Giải a Gọi x là cạnh của hình vuông cần tìm.. Tìm các điểm M C sao cho tổng khoảng cách từ M tới các x tiệm cận là nhỏ nhất.. Tìm m để MN ngắn nhất.
Trang 1¤n Thi TNPT 2009
Vấn đềâ 3 : Gía trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
ĐN : Cho hàm số y = f(x) liên tục có TXĐ là D Kí hiệu:
f(x) M, x D GTLN là M = max f(x) x D : f(x ) M
f(x) m, x D GTNN là m = min f(x) x D : f(x ) m
Do đó : m f(x) M, x D
i i
i
ª Cách 1 : f liên tục trên [a;b]
1 TXĐ
2 ĐH : Tìm y tính f(a),f(b),f(x )
y = 0 x ? là các nghiệm của đạo hàm trên [a;b]
3 KLuận : M = max{f(a),f(b),f(x
i
)}
m = min{f(a),f(b),f(x )}
ª Cách 2 : D [a;b] hoặc f không liên tục trên [a;b]
1 TXĐ
2 ĐH : Tìm y BBT
3 KLuận
2
Chú ý :
1 f có thể không có GTLN,GTNN
o
ª Cách 3: Miền giá trị ( Dùng GTLN,GTNN để cm BĐT )
1 TXĐ
2 Xét pt ẩn x : f(x) y = 0 (*) , y là tham số
3 Pt (*) có n x D điều kiện y M, m ?
o
ª Cách 4 : Bất đẳng thức
1 Dùng BĐTđể cm : f(x) M, x D hay f(x) m, x D
2 Phải chỉ ra ít nhất một x D: f(x ) M hay f(x ) m
( Tìm một x D để dấu "=" xảy ra )
Chú ý:
sin[u(x)] 1; cos[u(x)] 1 với u(x) có nghĩa
sin[u(x)] cos[u(x)] 2 với u(x) có nghĩa
ª Cách 5: Lượng giác hoá, đại số hoá,đặt ẩn phụ
Dùng PP đổi biến số để đ
ưa vế 4 cách ở trên
B VÍ DỤ
2
: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số liên tục trên một đo
y = x x trên đoạn [ 1; 3 ]
Giải
TXĐ : D = [ 1; 3 ]
Đạo hàm : y x x
LOẠI 1
x(x
ạn :
y ) ;
2
2
0
2
[ 1; 3 ] [ 1; 3 ]
x [ 1; 3 ] x(x )
x
Ta có : y(2) = , y(1) = , y(3) =
Vậy : M = max y y(3) = , m = min y y(2) =
Hàm số xác định và liên tục trên D [ ; ] Vì x
1
Trang 2¤n Thi TNPT 2009
2
2 2
0
4
3
1
[ 1; 3 ] [ ; ]
x
Ta có: y( ) ,y( ) ,y( )
Vậy : M = max y y( ) = , m = min y y( 2) =
x
y = trên [0 ; 2]
x
Hàm số xác định và
2
0 2
5
0 1
4
2 2
2 2
[ 0; 2 ] [ ; ]
liên tục trên D = [0 ; 2]
(x )
Ta có: y(0) = ,y( )
Vậy : M = max y y( ) = , m = min y y( ) =
y = x sin2x trên [ ; ]
TXĐ : D = [ ; ]
2 2
2 2
1
4 5
3
[ ; ] [ ; ]
cos x cos x x ( xem lại phần cực trị )
Vậy : M = max y y( ) , m = min y y( )
(TNPT - 04) y = 2sinx s
3
0
4 0
3
2
in x trên [0 ; ] TXĐ : D = [ ; ]
Đặt t = sinx , x [0 ; ] nên t [ ;1] , ta được : y = 2t t = g(t)
Ta có : g( ) = , g(0) = 0 , g(1) =
Vậy : M
[ ; ] [ ; ]
[ ; ] [ ; ]
m = min y ming = g( ) = khi t = sin x x x
y = x x x trên [ 1;1]
TXĐ : D = [ 1;1]
2
0
1 10
1 7
1
1 1
[ 1;1]
[ 1;1]
x
Ta có : y(0) = 1, y(1) = 2 , y( )
Vậy : M = max y y( ) = , m = min y y( ) =
cosx
y
cos x cosx
TXĐ : D
Đặt t = cosx , t [ ; ]
2
Trang 3¤n Thi TNPT 2009
2
2
2
3
2 [ 1;1]
thì y = = g(t) , t [ 1;1] , g = ;g = 0 t t
Ta có : g(0) = 1 , g( ) ,g( )
Vậy : M = max y max g = g( ) = khi t = cosx x k ,k
2 2 2 1 0 1 1 2 2 8 1 1 1 1 2 1 [ 1;1] m = min y min g = g( ) = khi t = sin x x k ,k y = 2cosx + cos2x Cách 1: y = 2cosx + (2cos x ) 2cos x 2cosx Đặt : t cosx,t [ ; ] thì y = 2t t g(t) g = 4t + 2 ; g = 0 1 2 1 3 1 1 1 3 2 2 1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 2 2 2 2 6 [ 1;1] [ 1;1] 4t + 2 = 0 t = Ta có : g( ) , g( ) ,g( ) Vậy : M = max y max g = g( ) khi t = cosx x k , k m = min y min g = g( ) khi t = sin x x k ,k Cá 3 2 2 2 2 2 4 2 2 3 3 2 2 4 4 0 0 2 2 3 3 0 2 ch 2 : Vì hàm số có chu kì T = 2 nên ta xét hàm số trên D = [0 ; 2 ] x x y = sin x sin x (sin x sin x) sin cos x sin = 0 x x y = 0 sin cos x , x , x = , x = , x cos 2 2 2 2 3 4 3 2 3 3 2 3 2 2 4 3 3 3 2 9 4 3 4 4 4 3 4 4 4 3 0 x = 2 Ta có : y(0) = 3 , y( ) ,y( ) ,y( ) Vậy : M = max y y(0) = y(2 ) = 3 m = min y y( ) y( ) y x x trên [ ; ] Cách 1: Xét t x x ,x [ ; ] , t = 0 x x 1 3 2 4 0 2 4 0 2 x ,x t x , t x x Bảng biến thiên của t : Suy ra bảng biến thiên của y : 3
-x 4 1 2 3 4
y 0 + +
y 35 3
0 0
1
x 4 1 2 3 4
y 0 + +
y 35 1 3 0 0
Trang 4¤n Thi TNPT 2009
[ 4;4]
[ 4;4]
Vậy : M = max y y( )
m = minx y y( ) y( )
2
2 2 1
2
1
2
0
y x x nếu x [ ; ] [ ; ] Cách 2 : Vì y x x =
y x nếu x ( ; ) ( ; )
y
y x nếu x ( ; )
y
Ta c
ó : y(2) = 1 , y( 4) = 35 , y(1) = 0 , y(3) = 0 , y(4) = 3
[ 4;4]
[ 4;4]
Vậy : M = max y y( )
m = minx y y( ) y( )
2
2
1
1
1 2 1
1
3
5
2
[ 4;4]
[ 4;4]
x
y = trên [ ; ]
x
TXĐ : D [ ; ]
x
Ta có : y(1) = ,y( ) ,y( )
Vậy : M = max y y( )
m = minx y y( )
k) y sin x sin x
TXĐ : D Đặt : t =
2
2 2
0
1 2
sinx , t [ 1;1] ta được hàm số y = t + t xác định và liên tục trên [ 1;1]
t
Ta có : y( ) ,y( )
2
2
2 11
[ 4;4]
[ 4;4]
Vậy : M = max y y( ) khi t = sin x x k ,k
y = cos x sin x
Biến đổi : y = (1 sin x) sin x sin x sin x 1
Đặt : t = sin
2 1
2
x , t [ 1;1] thì y = t t 1 = g(t)
Ta có: g( ) ,g( ) ,g( )
2 [ ;1]
Vậy : M = max y max g g( ) khi t = sin x x k ,k
4
Trang 5¤n Thi TNPT 2009
1
[ ;1]
3
1
3 1
3
y = sin x cos x sin x
Biến đổi : y = sin x ( cos x) sin x y sin x sin x sin x
Đặt : t sin x,t [ ; ] ta được y = t t t g(t)
Ta có : g( ) , g( )
27
2
[ 1;1]
[ 4;4] [ 1;1]
, g(1) = 5 Vậy : M = max y max g g(1) = 5 khi t = sin x x k ,k
m = minx y max g g( )
khi t = sin x x arcsin k , x arcsin k với k
2 2
[2;6]
Hàm số xác định và liên tục trên D = [2;6]
Ta có : y(2) = 2 , y(6) = 2 , y(4) = 2
Vậy : M =max y = y(4) = 2
m =m
2
1
1 1
2
2 2
[2;6]
[ ; 1]
in y = y(2) = y(6) = 2
y = x x
Hàm số xác định và liên tục trên D [ ; ]
Vậy : M = max y = y( )
1
1 2
[ ; 1]
m = min y = y( )
2
15
2 3 2
x nếu 2 x 1
y =
x + 2 nếu 1< x 3
Hàm số xác định và liên tục trên D [ ; ]
x nếu 2 x 1
1 nếu 1< x 3
Ta có : y(0) = 0 , y( ) ,y( ) ,y( )
Vậy :
2 3
2 3
1
[ ; ]
[ ; ]
M = max y = y( ) =
m = min y = y(3) =
16
0
y sin x cosx
sin x
cosx
5
Trang 6¤n Thi TNPT 2009
4
4 0
2
2 0
4
8 4 [ ; ]
Vì hàm số tuần hoàn với chu kì 2 nên ta chỉ cần xét D = [0 ; ]
Ta có : y( ) , y(0) = 1 , y( )
Vậy : M = max y = y( )
0
2
1 2 [ ; ]
m = min y = y(0) = y( )
2
2 2
2
17
1
1
0 1
cos x cosx
y
cosx
TXĐ : D Đặt t = cosx , t [0;1] ta được : y = = g(t) với t [0;1]
t
g = ,t [0;1] , g (t) = 0 chỉ tại t = 0 nên g(t) đồng biến trên [0;1]
(t )
Vì : g(
0 1
0 1
2
[ ; ] [ ; ]
) ,g( )
Vậy : M =max y =max g g( ) khi t = 1 cosx sin x x k ,k
m =min y =min g y(0) = khi t = 0 cosx cosx x k ,k
2
2
: Tìm GTNN và GTLN của các hàm số liên tục trên D [a
I
T
] :
XĐ : D
y x , y x x
Bảng biến thiên
Vậy : Không có GTLN m =min y = y(1) = 2
2 y 4x 3x
TXĐ : D
y x x = 12x (1 x) , y 12x (1 x) x ,x
Bảng biến thiên
Vậy : M = max y = y( ) = 1 1
Không có GTNN
6
-x 1
y 0 +
y 2
x 0 1
y + 0 + 0
y 1
Trang 7¤n Thi TNPT 2009
4
3 y x với x > 0
x
2
4 1
4 (0;+ )
Cách : Áp dụng bđt Côsi cho hai số dương x và
x
Ta có : x + x y , x (0;+ ) Dấu "=" xảy ra x = x x
Vậy : M = max y
2
0
Cách 2 :
TXĐ : D ( ; )
Bảng biến thiên
0 4 ( ; ) Vậy : Không có GTLN m = min y = y(2) = 4 3 3 6 3 3 0 6 3 0 2 2 3 2 3 y x x TXĐ : D = ( ; ] x x y x , y x x x x Bảng biến thiên Vậy : M = max y = y( ) = 2 2 Không có GTNN 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 0 0 2 0 2 1 1 x x 5 y x TXĐ : D = \ x x x x x Xét hàm số g(x) = ; g (x) = ,g x x x x (x ) Bảng biến thiên g Suy ra bảng biến thiên của y 7
-x 2 0 2
y + 0 0 +
y 4
x 2 3
y + 0
y 2
x 0 1 2
g + 0 0 +
g 1 3
x 0 1 2
y + 0 0 +
y 1 3
Trang 8¤n Thi TNPT 2009
1
Vậy : Không có GTLN
m =min y = y(0) =
2
Bảng biến thiên của t
Vậy : t [3;3 2]
9
2
g (t) t , g = 0 t = 1 [3;3 ]
Ta có : g(3) = 3 , g(3 )
Vậy : M = max y = max g g( ) = khi t = 3 x = x
m = min y = m in g g(3 ) = khi t = 3 x =
2 1 7 2 3 0 2 x y trên nửa khoảng (2;3] x TXĐ : D = (2;3] y , với x (2;3] (x ) Bảng biến thịên
2 3 4 ( ; ] Vậy : Không có GTLN m =min y = y(3) = 2 1 8 1 1 1 x x y trên nửa khoảng ( ;+ ) x TXĐ : D = ( ;+ ) 2 2 2 2 0 2 0 0 2 1 x x x y ; y x x x (x ) 8
-x 3 3
2 6
t + 0
t 3 2 3 3
x 2 3
y
y 4
Trang 9¤n Thi TNPT 2009 Bảng biến thiên
( ; )
Vậy : M = max y = y( ) =
Không có GTNN
2
2
9
1
x
y
2 2
2
1 0
1
1
2
TXĐ : D = Vì x x vô nghiệm
x (x
Cách : PP hàm số
x
)
Bàng biến thiên
0
Vậy : M = max y = y( ) = /
m =min y = y(0) =
2 2 2
2
1 1 1 0
2
TXĐ : D =
x Gọi y là giá trị mà hàm số có thể đạt được x : y
y y Phương trình : (y
Cách : PP dùng ta
1)x yx y có nghiệm x
äp giá trị của hàm số
1 4 0
3 4
3
y y Vậy tập giá trị của hàm số là T = [0 ; ]
2
Vậy : M = max y = Khi y = x
m =min y = Khi y = x
2 2 2 10 2 3 2 3 0 5 9 sin x cosx y sin x cosx Phương trình sin x cosx có a b c nên vô nghiệm, do đó y có tập xác định D = Gọi y là giá trị mà hàm số có thể đạt được x : phương trình y 2 3 sin x cosx có nghiệm sin x cosx (y 1)sinx + (2y+1)cosx+3y = 0 (1) 2 2 2 Áp dụng : Điều kiện có nghiệm của phương trình : asinx + bcosx = c là a b c 1 1 TH : y Khi đó : (1)cosx = 1 x = (2k+1) ,k 9
-x 2 1 0
y + 0
y 1
x 2 0
y + 0 + 0
y
4 3 1
1 0
Trang 10¤n Thi TNPT 2009
1
2 1
1 2
TH : y
Kết hợp hai trường hợp ta được : y
1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 Vậy : M = max y = Khi y = x ( k ) ,k m =min y = Khi y = x k ,k 2 2 2 2 11 3 4 3 4 4 25 5 5 3 4 3 5 3 4 5 1 1 5 5 5 y sin x cosx TXĐ : D = Biến đổi : sin x cosx y (1) Phương trình (1) có nghiệm 3 ( ) y y y Vậy : min y khi sin x cosx sin x cosx sin(x ) với cos = , sin = 4 5 2 2 2 2 3 4 3 4 5 3 4 5 1 1 5 5 5 5 2 2 2 x = k ,k x = k ,k max y khi sin x cosx sin x cosx sin(x ) với cos = , sin = x = k ,k x = 2k ,k 2 2 1 3 12 2 2 0 0 0 y trên ( ; ) sin x sin x sin x y ;y sin x x cos x cos x Bảng biến thiên 2 23 1 ( ; ) Vậy : M = max y = y( ) = Không có GTNN 2 2 2 2 13 2 2 2 0 2 3 2 0 1 2 4 2 4 4 4 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 0 y sin x cosx sin x trên ( ; ) Đặt t = sinx+ cosx = sin(x ) Vì x ( ; ) x ( ; ) t ( ; ] Ta có : t sin x cosx sin x sin x t y t (t ) t t g(t) g = t ; g = 0 t t1 Bảng biến thiên 10
-x 2 3
2 y + 0
y 1
t 1 2
y
y 2 2 3
Trang 11¤n Thi TNPT 2009
14
2
2
4
Tìm GTNN của y = sin x cos x trên (0 ; )
TXĐ : D (0 ; )
Bảng biến thiên
4
Vậy : Không có GTLN
m =min y = y( ) =
1 Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm , hãy tìm hình chữ nhật có die
Tìm GTN
än tích
L
l
N và GTLN có liên q
ớn nhất Giải
Gọi x
OẠI 3
,y lần
uan đế lượt
n h là
ình học chie
:
àu d
2 8
ài và chiều rộng của hình chữ nhật , suy ra x,y > 0 Theo đề : x< 8,y< 8 Do đó : 0 < x< 8 , 0 < y< 8
Khi đó : Chu vi p = 2(x+y) = 16 x+y = 8 y = 8 x
Nên diện tích S = xy = x(8 x) x x
; S = 2x8 , S = 0 2x 8 0 x4
Bảng biến thiên
Bảng biến thiên cho max S = S(4) = 8 khi x = 4 thì y = 4( ; )0 8
Vậy : Hình vuông có cạnh bằng 4cm là hình có diện tích lớn nhất
2
2 Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích 8cm , hãy tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất
Giải
Gọi x,y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật , suy ra x,y > 0
2
8
2 2
Theo đề : x.y = 8 y =
x Khi đó : Chu vi p = 2(x+y) p (x+ ) = x + với x > 0
x
Bảng biến thiên
11
-x 0
4
2 y 0 +
y 1004
2 x 0 4 8
S + 0
S 16
x 2 2 0 2 2
p 0 +
p
8 2
Trang 12¤n Thi TNPT 2009
Bảng biến thiên cho ( ;max p = p(2 ) = 8 khi x = 20 ) 2 2 2 thì y = 2 2
Vậy : Hình vuông có cạnh bằng 2 cm là hình có chu vi nhỏ nhất 2
3 Một tấm tôn hình chữ nhật có cạnh là a và 2a Tìm cạnh của hình vuông khi cắt bỏ từ bốn góc của tấm tôn để tạo nên một hình hộp chữ nhật không có nắp sao cho nó có th
2
ể tích lớn nhất Giải
a Gọi x là cạnh của hình vuông cần tìm Điều kiện : 0 < x <
Khi đó : V = x(a 2x)(2a 2x) = 4x ax a x
V = x ax a ; V = 0 x ax a
a a
x Bảng biến thiên
Vậy : V lớn nhất khi x a a 3
1
4
1
1 1
o
o
x Cho đường cong (C) : y = Tìm các điểm M (C) sao cho tổng khoảng cách từ M tới các
x tiệm cận là nhỏ nhất
Giải
x Xét điểm M(x ; ) (C),x
x (C) có tiệm cận đứng (d )
2
2
1 0
2 0
1
1
Co âsi o
o
: x (C) có tiệm cận ngang (d ) : y
x
Dấu "=" xảy ra x (x )
x
Vậy có hai điểm cần tìm là M ( ; ),M ( ; )1 0 1 2 2 3
5
2
x Cho đường cong (C) : y = Chứng minh rằng đường thẳng (d) : y = x+ m luôn cắt (C) tại hai
x điểm M,N Tìm m để MN ngắn nhất
Giải
Phương trình hoành độ điểm chung của (C) và
2
2
(d) : x
x
( Vì x = 2 không là nghiệm của phương trình )
12
-x 0 a a 3
2 6
a
2 a a 32 6
V + 0
V 0 0 M
