Bài soạn Mặt cầu ngoại tiếp

Có tồn tại mặt cầu nào đi qua các đỉnh của hình chóp hay không?. Nếu có hãy nêu cách xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó ?... Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ • Định nghĩa

Hân hạnh đ ợc đón tiếp quí thầy cô và các em học sinh tham dự buổi học hôm nay

Vấn đề 1

• Cho mặt cầu S(O;R)_ Rỏ ràng ta có thể dựng

một hình chóp có các đỉnh thuộc mặt cầu S Thử nêu cách dựng hình chóp đó ?

• Hỏi : Cho tr ớc một hình chóp S.A1A2 An Có tồn tại mặt cầu nào đi qua các đỉnh của hình chóp hay không ? Nếu có hãy nêu cách xác

định tâm và bán kính của mặt cầu đó ?

$3 Mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp và lăng trụ

• Định nghĩa :

– Một mặt cầu đ ợc gọi là ngoại tiếp hình

chóp (hoặc lăng trụ ) nếu nó đi qua mọi

đỉnh của hình chóp đó (hay lăng trụ đó).

@ Ph ơng Pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp (hay lăng trụ)

• Đối với hình chóp S.A1A2 An

– Dựng trục d của đ ờng tròn ngoại tiếp đa giác đáy

A1A2 An.

– Chọn cạnh bên SAi (i=1 n) bất kì, và dựng mặt phẳng trung trực (P) của SAi

– Khi đó giao điểm I của d và (P) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

• Chú ý : Khi hình chóp có một cạnh bên và trục d cùng nằm trong

- - - - -** * * - - -

@ Ph ơng Pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp (hay lăng trụ)

• Đối với lăng trụ đứng A1A2 AnA’1A’2…A’n .

– Dựng trục d của đ ờng tròn ngoại tiếp đa giác đáy

A1A2 An.

– Chọn cạnh bên AiA’i (i=1 n) bất kì, và dựng đ ờng trung trực ∆ của AiA’i , (trong mp(d, AiA’i ) )

– Khi đó giao điểm I của d và ∆ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ

- - - - -* * * - - -

Tập làm thám tử Sêlôc_hô để khám phá

những Tính chất thú vị sau !

• Điều kiện đủ để một hình chóp nội tiếp đ ợc là

gì ?

• Điều kiện đủ để một hình lăng trụ nội tiếp đ ợc

là gì ?

• Một hình chóp cụt có thể nội tiếp trong một

mặt cầu hay không ? Điều kiện đủ để một

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O,

cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 4a Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

–Giải:

Trong tam giác SAO, kẻ đ ờng trung trực của cạnh

SA cắt SO tại .

tròn (ABCD), suy ra:

A = B = C = D (1)

• Mặt khác  thuộc đ ờng trung trực của SA nên:

A = S (2)

• Từ (1) và (2), ta suy ra  là tâm của mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R = S

góc ASO chung), suy ra:

I

O

A D

S

w

S SA.

SA SO SO



    SO SA 2 OA 2 16a 2 a 22 14a 2 a 14

7

a 14

Với ra: R

Hình vẽ

Ví dụ 2 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ ,có cạnh

đáy bằng a, AA’=2a Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’.

• Gọi O và O’ lần l ợt là trọng tâm của tam giác ABC và

A’B’C’ Do hình lăng trụ là đều, suy ra OO’ vuông

góc với 2 đáy,do đó OO’ cũng là trục của đ ờng tròn

ngoại tiếp 2 đáy

• Gọi I là trung điểm của AA’,  là hình chiếu của I

trên OO’ thì I là trung trực của AA’ (do AA’//OO’),

do đó: A = A’ (1)

• Mặt khác, I thuộc trục OO’ nên:

A= B = C và A’ = B’ = C’ (2)

• Từ (1) và (2) suy ra  là tâm của Mặt cầu ngoại tiếp

Thö søc : Ai nhanh h¬n ?

cÇu ( néi tiÕp ® îc trong mét mÆt cÇu).