Bài tập về tâm mặt cầu ngoại tiếp

Cho hình chóp S ABCD.. Tính th 1 tích khi đó... Cho hình chóp S ABCD... Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC đôi m t vuông góc... Cho hình chóp S ABCD.

Bài 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình ch nh t ABa BC, a 3,SA a 5 và SA vuông góc

v i m t đáy Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp

Gi i :

Ta có CB AB CB (SAB) CB SB





0

90 CBS

Ch ng minh t ng t ta đ c 0

90 CDS

M t khác SA(ABCD)SAAC hay CAS900

90 CBSCDSCAS

Ngh a là 3 đi m B D A, , cùng nhìn CS d i 1 góc vuông

Do đó m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD có tâm I là

trung đi m c a SC và có bán kính :

2

a

R

Bài 2 Cho hình vuông ABCD c nh b ng a Trên đ ng th ng  vuông góc v i m t ph ng (ABCD) t i

A l y đi m S M t ph ng đi qua A vuông góc v i SC c t SB SC SD, , l n l t t i B C D 1, 1, 1

1) Ch ng minh r ng 7 đi m A B C D B C D cùng n m trên m t m t c u , , , , 1, 1, 1

Tính di n tích c a m t c u và th tích c a kh i c u đó

2) Xác đ nh v trí c a S trên  sao cho th tích c a kh i đa di n ABCDC l n nh t Tính th 1 tích khi đó

Gi i :

G i O là giao đi m c a AC và BD

1) Ta có CB AB CB (SAB) CB AB1







Mà AB1SC, suy ra AB1 (SCB)AB1BC1

Ch ng minh t ng t ta c ng đ c AD1D C1

ABC AC CAD C ADCABC

Suy ra 7 đi m A B C D B C D cùng n m trên m t c u , , , , 1, 1, 1

tâm O ( O là trung đi m c a AC ) và có bán kính

TÂM BÁN KÍNH M T C U NGO I TI P

ĐÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

I

D

C B

A S

O

D1

C1

B1

D H

C B

A S

2

AC a

3 3

mc

kc

a







 





2) Trong m t ph ng (SAC) k C H1 AC (HAC), khi đó C H // SA, suy ra 1 C H1 (ABCD)

V y

1 1

2

1

ABCDC C ABCDC ABCD

a

Trong tam giác vuông HC O có 1 C H1 C O1 , suy ra C H l n nh t khi H1  hay O

2 2

a

C H C O R

Lúc đó C H 1 là đ ng trung bình trong tam giác SAC , suy ra SA2C H1 a 2

Khi đó 1 2 2 3 2

ABCDC

Bài 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là n a l c giác đ u AB BC CD a   , AD2a C nh bên

2 3

SA a và SA vuông góc v i m t ph ng đáy Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp

Gi i :

Cách 1 :

G i O là trung đi m c a AD, khi đó O là tâm c a

n a l c giác đ u ABCD Suy ra ABD vuông t i B

Khi đó DB AB DB (SAB) DB SB



0

90 SBD

Ch ng minh t ng t ta đ c 0

90 SCD

90 SBDSCDSAD

Ngh a là B C A, , cùng nhìn SD d i 1 góc vuông

Do đó tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD là

trung đi m I c a SD

Khi đó m t c u có bán kính :

2

Cách 2 :

+) G i I là tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD, khi đó :

IA IB ICIDIS hay (1)

(2)

IA IS



 



+) G i O là trung đi m c a AD, do ABCD là n a l c giác đ u

nên ta có OA OB OC  OD hay O là tâm đ ng tròn a

ngo i ti p t giác ABCD

D ng d đi qua O và vuông góc (ABCD), khi đó d là tr c

c a đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD

I

O

D

C B

A S

T (1) suy ra I (*) d +) Ta có d/ /SA (cùng vuông góc v i đáy) nên SA d, thu c cùng

m t m t ph ng Trong m t ph ng (SA d, )d ng đ ng trung

tr c  c a SA Khi đó, t (2) suy ra I (2*) +) T (*) và (2*), suy ra d   I

Ta có KIOA là hình ch nh t (K là trung điêm c a SA)

2

SA

IOKA a Suy ra bán kính m t c u ngo i

ti p hình chóp :

RIA OA2IO2  a23a2 2a

Bài 4 Cho tam giác ABC vuông cân t i A và BCa 2 T B và C d ng các đo n BD CE, vuông góc v i m t ph ng (ABC) v m t phía c a (ABC) sao cho BDCE Tính di n tích m t c u ngo i a

ti p hình chóp ABCED và th tích c a kh i c u đó

Gi i :

G i I là giao đi m c a DC và BE





0

90 CAD

90 CEDCBDCAD , ngh a là 3 đi m E B A, , cùng

nhìn CD d i 1 góc vuông, do đó m t c u ( )S ngo i ti p hình chóp

ABCED có tâm I là trung đi m c a DC và bán kính :

Suy ra S( )S 4R2 3a2 và

3 3 ( )

S

a

Bài 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là t giác có

ABa BCa CDa DA a AC a C nh bên SA

vuông góc v i đáy và SA2a 3 Xác đ nh tâm và bán kính m t

c u ngo i ti p hình chóp

Gi i :

+) G i I là tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD

khi đó IA IB IC ID IS    hay (1)

(2)

IA IS



 

+) Ta có

d

I

K

C B

A

S

I

E D

C B

A

d

I

O

K S

D

C B

A

2 2 2 2 2 2

0

90

ABC ADC





Khi đó trung đi m O c a AC là tâm c a đ ng tròn ngo i ti p

t giácABCD Qua O d ng đ ng th ng d vuông góc v i (ABCD)

Suy ra d là tr c c a t giác ABCD và d/ /SA

T (1), suy ra I (*) d

+) Trong m t ph ng (SAO) ch a SA và d , ta d ng đ ng th ng

trung tr c  c a SA

T (2), suy ra I (2*) T (*) và (2*), suy ra d   I

+) Ta có KIOA là hình ch nh t (K là trung điêm c a SA)

2

SA

IOKA a Suy ra bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp :

RIA OA2IO2  a23a2 2a

Chú ý : bài toán này ta có th ch ra B D A, , cùng nhìn SC d i m t góc vuông, suy ra tâm I là trung

2

SC

R  a

Bài 6 Cho hình l ng tr đ ng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông t i A và AC , a

0

60

ACB ng chéo BC c a m t bên ' (BB C C' ' ) t o v i m t ph ng (AA C C' ' ) góc 0

30

1) Tính th tích kh i l ng tr

2) Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ( )S ngo i ti p hình l ng tr

Gi i :

'







Ta có

2

ABC

a

ABAC a S  AB AC a a

Xét tam giác ABC vuông t i ' A ta có :

AC'AB.cot 300 a 3 33a

1) Suy ra

2

3 ' ' '

3

2

ABC A B C ABC

a

2) G i O O l1, 2 n l t là trung đi m c a BC B C, ' '

Do ABC và A B C là các tam vuông l' ' ' n l t t i A và B nên O O l1, 2 n l t là tâm đ ng tròn ngo i

ti p các tam giác ABC và A B C' ' ' Khi đó O O1 2 là tr c c a hai đáy

Suy ra tâm I c a m t c u ngo i ti p l ng tr là trung đi m c a O O1 2 Th t v y :

IA IB IC

I O O



M t khác : I là trung đi m c a O O1 2 nên ICIC' (2*)

O1

O2

300

C

C' A'

B'

600

I a

B A

T (*) và (2*), suy ra I là tâm c a m t c u ngo i ti p l ng tr ABC A B C ' ' '

Bài 7 Cho t di n ABCD có hai m t (ABC) và (DBC)vuông góc v i nhau Bi t BC , a 0

60 BAC và BDC300 Tính bán kính và th tích c a kh i c u ngo i ti p t di n ABCD

Gi i :

*) D ng tâm

G i O O l1, 2 n l t là tâm các đ ng tròn

ngo i ti p các tam giác BCD và ABC

G i E là trung đi m c a BC

Ta có O E1 BCO E1 (ABC) (do (DBC)(ABC))

T ng t ta có O E2 (BCD)

Qua O d1 ng đ ng th ng d vuông góc v i 1 (BCD)

thì d là tr c c a tam giác BCD và 1 d //1 O E 2

Qua O2 d ng đ ng th ng d vuông góc v i 2 (ABC)

thì d là tr c c a tam giác ABC và 2 d //2 O E 1

Khi đó giao đi m I c a d và 1 d chính là tâm c a m t c u ngo i ti p t 2 đi n ABCD Th t v y :

2



    

*) Tính bán kính R c a m t c u

Ta có EO IO là hình ch nh t, suy ra 1 2 IE2 O E1 2O E2 2

G i R R1, 2 l n l t là bán kính c a các đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCD và ABC , khi đó:

2

2

2

2

BC

O E O C EC R

BC



 

  



Áp d ng đ nh lý sin trong các tam giác BCD và ABC ta có :

2 2

sin

2

sin

BDC

BAC





Khi đó th tích c a kh i c u là :

3

3 3

Bài 8 Cho hình chóp đ u S ABC có đ ng cao SH h , 0

45 SAB Xác đ nh tâm và bán kính m t c u

ngo i ti p hình chóp đã cho

Gi i :

O1

O2

d2

d1

E

I

D

C B

A

+) G i I là tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp

S ABCD

khi đó IA IB IC ID IS    hay

(1) (2)

IA IS



 



+) G i H là giao đi m c a AC và BD

Do S ABCD là hình chóp đ u nên SH(ABCD)

Ta có SH là tr c c a hình vuông ABCD

T (1), suy ra ISH (*)

+) Trong m t ph ng SAH d ng đ ng th ng  là trung

tr c

c a SA T (2), suy ra I (2*)

T (*) và (2*), suy ra SH   I

+) G i M là trung đi m c a SA, khi đó SMI và SHA là hai tam giác đ ng d ng nên :

2

SI

Tam giác SAB cân t i S và có SAB450, suy ra SAB vuông cân t i S

t SA x , khi đó : ABx 2 và 3 6

Trong tam giác vuông SHA có :

3

h

V y bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp là 3

2

h

R

Bài 9 Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC đôi m t vuông góc G i G là tr ng tâm c a tam giác ABC

và I là tâm c a m t c u ngo i ti p t di n SABC

1) Nêu cách d ng tâm I 2) Ch ng minh ba đi m S,G,I th ng hàng và tính t s GI

GS

Gi i

1) G i I là tâm c a m t c u ngo i ti p

t di n SABC c n d ng khi đó

ISIAIBIC IS IB IC (1)

IS IA (2)

  

  



G i O là trung đi m c a BC

Do tam giác SBC vuông t i S nên

O là tâm đ ng tròn ngo i ti p SBC

T O d ng đ ng th ng d sao cho d(SBC)

Suy ra d là tr c c a tam giác SBC

và d / /SA (do SA(SBC))

450 I

M

H S

D C

G

d

I

O

M

C A

S

Trong m t ph ng (d,SA) d ng đ ng trung tr c  c a SA

Khi đó, t (2) I (2*)

T (*) và (2*), suy ra d   I

2) M t khác SOIM là hình ch nh t (v i M là trung đi m c a AS ), do đó 1 1

IO

AS

Trong m t ph ng ( ,d SA), g i AO SI  G' Áp d ng đ nh lý Ta – lét ta có:

' ' 1 ' 2 ' '

G O G I IO

G AG S  AS     là tr ng tâm tam giác ABCG' G

V y ba đi m S G I, , th ng hàng và ta có ' 1

GI G I

GS G S  hay 1

2

GI

GS 

Bài 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a C nh bên SA vuông góc v i

m t đáy ABCD và SA a G i E là trung đi m c a CD Tính di n tích m t c u đi qua b n đi m

, , ,

S A B E

Gi i:

 G i I là tâm c a m t c u đi qua b n đi m S A B E, , ,

Khi đó: IS IA IB IE   (1)

(2)

IA IB IE

IS IA





 G i F là trung đi m c a AB và O là tâm đ ng tròn

ngo i ti p tam giác EAB Do EAB cân t i E nên OEF

D ng đ ng th ng d qua O và vuông góc (EAB)

Suy ra d là tr c c a tam giác EAB

Theo (1)  (*) I d

 Ta có / /d SA (do SA(ABCD)(EAB))

Trong m t ph ng (SA d, ) d ng đ ng th ng

trung tr c  c a SA Theo (2)  (2*) I

T (*) và (2*), suy ra d   I

2

a

ABa AEBE Áp d ng công th c

4

abc R S

 , ta có:

4

2

ABE

a

OA

a S

AKIO là hình ch nh t (v i K là trung đi m c a SA) nên

SA a

IOKA 

Suy ra di n tích m t c u c n tính là:

2

2 41 4

16

mc

a

d

K

F

E

S

O

D I

C B

A