đượcchứng minh

xf (x)e−ixy

=

xf (x)

... data-page="21">

tính hữu hạn hàm bậc thang (nhận giá trị nửa khoảng[a; b)

nào nhận giá trị miền cịn lại) Từ tính chất tuyến tính củaphép biến đổi Fourier, ta thấy cần chứng minh mệnh đề cholớp... (x)

Chứng minh Suy bất đẳng thức mệnh đề

Tính chất Biến đổi Fourier hàm khả tích tuyệt đối tồn trụcthực hàm liên tục tiến tới biến số tiến tới −∞ ∞.Chứng minh Ta biết với... hàm bậc thang

Giả sử ω hàm bậc thang, nghĩa

2π y =

1.2.3 Biến đổi Fourier đạo hàm đạo hàm biến đổi

Fourier

Mệnh đề 1.2.2 Nếu hàm khả tích tuyệt đối f có đạo hàm