Đồng biến trong từng khoảng xác định của nó b... a CMR tích khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là một hằng số.. a CMR tích khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là một hằng số... a Khảo sát sự bi
Trang 1BàI TậP HàM Số
Bài toán 1: Tính đạo hàm bằng công thức
Tính đạo hàm của các hàm số sau (hàm đa thức,phân thức,căn thức)
1.y=x3 − 2x+ 1 2 3
2
2 5 − +
= x x
10
x x
y= + 4.y= (x3 + 2 )(x+ 1 )
5.y= 5x2 ( 3x− 1 ) 6.y= (x2 + 5 ) 3 7.y= (x2 + 1 )( 5 − 3x2 ) 8.y=x( 2x− 1 )( 3x+ 2 )
) 3 ( ) 2 )(
1
= x x x
1
2
2 −
=
x
x
4 2
5 6
2 2
+
+
−
=
x
x x
1
3 5
−
=
x x
x y
13.y= x2 + 6x+ 7 14.y= x− 1 + x+ 215.y= (x+ 1 ) x2 +x+ 1 16
1 2
3 2 2
+
+
−
=
x
x x y
Tính đạo hàm của các hàm số sau (hàm lợng giác, hàm mũ, hàm lôgarit )
17 y= 3 sin 2 x sin 3x18.y= ( 1 + cotx) 2 19 y= cosx sin 2 x 20.
x
x y
sin 2
sin 1
ư
−
+
=
21
x x
x x
y
cos sin
cos sin
−
+
2 sin 4 x
4 2 ( cot 3 +Π
25
2 cos 1
y = + 26 ( 1 sin 2 2 ) 2
1
x
y
+
= 27.y=e x(sinx−cosx) 28.y= (x2 − 2x+ 3 ).e x
29 x x x x
e e
e e
+
−
= 30.yư = 2x + 3x 31.y=x2 lnx 32.y =xΠ Πx
33
3
4 ln
−
−
=
x
x
y 34.y= ln(x+ x2 + 1 )35.y= ln(x2 + 1 ) + (lnx) 236.y= lntgx + cotx
Tính đạo hàm của các hàm số
d cx
b ax y
+
+
=
e dx
c bx ax y
+
+ +
= 2
p nx mx
c bx ax y
+ +
+ +
= 22
áp dụng để tính nhanh đạo hàm của các hàm số sau:
1 2
4 3
+
−
+
=
x
x
y
1 2
2 2
−
− +
−
=
x
x x
y
3 2
4 3 2
2
+ +
+
−
=
x x
x x y
Bài toán 2:sự biến thiên của hàm số
Tìm các khoảng đồng biến,nghịch biến và lập bảng biến thiên của các hàm số sau:
37.y=x3 − 3x+ 4 38 y= 4x3 − 3x4 40 y=x3 −x2 +x
41 y= 0 , 25x4 + 2x2 − 5 42.y =x4 − 5x2 + 4 43 y=x4 −x2 + 1 44
1 2
4 3 2
=x x x
y 45.y= − 6x4 + 8x3 − 3x2 + 2 46 y=x4 − 2x2 + 6
47
x
x x
y
−
+
=
1
2
48
1
5
+
+
=
x
x
1
4 2 2
2
−
+
−
=
x
x x
y 50
1
1 1
− + +
=
x x
4
4 x 1 x
y= + − 52
1
2 +
=
x
e y
x
53 y= (x2 − 3x+ 1 ).e−x 54.y= lnx −
1
1
−
55 y= 2 +x+x2 56.y= 3 x2 (x− 5 ) 57.y= 3x− 1 + 3x+ 1 58.y=x+ 2 −x2
sin
1 < < Π
x
y 60 y= 5 cosx− cos 5x trên −Π4 ;Π4
2
2 < < Π +
= x x x
15
1
x x
y= + − với x∈ Π0 ; 2
63.y= 2 cos 2x+ 4 sinxvới x∈ Π0 ; 2
64.Tìm m để hàm số :y=x3 +3mx2 +(m-2)x-m đồng biến trên R?
Trang 265.Tìm a để hàm số :y=a x (a 1 )x ( 2a 1 )x
3
−
luôn đồng biến 6.Tìm m để hàm số :
2
3
+ +
+
=
mx x
mx
y nghịch biến trong từng khoảng xác định của nó 67.Tìm m để hàm số :
m x
m mx y
+
+
−
=2 10 nghịch biến trong từng khoảng xác định của nó
68.Tìm m để hàm số :
1
1 2 2
−
−
−
=
x
mx x
y đồng biến trong từng khoảng xác định của nó 69.Tìm m để hàm số :
m x
m mx x
y
−
+ +
−
= 2 2 2đồng biến trong từng khoảng xác định của nó
70.Tìm m để hàm số :
1
3
2 2
−
+
−
=
x
m x x y
a Đồng biến trong từng khoảng xác định của nó
b. Đồng biến trên (3;+ ∞ )
71.Tìm m để hàm số:
m x
m x m x
y
−
+ +
− +
= 2 2 (1 ) 1 Đồng biến trên (1;+ ∞ )
72 Tìm a để hàm số :y= x (a 2 )x ax 3a
3
+
−
− +
−
luôn nghịch biến trên (1;+ ∞) 73.Tìm m để hàm số :
m x
m mx x y
−
+ +
= 2 đồng biến với x<-1
74.Tìm m để hàm số :
1 2
2
+
−
+ +
=
x x
x x m
y nghịch biến trên (0;1)
bài toán 3: điểm tới hạn,cực đại,cực tiểu
Tìm điểm tới hạn,khoảng đồng biến nghịch biến,cực đại,cực tiểu và lập bảng biến thiên của các hàm số sau:
75. y=x3 − 2x2 + 1 76 y=x3 −x2 +x 77 y = − 6x4 + 8x3 − 3x2 + 2 78
1
4 2 2
2
−
+
−
=
x
x x y
79
1 2
4
−
−
=
x
x
y 80
1
1 1
− + +
=
x x
1 2
31 2
−
− +
−
=
x x
2
2
−
− +
=
x x y
Tìm điểm tới hạn ,cực đại,cực tiểu bằng dấu hiệu 2 của các hàm số sau:
83.y=e x + 4e−x 84 y=x2e x 85 y=e x −x− 1 86 87 y= ln( 1 +x) −x
88 y=x+ sinx 89 y= sin 2x−x 90 y= sin 2x+ cos 2x 91.y= sin 2 x
92.Tìm m để hàm số : y=(m+2)x3 +3x2 +mx-5
acó CĐ,CT
b.có CĐ,CT nằm về 2 phía của 0y
c có 2 điểm CĐ,CT sao cho hoành độ 2 điểm này đều nhỏ hơn 1
d. có 2 điểm CĐ,CT sao cho hoành độ 2 điểm này thoả mãn : x CD −x CT = 1
3
− x ax ax x a
có 2 cực trị với hoành độ dơng.Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 diiểm cực trị
94 Tìm m để hàm số : y=mx4 +(m2-9)x2 +10 có 3 điểm cực trị
95.CMR với mọi m đồ thị hs sau luôn có CĐ và CT
m x
mx x y
+
+ +
= 2 1
96 CMR với mọi m đồ thị hs sau luôn có CĐ và CT
m x
m mx x
y
−
+ +
−
= 2 2 2 1.Tìm tổng các tung độ của chúng
Trang 397 CMR với mọi m đồ thị hs
1
1 )
1 ( 2
+
+ + + +
=
x
m x m x
chúng bằng 20
98 CMR với mọi m đồ thị hs sau luôn có CĐ và CT
m x
m x m m x y
−
+
−
− +
= 2 ( 2 1) 4 1.Tìm m để điểm CĐ thuộc góc phần t thứ nhất
99.Tìm m để đồ thị hs :
m x
m mx x y
−
− + +
= 2 2có 2 điẻm cực trị nằm về 2 phía đối với Oy.CMR khi đó
2 cực trị nằm về cùng một phía đối với Ox
100 Tìm m để đồ thị hs :
1
2 2
2
− +
+ +
−
=
m x
m x x
y có 2 điẻm cực trị nằm về 2 phía đối với Ox
101 Tìm m để đồ thị hs :
m x
m x x y
−
+ + +
= 2 2 3có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất
102 Tìm m để đồ thị hs :
1
2 2 2
+
+ +
=
x
mx x
y có 2 điểm cực trị và 2 điểm đó cách đều đờng thẳng x+y+2=0
103 CMR với mọi m đồ thị hs
2
3 2 2
+
− + +
=
x
m mx x
y luôn có CĐ và CT.Tìm m để 2 điểm cực trị đối xứng nhau qua đờng thẳng x+2y+8=0
104.Cho hàm số y= − 2x+ 2 +m x2 − 4x+ 5.Tìm m để hàm số có CĐ
105 Cho hàm số y=mx+ x2 − 2x+ 2
a) Tìm m để hàm số có CT
b) CMR hàm số không có CĐ với mọi m
106 Tìm m để đồ thị hs 1(C)
x mx
y= + có cực trị và khoảng cách từ điểm CT đến tiệm cận xiên của nó bằng
2 1
bài toán 4: gtln,gtnn của hàm số
Tìm GTLN,GTNN của các hàm số sau trên các đoạn đã chỉ ra:
107
1
1
2 +
+
=
x
x
y trên [ ]1 ; 2 108.y= − 5 x4 trên [− 2 ; 3]
109 y= ( 3 −x) x2 + 1 trên [0 ; 2] 110.y=x+ − 4x+ 5 trên [− 1 ; 1]
111 y= x− 1 + −x+ 9 trên [3 ; 6] 112 y=x+ 4 −x2 113 y=x+ a−x2 (a> 0 )
114 y=x2 − 2x+m trên [− 1 ; 2] 115 y= 4 x + 41 x− 116 y=e−x cosxtrên [0 ; Π]
115 y x x sin 3x
3
1 2 sin 2
1
= trên [0 ; Π] 117 y = sin 2x−x trên −Π2 ;Π2
118.y= 5 cosx− cos 5xtrên −Π4 ;Π4 119.y= 2 cos 2x+ 4 sinxvới x∈ Π0 ; 2
120 y=x− sin 2 x với x∈ Π0 ; 2 121.y x sin 3 x
3
4 sin
= với x∈ Π0 ; 2
122 y= 2 sin 8 x+ cos 4 2x 123
x x
cos 1
2 cos
1
− +
= 124 y= sin 4 x+ cos 4x+ sinx+ cosx+ 1
cos
1 cos
x x
y 126 y= − sin 2 x+ 2 cos 2 x− 3 3 cosx+ 5
Trang 4127 1 3 1 1
2
+ + +
+
=
x
x x
x
y 128
x
y y
x x
y y
x x
y y
x y x
2 2
2 4
4 4
4
2 )
; (
129.Cho phơng trình :x2+(2a-6)x+a-13=0.Tìm a∈[1 ; +∞] để nghiệm lớn nhất của pt đạt GTLN 130.Cho phơng trình : 2 + + 42 =0(a≠0)
a ax
x Hãy tìmcác giá trị của a để biểu thức
2
4
x + đạt GTLN
* ứng dụng GTLN,GTNN để biện luận số nghiệm của phơng trình và bất phơng trình
Hãy tìm giá trị của tham số để các pt sau có nghiệm:
131.x3 − 3x=mtrên [− 2 ; 3] 132 x2 − 6 lnx=m 133 m= 2x−x2
134 = + − 2 +
4 x x
m x −x2 + 4 135 m−x= x2 − 6x+ 6 136 2
x x x
137 x+ 1 + −x+ 3 − (x+ 1 )( 3 −x) =m 138 6 = m+ 4x2 +x4 + 4 m+ 4x2 +x4
3 2
3 x+ x+ − m− = trên [1 ; 3 3]
bài toán 5: khoảng lồi lõm và điểm uốn
Tìm các khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số sau:
140 y= −x3 +x2 − 2x− 1 141
1
1 4 2
+
+ +
−
=
x
x x
y 142.y= − 5 x4 143.y=x2 lnx 144
x
x e
e
y= + 4 − 145 4 22
10
x x
y= + 146.y=sinx với x∈[0 ; 2 Π]
147.y=cos2x+x2 với x∈(0 ; Π)
Tìm giá trị của tham số để đồ thị có điểm uốn thảo mãn đk cho trớc :
148 y=x3 −ax2 +bx− 2có điểm uốn là I(2/3;-3)
149 y= x4 +ax2 −b
4
1
có điểm uốn trên Ox
150 y=x4 − 2x3 − 6x2 +mx+ 2m− 1 có điểm uốn thẳng hàng với A(1;-2)
151 y=ax3 +bx2 +x+ 1 có điểm uốn là I(1; -2)
152.Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hs sau không có điểm uốn
y=x4 − 2mx3 + 6mx2 + (m+ 1 )x− 4 không có điểm uốn
bài toán 6: giới hạn và tiệm cận của đồ thị hàm số
Tìm tiệm cận và các nhánh vô cực của đồ thị các hs sau:
153
1 2
4
−
−
=
x
x
1
1 1
− + +
=
x x
1 2
31 2
−
− +
−
=
x x
2
2
−
− +
=
x x
1
4 2 2
2
−
+
−
=
x
x x
1 6
1 2 2
2
2
+ +
−
− +
=
x x
x x
1
4 2 2
2
−
+
−
=
x
x x
2 3
1 2
2
+
−
+ +
=
x x
x x
1
2 1
+ + +
=
x x
1
1 +
−
=
x
x x y
2 2
1 4
+ +
− + +
=
x x
x x
3 4
1
2 − +
=
x x
y y= x2 − 2x− 3 y= 3 3x2 −x3
154.Tuỳ theo m hãy biện luận số tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
2
2 6 2
+
− +
=
x
x mx
y
m x x
x y
+
−
+
=
4
2
2
21
1
+
−
=
mx
x y
155.Tìm diều kkiện của m để đồ thị hs
1
3
2 2
−
+
−
=
x
mx x
y có tiệm cạn xiên và tiệm cận xiên đi qua gốc toạ độ
Trang 5156.Cho hàm số :
2
5 4 2
−
− +
−
=
x
x x
y Tìm điều kiện của m để đths có tiệm cận trùng với các tiệm cận của đths
2
5 4 )
4
2
− +
−
− +
−
−
−
=
m x
m m x m x y
bài toán 7: sự tơng giao của hai đồ thị hàm số
157.Cho hàm số y=(x-1)(x2+mx+m).Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
158 Cho hàm số y=x3-3x2(C).Tìm m để đờng thẳng y=mx cắt đồ thị(C) tại 3 điểm phân biệt trong
đó có 2 điểm có hoành độ dơng
159.Cho hàm số
1
2
−
+ +
=
x
m x mx
y Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dơng
160.Cho hàm số
2
4 2 2
−
+
−
=
x
x x
y (C) Tìm m để đờng thẳng d: y=mx+2-2m cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị
161.Cho hàm số
1
2 +
−
=
x
x
y và d là đờng thẳng đi qua A(0;-1) có hệ số góc k.Tìm m để d cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị
162 Cho hàm số
1
1 2
−
− +
=
x
mx x
y Tìm m để đồ thị hàm số cắt d: y = m tại hai điểm A,B sao cho
OA⊥OB
163.Cho hàm số
1
1 2
−
− +
=
x
x x
y Tìm m để d: y=-x+m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt,khi đó CMR 2 điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị
164.Cho hàm số
1
2 +
−
=
x
x
y CMR đồ thị hàm số luôn cắt d: y=2x+m tại 2 điểm phân biệt A và B
thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị, tìm m để độ dài AB ngắn nhất?
165.Cho hàm số y =x3 − ( 2m+ 1 )x2 − 9x.Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng
166.Cho hàm số y=x4 −mx2 +m− 1 Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng
bài toán8: bài toán tiếp tuyến
Dạng 1: Viết PTTT khi biết tọa độ tiếp điểm (Viết PTTT tại một điểm)
167.Cho hàm số y= f(x) = 2x3 + 3x2 − 2 (C)Viết PTTT với (C):
a) Tại M(0;-2) b)Tại điểm N có hoành độ bằng -1 c)Tại điểm P có tung độ bằng -2
d) Tại điểm uốn của đồ thị e) Tại các điểm cực trị của đồ thị (C)
2
3 3 2
1 )
f
y= = − + Viết PTTT với (C) tại các điểm uốn của nó 169.Cho hàm số ( ) 3 3 2 ( )
C x x x f
a)Viết PTTT với(C) tại điểm uốn
b)Tìm các điểm chung khác tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) nếu có
c) CMR trong các tiếp tuyến với đồ thị , tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất
170.Cho hàm số:y=f(x)=2x3-3x2 +9x-4(C).Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau :
a) y=7x+4 b) y=-x2+8x-3 c) y=x3- 4x2+6x-7
171 Cho hàm số(C):y= f(x) = 2x4+mx2 – (m+1)(C).Biết A là điểm thuộc đồthị có hoành độ
âm.Tìm m để tt tại A song song với đờng thẳng y=2x
Trang 6172 Cho hàm số(C):y= f(x) = x3- 3x.Tìm m để đờng thẳng y=m(x+1)+2 cắt đồ thị tại 3 điểm A,B,C sao cho tt tại B,C vuông góc với nhau(A là điểm cố định)
173 Cho hàm số y= f(x) =x3 − 3x2 + 1 (C).Gọi I là điểm uốn của đồ thị, d là đờng thẳng đi qua I với hệ số góc k.Biết rằng d cắt đồ thị trên tại 3 điểm A,B,I.CMR tt của (C) tại A,B song song với nhau
Dạng 2: Viết PTTT khi biết trớc hệ số góc (Biết phơng của tt)
174 Cho hàm số(C):y= f(x) = -x3+3x2 - 4x+2.Viết PTTT của (C) biết tt vuông góc với đờng thẳng 3
4
1
+
= x
y
175 Cho hàm số(C):y= f(x) = -x3+ 3x+1.Viết PTTT của (C) biết tt song song với đờng thẳng y=- 9x+1
4
1 )
f
y = = − + CMR từ điểm A(7/2;0) có thể kẻ đợc 2 tt của đồ thị (C) và 2tt này vuông góc với nhau
177.Cho hàm số
1
2 2 2
+
+ +
=
x
x x
y (C) CMR từ điểm A(1;0) có thể kẻ đợc 2 tt của đồ thị (C) và 2tt này vuông góc với nhau
178.Cho hàm số (C) :y= f(x) = x3- 3x2.Viết PTTT của (C) biết tt vuông góc với đờng thẳng y=1/3x
179 Cho hàm số(C):y= f(x) = x3 - 3x2+1.Viết PTTT của (C) biết tt song song với đờng thẳng y=9x+2007
180 Cho hàm số(C):y= f(x) = x3 - 3x+7 Viết PTTT của (C) biết tạo với đờng thẳng y= 2x+3 một góc bằng 45 ο
181 Cho hàm số
1
2 2 2
+
+ +
=
x
x x
y (C).Viết PTTT với (C) biết tt vuông góc với tiệm cận xiên
Dạng3: Viết PTTTbiết tt đi qua một điểm cho trớc)
182 Cho hàm số(C):y= f(x) = x3 +3x2+1.Viết PTTT của (C) biết tt đi qua gốc toạ độ
183 Cho hàm số(C):y= f(x) = x3 - 3x2+2.Viết PTTT của (C) biết tt đi qua điểm A(0;3)
184.Tìm điểm N thuộc đồ thị hs (C) :y= f(x) = 2x3 +3x2-12x-1 sao cho tt tại N đi qua gốc tọa độ
185 Cho hàm số
2
2 3
+
+
=
x
x
y (C).CMR không có tt nào của đồ thị đi qua giao điểm của 2 đờng tiệm cận
4
1 )
f
y= = − Cho M là điểm nằm trên đồ thị có hoành độ bằng
3
2 ,viết ptđt d đi qua M và là tt của (C)
187 Cho hàm số
1
2
−
+
−
=
x
m mx x
y (C).Tìm m sao cho 2 tt kẻ từ O đến đồ thị vuông góc với nhau
188 Cho hàm số
2
2
−
+
=
x
x x
y (C),(d) là đờng thẳng đi qua B(0;b) và song song với tt của (C) tại O.Xác định b để (d) cắt (C) tại 2 điểm M,N
Dạng 4:Tìm điểm thuộc đờng thẳng d mà từ đó kẻ đợc n tiếp tuyến đến đồ thị(C)
189.Cho hàm số
1
1 2
+
−
−
=
x
x x
y (C).Tìm tất cả các điểm M trên trục tung sao cho từ đó kẻ đợc 2 tt
đến đồ thị(C)
Trang 7190.Cho hàm số :y= f(x) = x3+3x2(C).Tìm tất cả các điểm nằm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ đợc
3 tt đến đồ thị (C),trong đó có 2 tt vuông góc
191 Cho hàm số :y= f(x) = -x3+3x2 -2(C).Tìm tất cả các điểm nằm trên đờng thẳng x=2 sao cho từ
đó kẻ đợc 3 tt đến đồ thị (C)
192 Cho hàm số :y= f(x) = x3-3x(C).Tìm tất cả các điểm nằm trên đờng thẳng x=2 sao cho từ đó
kẻ đợc 3 tt đến đồ thị (C)
193 Cho hàm số
1
1 2
2 2
+
+ +
=
x
x x
y (C).Tìm tất cả các điểm M nằm trên trục tung sao cho a) Từ M kẻ đợc 2 tt đến đồ thị
b) Từ M kẻ đợc 2 tt đến đồ thị và 2 tt này vuông góc với nhau
194 Cho hàm số
1
2
−
=
x
x
y (C).Tìm tất cả các điểm M nằm ở nhánh phải của đồ thị sao cho tt tại M vông góc với đờng thẳng qua M và giao điểm của 2 đờng tiệm cận
195 Cho hàm số : y= f(x) = -x3+3x-2(C)
a)Viết PTTT (d) của (C) tại điểm uốn
b)Tìm điểm M thuộc (d) sao cho từ M kẻ đợc 2 tt đến đồ thị (C)
196 Cho hàm số : y= f(x) = x4- x2+1(C).Tìm tất cả các điểm nằm trên trục Oy sao cho từ đó kẻ đợc
3 tt đến đồ thị (C),trong đó có 2 tt vuông góc
197.Cho hàm số
x
x x
2 − +
= (C).Tìm tất cả các điểm M trên đờng thẳng x=1 sao cho từ đó kẻ
đ-ợc 2 tt đến đồ thị(C) và 2 tt này vuông góc với nhau
198 Cho hàm số
1
) 2 1 ( 2
+
−
− +
=
x
m x m x
y (C)(m≠ 0).Xác định các gía trị của m để đồ thị cắt Ox tại
2 điểm A,B sao cho tt với (C) tại 2 điểm đó vuông góc với nhau
199 Cho hàm số y= −x3 + 3x+ 2có đồ thị (C),tìm trên trục hoành các điểm mà từ đó kẻ đợc 3 tt
đến (C)
200.Cho hàm số y=x3 − 12x+ 12có đồ thị (C), tìm trên đờng thẳng y= -4 các điểm mà từ đó kẻ
đ-ợc 3 tt đến (C)
*Chú ý: Trên đồ thị hàm bậc 3 có duy nhất 1 điểm mà từ đó kẻ đợc đúng một tiếp tuyến đến nó
bài toán 9: Tích khoảng cách không đổi , tổng khoảng cách max,min
201 Cho hàm số
2
1
−
+
=
x
x
y M là một điểm nằm trên đồ thị
a) CMR tích khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là một hằng số
b) Tìm toạ độ điểm M để tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận đạt GTNN
c) Gọi d là tt của đồ thị tại M , giả sử d cắt 2 tiệm cận tại A,B.CMR M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M ( I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số)
d) Tìm 2 điểm P,Q thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị sao cho độ dài PQ ngắn nhất
202.Cho hàm số:
1
3 2 2
+
+ +
=
x
x x
y M là một điểm nằm trên đồ thị
a) CMR tích khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là một hằng số
b) Tìm toạ độ điểm M để tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận đạt GTNN
c) Gọi d là tt của đồ thị tại M , giả sử d cắt 2 tiệm cận tại A,B.CMR M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M ( I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số)
d) Tìm 2 điểm P,Q thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị sao cho độ dài PQ ngắn nhất
bài toán 10: trục đối xứng , tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Chứng minh rằng đồ thị các hàm số sau :
203
1
2 2 2
+
+ +
=
x
x x
y nhận giao điểm 2 đờng tiệm cận làm tâm đối xứng
Trang 82
1
−
+
=
x
x
y nhận giao điểm 2 đờng tiệm cận làm tâm đối xứng
205.y=x3 − 3x2 − 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
206.y=x4 − 2x2 − 3 nhận đờng thẳng x= 0 làm trục đối xứng
bài toán 11: các phép biến đổi đồ thị
207.Vẽ đồ thị hàm số
1
1 2
−
+
−
=
x
x x
2
− +
−
=
x
x x y
208.Vẽ đồ thị hàm số y= −x3 + 3x2 − 2.Từ đó suy ra đồ thị hàm số y= −x3 + 3x − 2
209.Vẽ đồ thị hàm số
1
1 2
−
− +
=
x
x x
2
−
− +
=
x
x x y
210.Vẽ đồ thị hàm số y= −x3 + 3x2 − 2.Từ đó suy ra đồ thị hàm số y= −x3 + 3x2 − 2
211.Vẽ đồ thị hàm số
1
1 )
(
−
+
=
=
x
x x f
y Từ đó suy ra đồ thị các hàm số
)
( x
f
y = , y=f ( x) ,
1
1
−
+
=
x
x
y , y= x x −+11
bài toán 12: dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phơng trình
212.Cho hàm số y= −x3 + 3mx2 + 3 ( 1 −m2 )x+m3 −m2.Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi
m=1.Tìm k để phơng trình −x3 + 3x2 +k3 − 3k2 = 0có 3 nghiệm phân biệt
213.Vẽ đồ thị hàm số y=x3 − 3x2 + 4.Từ đó tìm k để phơng trình x3 − 3x2 −k+ 5 = 0có 3 nghiệm phân biệt
214 Biện luận số nghiệm của phơng trình: x3 − 3x +m+ 2 = 0 theo m
215.Vẽ đồ thị hàm số y= −x3 + 3x − 2.Tìm m để phơng trình x3 − 3x + 2 + lgm= 0 có 4 nghiệm phân biệt
216.Vẽ đồ thị hàm số
1
1 2
−
+
−
=
x
x x
y Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phơng trình :
x2- (m+1)x+1+m=0
217.Vẽ đồ thị hàm số
1
3 2 2
+
+ +
=
x
x x
y Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phơng trình :
x2+(2- m)x+1- m = 0
218 Vẽ đồ thị hàm số
1
1 2
−
+
−
=
x
x x
y Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phơng trình sin 2 x− sinx + 1 =m( sinx − 1 ) trên −Π2 ;Π2
219 Vẽ đồ thị hàm số
1
2
−
=
x
x
y Từ đó biện luận theo m số nghiệm của phơng trình 1
2
−
=
x
x m
210. Vẽ đồ thị hàm số y= −x3 + 3x2 − 2.Tìm m để phơng trình −x3 + 3x2 − 2 − log2m= 0có 6 nghiệm phân biệt
211 Vẽ đồ thị hàm số
1
1 2
−
+
−
=
x
x x
x
x
1 1 2
=
−
+
−
theo m
212 Vẽ đồ thị hàm số
1
1 2
−
+
−
=
x
x x
y Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phơng trình cos 2 x− (m+ 1 ) cosx+ 1 +m= 0
213 Tìm m để phơng trình : x4- 2x2+m = 0 có 4 nghiệm phân biệt
214 Tìm m để phơng trình: 3 − 2x−x2 = 1 −m vô nghiệm
Trang 9bài toán 13: các bài toán khác
215.Tìm m để hàm số y=x3 − 3x2 +m có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ
216.Tìm trên đồ thị hàm số
1
2
+
=
x
x
y 2 điểm phân biệt A,B đối xứng nhau qua đờng thẳng (d): y = x+1.Tìm trên đồ thị hàm số những điểm có toạ độ là số nguyên
217.Cho hàm số
1
1 2
−
+
−
=
x
mx mx
y Tìm các điểm cố định mà họ đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m
218.Tìm m để trên đồ thị hàm số
1
1 2
−
− +
=
x
x x
= +
=
+
m y x
m y x
B B
A A
219 Cho hàm số
1 2
1 2
−
+ +
=
x
x x
y có đồ thị là (H).Tìm trên (H) các điểm mà khoảng cáchđến đờng thẳng: 3x+y+6=0
220.Cho hàm số
1
2 2 2
−
− +
=
x
x x
y có đồ thị là (H).Tìm trên (H) các điểm mà khoảng cáchđến tâm đối xứng bé nhất
221) Cho hàm số y x2 2mx m
x m
=
+ xác định m đểđờng thẳng đi qua các điểm CĐvàCT củda đồ thị
hàm số tạo với các trục toạ độ 1 tam giác có diện tích bằng 1
4
y
x m
=
+ .Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có
hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận?
223).CMR họ đồ thị hàm số y=(m+2)x3+(m+2)x2−(m+3)x−2m+1 luôn đi qua 3 điểm cố
định với mọi m và 3 điểm đó cùng nằm trên 1 đờng thẳng
224)Tìm k theo m để đờng thẳng (d): y= kx +k+1 cắt đồ thị hàm số y=x m x2( − −) m tại 3 điểm phân biệt
225) Xác định m để đồ thị hàm sốy=x3−3x2−9x m+ cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành
độ lập thành cấp số cộng
226)Xác định a để đồ thị hàm số 2 1
1
y x
− +
=
− tiếp xúc với Parabol
2
y=x +a
1
y
x
=
− xác định m để các điểm CĐvàCT của đồ thị nằm về 2 phía của
đờng thẳng: 9x-7y-1=0
228)Tìm m để đồ thị hàm số có điểm uốn với hoành độ thỏa mãn bpt 32x−8.3x+ +x 4 −9.9 x+ 4 >0 229)Tìm m để đồ thị hàm số y= x3+(m−1)x2−m tiếp xúc với trục hoành
230)Tìm m để phơng trình y= − +x3 3x2+m2 có ít nhất 2 nghiệm phân biệt
một số đề thi đại học
231) (ĐH-2002) Cho hàm số 2
1
y
x
+
=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=0
Trang 10b) Tìm m để hàm số cực đại,cực tiểu.Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa 2 điểm cực trị bằng 10
232) (ĐH-2003) Cho hàm số 2
1
y
x
+ +
=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=-1
b) Tìm m để hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành dộ dơng
233) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2
2( 1)
y
x
=
−
b) Tìm m để phơng trình 2x2−4x− +3 2m x− =1 0 có 2 nghiệm phân biệt
234) Cho hàm số y= x3−3x2+m
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=2
b) Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ
235) Cho hàm số y=2x3−9x2+12x−4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm m để phơng trình 2 x3 −9x2+12 x =m có 6 nghiệm phân biệt
236) Cho hàm số 2 2 5
1
y
x
=
+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm m để phơng trình x2+2x+ =5 (m2+2m+5)(x+1) có 2 nghiệm dơng phân biệt
237) Cho hàm số y=x3+ −(1 2 )m x2 + −(2 m x m) + +2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=2
b) Tìm m để hàm số cực đại,cực tiểu đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1
238) Cho hàm số 2 2 1
1
y
x
+ +
= +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) CMRtích các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị hàm số đến 2 tiệm cận của nó luôn là một hằng số
239) Cho hàm số 1
1
x y x
+
=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm tất cả các điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của 2 tiệm cận bé nhất
c) Xác định m để đờng thẳng d: y= 2x+m cắt đồ thị tại 2 điểm A,B sao cho tiếp tuyến tại A,B song song với nhau
d) Tìm trên đồ thị những điểm có toạ độ là những số nguyên
240) Cho hàm số 2 2 2
1
y
x
=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm 2 điểm A,B nằm trên đồ thị hàm số và đối xứng nhau qua đờng thẳng : x- y+4 = 0 241) Cho hàm số 2
1
y
x
+ +
= +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
b) Tìm m để hàm số cực đại,cực tiểu nằm về 2 phía của trục tung
242) Cho hàm số 2 2
1
y
x
=
+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=1