BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM CÓ 13 NHIỀU CÁCH GIẢIBài toán: Tính 1 sin... Cách 8: phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần... Xét nguyên hàm phụ 1 sin.
Trang 1BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM CÓ 13 NHIỀU CÁCH GIẢI
Bài toán: Tính 1 sin
x
x
x
Bài giải:
Cách 1: (tách, dùng nguyên hàm từng phần)
x
x
x
Đặt
2
dv e dx v e
sin
x x
Từ (1) và (2) ta có: sin
x
x
x
Cách 2: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần)
x
Trang 2
1 cos
x
e dx x
2
1 cos
x
x
e dx x
1 cos
x
e dx x
2
1 cos
sin
x
x
e dx x
sin
x
x
e dx x
Xét
2
sin
x
e dx x
'
e dx e d
1 cos 1 cos
Từ (1) và (2) ta có: 1 cos
sin
x
x
x
Cách 3: (phương pháp tách, phương pháp nguyên hàm từng phần)
x
Trang 3
1 cos
x
e dx x
Đặt 1
2
1 sin
x
x
sin
x
cox
x
sin
x
x
4
cos
sin
x
x
x
Ta có:
1
sin
x
4
cos
sin
x
3
x
2
cos
x
e
x
Trang 4Vậy ta có: I I1 I2 I3 I4 I1 I4 I3 I2
1 cos
x
Suy ra 1 cos
sin
x
x
x
* Chú ý: Kết quả ở cách 4 và cách trước đều đúng!
2
1 cos
2
x
Cách 4: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần)
Ta có
2
2
2
2 tan
2 1
2 1
2
x
x x
x
2
2
x
e dx
Trang 5
e d d e
Suy ra tan
2
I e C
Cách 5: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần)
Ta có :
Xét nguyên hàm
2
x
e dx x
x
e dx x
2
x
e dx x
Trang 6e dx e d
Từ (1) và (2) ta được : sin
x
x
x
Cách 6: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần)
Xét
2
1
2 cos
2
x
sin 2
cos 2
x
x
2
2 sin cos
2 cos
2
x
sin
x
Trang 7Từ (1) và (2) ta có: tan
2
I e C
* Chú ý: Kết quả ở cách 4 và cách trước đều đúng!
2
Cách 7: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần)
2 sin cos
x
x
e
e d d e
e d e e d
Suy ra: tan
2
I e C
Cách 8: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần)
Trang 8Ta có
2
2 cos
2
x
2
2
2
2 cos
2
x
x
2
cos 2
x
tan tan
e d d e
e d e e d
Suy ra: tan
2
I e C
Cách 9: (dùng nguyên hàm từng phần hai lần)
Đặt
2
Trang 9
dx x
dv e dx v e
Ta có
x
Xét
sin
x
x
x
Đặt u e x du e dx x ;
x
x
Từ (1) và (2) ta có: sin
x
x
Trang 10Cách 10: (phương pháp hệ số bất định)
Ta xác định hệ số a, b, c sao cho:
'
Ta có:
'
x
e x
x
e x
x
e x
2 2
x
e x
2 2
x
e x
x
e x
2 2
cos
x
e x
Trang 11
Vậy ta chọn a, b, c sao cho :
Thay vào (1) ta được:
'
Vậy
'
x
x
x
sin
x
x
x
Cách 11: (dùng nguyên hàm phụ)
Ta có
2
2 cos
2
x
Xét nguyên hàm phụ
2
x
x
Trang 12Ta có:
2
1
2 cos
2
x
2
2 sin cos
2 cos
2
x
x
d e e e d
Từ (1) và (2) ta có:
2
x
x
Suy ra tan
2
I e C
Cách 12: (dùng nguyên hàm phụ)
Ta có 1 sin
x
x
x
Trang 13Xét nguyên hàm phụ 1 sin
x
x
x
Ta có:
2
cos 2
2
2 sin cos
2 cos
2
x
2 tan
2
x
x
e dx
Từ (1) và (2) ta có:
2 tan
2
x
x
Suy ra tan
2
I e C
Cách 13: (dùng tính chất của nguyên hàm)
Trang 14Mà
2
Nên ta có:
'
Vậy
'
'
Tác giả bài viết: Trần Tuấn Anh
Mail: TranTuanAnh858@gmail.com