BÀI TẬP MẶT CẦU NGOẠI TIẾP THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Xác đ nh tâm và bán kính... Tính th tích khi đó.

Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -

Bài 1 Cho tam giác vuông cân ABC ( 0

90

B ), c nh góc vuông b ng a M t đ ng th ng  (ABC)

t i A Trên  l y đi m S sao cho SB t o v i (ABC) m t góc 0

60 M t ph ng ( )P đi qua A vuông góc

v i SC và c t SB SC, l n l t t i H K, Xác đ nh tâm và bán kính

1) m t c u (S1) đi qua 4 đi m S A H K, , , 2) m t c u (S2) đi qua 5 đi m A B C K H, , , ,

Gi i :

1)Ta có CB AB CB (SAB) CB AK







M t khác, AK SC nên suy ra AK(SBC)AKSB

Nh v y K H, cùng nhìn SA d i 1 góc vuông nên tâm c a m t c u ( )S1

đi qua 4 đi m S A H K, , , là trung đi m I1 c a SA

Khi đó ( )S1 có bán kính 1 3

SA a

2) Do AK(SBC) (ch ng minh trên), suy ra AKKC

Khi đó 3 đi m B H K, , cùng nhìn AC d i m t góc vuông nên tâm c a m t c u (S 2) đi qua 5 đi m

, , , ,

A B C K H là trung đi m I 2 c a AC Khi đó (S2) có bán kính 2 2

Bài 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình ch nh t ABa BC, a 3,SA a 5 và SA vuông góc

v i m t đáy Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp

Gi i :





0 90 CBS

90 CDS

M t khác SA(ABCD)SAAC hay CAS900

90 CBSCDSCAS Ngh a là 3 đi m B D A, , cùng nhìn CS d i 1 góc vuông

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng gi ng M t c u ngo i ti p kh i đa di n thu c khóa h c:

Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng

ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

I2

I1

K H

C

B A

S

I

D

C B

A S

Do đó m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD có tâm I là

trung đi m c a SC và có bán kính :

2

a

R

Bài 3 Cho hình vuông ABCD c nh b ng a Trên đ ng th ng  vuông góc v i m t ph ng (ABCD) t i

Al y đi m S M t ph ng đi qua Avuông góc v i SC c t SB SC SD, , l n l t t i B C D 1, 1, 1

1) Ch ng minh r ng 7 đi m A B C D B C D cùng , , , , 1, 1, 1 n m trên m t m t c u Tính di n tích c a m t

c u và th tích c a kh i c u đó

2) Xác đ nh v trí c a S trên  sao cho th tích c a kh i đa di n ABCDC 1 l n nh t Tính th tích khi

đó

Gi i :

G i O là giao đi m c a AC và BD

1) Ta có CB AB CB (SAB) CB AB1







Mà AB1SC, suy ra AB1 (SCB)AB1BC1

Ch ng minh t ng t ta c ng đ c AD1D C1

ABC AC CAD C ADCABC Suy ra 7 đi m A B C D B C D , , , , 1, 1, 1 cùng n m trên m t c u

tâm O ( O là trung đi m c a AC ) và có bán kính

3 3

mc

kc

a







 





2) Trong m t ph ng (SAC) k C H1 AC (HAC), khi đó C H // SA, suy ra 1 C H1 (ABCD)

1

a

Trong tam giác vuông HC O có 1 C H1 C O1 , suy ra C H 1 l n nh t khi H O hay 1 1 2

2

a

C H C O R

Lúc đó C H 1 là đ ng trung bình trong tam giác SAC , suy ra SA2C H1 a 2

ABCDC

Bài 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là n a l c giác đ u AB BC CD a   , AD2a C nh

bên SA2a 3 và SA vuông góc v i m t ph ng đáy Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp

O

D1

C1

B1

D H

C B

A S

Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -

Gi i :

Cách 1 :

G i O là trung đi m c a AD, khi đó O là tâm c a

n a l c giác đ u ABCD Suy ra ABD vuông t i B





0

90 SBD

90 SCD

90 SBDSCDSAD

Ngh a là B C A, , cùng nhìn SD d i 1 góc vuông

Do đó tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD là

trung đi m I c a SD

Khi đó m t c u có bán kính :

2

Cách 2 :

+) G i I là tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD, khi đó :

IA IB ICIDIS hay (1)

(2)

IA IS



 

 +) G i O là trung đi m c a AD, do ABCD là n a l c giác đ u

nên ta có OA OB OC  OD hay O là tâm đ ng tròn a

ngo i ti p t giác ABCD

D ng d đi qua O và vuông góc (ABCD), khi đó d là tr c

c a đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD

T (1) suy ra I (*) d

+) Ta có d/ /SA (cùng vuông góc v i đáy) nên SA d, thu c cùng

m t m t ph ng Trong m t ph ng (SA d, )d ng đ ng trung tr c

 c a SA Khi đó, t (2) suy ra I (2*)

+) T (*) và (2*), suy ra d   I

Ta có KIOA là hình ch nh t (K là trung điêm c a SA)

2

SA

IOKA a Suy ra bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp :

RIA OA2IO2  a23a2 2a

Bài 5 Cho tam giác ABC vuông cân t i A và BCa 2 T B và C d ng các đo n BD CE, vuông

góc v i m t ph ng (ABC) v m t phía c a (ABC) sao cho BDCE Tính di n tích m t c u ngo i a

ti p hình chóp ABCED và th tích c a kh i c u đó

Gi i :

G i I là giao đi m c a DC và BE





0

90 CAD

I

E D

C B

A

d

I

K

C B

A S

I

O

D

C B

A S

Khi đó 0

90 CEDCBDCAD , ngh a là 3 đi m E B A, , cùng

nhìn CD d i 1 góc vuông, do đó m t c u ( )S ngo i ti p hình chóp

Suy ra S( )S 4R2 3a2 và

3 3 ( )

S

a

V  R 

Bài 6 Cho hình chóp t giác đ u có c nh đáy b ng a , c nh bên t o v i đáy góc 

Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp

Gi i :

+) G i I là tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD

khi đó IA IB IC ID IS    hay (1)

(2)

IA IS



 

 +) G i H là giao đi m c a AC và BD

Do S ABCD là hình chóp đ u nên SH(ABCD)

Suy ra SA ABCD, ( )SAH  

Ta có SH là tr c c a hình vuông ABCD

T (1), suy ra ISH (*)

+) Trong m t ph ng SAH d ng đ ng th ng  là trung tr c

c a SA T (2), suy ra I (2*)

T (*) và (2*), suy ra SH   I

2

a

cos 2 cos

SA

G i M là trung đi m c a SA, khi đó SMI và SHA là hai tam giác đ ng d ng nên :

2 2

SI

V y bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp là

2 sin 2

a

R SI



Bài 7 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là t giác cóABa BC, a 3,CDa 2,DA a 2,

2

AC a C nh bên SA vuông góc v i đáy và SA2a 3 Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p

hình chóp

Gi i :

+) G i I là tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD

khi đó IA IB IC ID IS    hay (1)

(2)

IA IS



 

+) Ta có

0

90





Khi đó trung đi m O c a AC là tâm c a đ ng tròn ngo i ti p

t giác ABCD Qua O d ng đ ng th ng d vuông góc v i (ABCD)

a I

M

H S

D C

d

I

O

K S

D B

A

Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 5 -

Suy ra d là tr c c a t giác ABCD và / /d SA

T (1), suy ra I d (*)

+) Trong m t ph ng (SAO) ch a SA và d , ta d ng đ ng th ng trung tr c  c a SA

T (2), suy ra I (2*) T (*) và (2*), suy ra d   I

+) Ta có KIOA là hình ch nh t (K là trung điêm c a SA) Khi đó 3

2

SA

IOKA a Suy ra bán

RIA OA IO  a  a  a

Chú ý : bài toán này ta có th ch ra B D A, , cùng nhìn SC d i m t góc vuông, suy ra tâm I là trung

2

SC

R  a

Bài 8 Cho hình l ng tr đ ng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông t i ' ' ' A và AC , a

0

60

ACB ng chéo BC ' c a m t bên (BB C C' ' ) t o v i m t ph ng (AA C C' ' ) góc 300

1) Tính th tích kh i l ng tr

2) Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ( )S ngo i ti p hình l ng tr

Gi i :

'







Ta có

2

ABC

a

Xét tam giác ABC ' vuông t i A ta có :

AC'AB.cot 300 a 3 33a

1) Suy ra

2

3 ' ' '

3

2

ABC A B C ABC

a

2) G i O O 1, 2 l n l t là trung đi m c a BC B C, ' '

Do ABC và A B C ' ' ' là các tam vuông l n l t t i A và B nên O O 1, 2 l n l t là tâm đ ng tròn ngo i

ti p các tam giác ABC và ' ' 'A B C Khi đó O O1 2 là tr c c a hai đáy

Suy ra tâm I c a m t c u ngo i ti p l ng tr là trung đi m c a O O1 2 Th t v y :



M t khác : I là trung đi m c a O O1 2 nên ICIC' (2*)

T (*) và (2*), suy ra I là tâm c a m t c u ngo i ti p l ng tr ABC A B C ' ' '

Bài 9 Cho t di n ABCD có hai m t (ABC) và (DBC)vuông góc v i nhau Bi t BC a , 0

60 BAC và BDC300 Tính bán kính và th tích c a kh i c u ngo i ti p t di n ABCD

Gi i :

*) D ng tâm

O1

O2

300

C

C' A'

B'

600

I a

B A

G i O O 1, 2 l n l t là tâm các đ ng tròn

ngo i ti p các tam giác BCD và ABC

G i E là trung đi m c a BC

Ta có O E1 BCO E1 (ABC) (do (DBC)(ABC))

T ng t ta có O E2 (BCD)

Qua O 1 d ng đ ng th ng d 1 vuông góc v i (BCD)

thì d 1 là tr c c a tam giác BCD và d //1 O E 2

Qua O2 d ng đ ng th ng d vuông g2 óc v i (ABC)

thì d 2 là tr c c a tam giác ABC và d //2 O E 1

Khi đó giao đi m I c a d và 1 d 2 chính là tâm c a m t c u ngo i ti p t đi n ABCD Th t v y :

2



    

*) Tính bán kính R c a m t c u

Ta có EO IO 1 2 là hình ch nh t, suy ra 2 2 2

IE O E O E

G i R R1, 2 l n l t là bán kính c a các đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCD và ABC , khi đó:

2

2

2

2

BC

BC





Áp d ng đ nh lý sin trong các tam giác BCD và ABC ta có :

sin

2

sin

BDC

BAC





Khi đó th tích c a kh i c u là :

3

3 3

Bài 10 Cho hình chóp đ u S ABC có đ ng cao SH h , 0

45 SAB Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp đã cho

Gi i :

+) G i I là tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD

khi đó IA IB IC ID IS    hay (1)

(2)

IA IS



 

 +) G i H là giao đi m c a AC và BD

Do S ABCD là hình chóp đ u nên SH(ABCD)

Ta có SH là tr c c a hình vuông ABCD

T (1), suy ra ISH (*)

+) Trong m t ph ng SAH d ng đ ng th ng  là trung tr c

c a SA T (2), suy ra I (2*)

450 I

M

H S

D C

O1

O2

d2

d1

E

I

D

C B

A

Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 7 -

T (*) và (2*), suy ra SH   I

+) G i M là trung đi m c a SA, khi đó SMI và SHA là hai tam giác đ ng d ng nên :

2

SI

Tam giác SAB cân t i S và có 0

45 SAB , suy ra SAB vuông cân t i S

Trong tam giác vuông SHA có :

3

h

V y bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp là 3

2

h

R

Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng Ngu n : Hocmai.vn

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N

 Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng

 Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c

 H c m i lúc, m i n i

 Ti t ki m th i gian đi l i

 Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm

 Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t

 i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam

 Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên

 Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c

Là các khoá h c trang b toàn

b ki n th c c b n theo

ch ng trình sách giáo khoa

(l p 10, 11, 12) T p trung

vào m t s ki n th c tr ng

tâm c a kì thi THPT qu c gia

Là các khóa h c trang b toàn

di n ki n th c theo c u trúc c a

kì thi THPT qu c gia Phù h p

v i h c sinh c n ôn luy n bài

b n

Là các khóa h c t p trung vào

rèn ph ng pháp, luy n k

n ng tr c kì thi THPT qu c

gia cho các h c sinh đã tr i

qua quá trình ôn luy n t ng

th

Là nhóm các khóa h c t ng

ôn nh m t i u đi m s d a

trên h c l c t i th i đi m

tr c kì thi THPT qu c gia

1, 2 tháng