Bất đẳng thức bồi dưỡng HSG

Trong chứng minh bất đẳng thức (BĐT) mà dấu của bất đẳng thức không được bảo toàn thì phép chứng minh trở nên vô nghĩa. Kĩ thuật chọn “điểm rơi” trong chứng minh BĐT là một trong các kĩ thuật cơ bản nhất để chứng minh một bất đẳng thức và luôn bảo toàn được dấu của BĐT. Bản chất chọn “điểm rơi” nghĩa là dự đoán dấu đẳng thức xảy ra. Kĩ thuật chọn “điểm rơi” chỉ áp dụng khi tìm được điểm rơi và dựa vào kĩ thuật tách ghép khéo léo của người làm toán. Sau đây là một số những trình bày về kĩ thuật chọn điểm rơi để chứng minh BĐT trong bồi dưỡng HSG.

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

“KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC ”

I NỘI DUNG:

1 Kiến thức về bất đẳng thức:

1.1 Tính chất cơ bản của bất đẳng thức:

Định nghĩa: a b  a b 0

b c









 * a b  a c b c  

* a b a c b d

c d









a b

a b

1.2 Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng:

1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy:

Với n số thực khơng âm a a1 2, , , (a n  cĩ: n 2) 1 2 n n 1 2

n

a a a n





Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1a2 a n

1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (BCS):

Cho 2n số dương ( n Z n , 2): a a1 2, , , , , , ,a b b n 1 2 b ta cĩ: n

(a b a b a b n n) (a a a n)(b b b n)

Dấu “=’ xảy ra 1 2

(quy ước nếu 0 0)

n

n

a

1.2.3 Một số hệ quả:

n

*

2

i

n

a a a a a a   

* Cho 2n số dương ( n Z n , 2): a a1 2, , , , , , ,a b b n 1 2 b ta cĩ: n

n( 1 1)( 2 2) ( ) n 1 2 n 1 2

a b a b a b  a a a  b b b

* Cho hai dãy số a a1 2, , , và , , , với a n b b1 2 b n b i 0  i 1,n luơn cĩ:





 (BĐT Svác-xơ)

Dấu “=’ xảy ra 1 2

n n

a

1.3 Một số kết quả thường dùng trong biến đổi và chứng minh:

- Kết quả 1:  a, b, c có:

2

2 2

2

2

2 2 2 2

a b 1) a b 0 a b 2ab a b , dÊu "=" a b

2

a b 2) a b 4ab ab , dÊu "=" a b

2 3) a b c ab bc ca , dÊu "=" a b c

a b c 4) a b c , dÊu "=" a b c

3 5) a b c 3 ab bc ca , dÊu "=" a b c 6) a b b c





 

2 2

2

c a abc a b c , dÊu "=" a b c 7) ab bc ca 3abc a b c , dÊu "=" a b c

- Kết quả 2: Với a, b,c  0 có:

2

3

2

3

(a b) 1) ab , dÊu "=" a b c

4 (a b c) 2) abc , dÊu "=" a b c

27

3) , dÊu "=" a b

a b a b

4) , dÊu "=" a b c

a b c a b c

5) , dÊu "=" a b

ab (a b)

6) , dÊu "=" a b c

abc (a b c)



 



 



 

- Kết quả 3: Với a, b,c  1 có:

1) 1 1 2 , dÊu "=" a b

a 1 b 1 1 ab  

2) 1 1 1 33 , dÊu "=" a b c

a 1 b 1 c 1 1 abc   

- Kết quả 4: Với a, b,c  0 có:

     2

1) a 1 b 1   1 ab , dÊu "=" ab

       3 3

2) a 1 b 1 c 1    1 abc ,dÊu "=" a b c

1.4 Một số điểm cần lưu ý:

- Khi thực hiện các phép biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức, không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều hoặc nhân chúng khi chưa biết rõ dấu của hai vế Chỉ

được phép nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một biểu thức khi ta biết rõ dấu của biểu thức đó

- Cho một số hữu hạn các số thực thì trong đó bao giờ ta cũng chọn ra được số lớn nhất và số nhỏ nhất Tính chất này được dùng để sắp thứ tự các ẩn trong việc chứng minh một bất đẳng thức

2 Một số ví dụ về kĩ thuật chọn điểm rơi:

VD 1: Cho a là hai số thực dương và a  3 Chứng minh rằng: a 1 10

a 3

 

- Dự đoán điểm rơi tại điểm “biên” a=3 Ta cần đưa thêm tham số m, n sao cho:

a 3

1 m 1

9 m.a

a











a 3

n 9 n

a a













Suy ra áp dụng BĐT cauchy cho cặp số a 1;

9 a

  hoặc a;9

a

 

 

 

- Giải tóm tắt:

Cách 1: a 1 a 1 8a 2 a 1 8a 2 1 8.3 10

Suy ra a 1 10

a 3

  Dấu “=” xảy ra khi a=3

Cách 2: a 1 a 9 8 2 a 9 8 2.3 8 10

         

Suy ra a 1 10

a 3

  Dấu “=” xảy ra khi a=3

VD 2: Cho x, y0, x y 6 Chứng minh rằng: Px x 1  y y 1  12

Px x 1 y y 1 x y  xy)

Dự đoán điểm rơi: x y x y 3

x y 6







 

x y 9

Suy ra áp dụng BĐT cauchy cho các cặp số  2 

x ;9 và  2 

y ;9

Px x 1 y y 1 x y  xy)  x 9  y 9  xy 18

Áp dụng BĐT cauchy được:

P2 x 92 y 9 xy  185 x y 185.6 18 12 

Vậy P  12, P12 x y 3

VD 3: Cho a, b, c dương, và a  2b 3c   20 Chứng minh rằng

P a b c 3 9 4 13

a 2b c

- Dự đoán điểm rơi: a=2, b=3, c=4 Cần thêm các tham số m, n, p sao cho:

Suy ra áp dụng BĐT cauchy cho các cặp số: 3 a;3 , 1 b; 9 , 1 c;4

- Giải tóm tắt:

                

          

Áp dụng BĐT cauchy và kết hợp giả thiết ta được:

Vậy P  13, có P=13 khi a=2, b=3, c=4

VD 5: Cho x, y >1 CMR:

y 1 x 1

Cách 1: Dùng BĐT cauchy:

- Tìm điểm rơi: 2 2

x y

x y 2

8

y 1 x 1











Với x=y=2 thì:

 

 

2

2

x

4 4 y 1

y 1 y

4 4 x 1

x 1













 



Do đó áp dụng BĐT cauchy cho cặp số  

2

x

;4 y 1

y 1





2

y

;4 x 1

x 1





- Giải tóm tắt:

Áp dụng BĐT cauchy cho hai số dương  

2

x

;4 y 1

y 1  ta có:

4 y 1 2 4 y 1 4x 1

y 1    y 1   

Áp dụng BĐT cauchy cho hai số dương y2 ;4 x 1 

x 1  ta có:

     

4 x 1 2 4 x 1 4y 2

x 1    x 1   

Cộng (1) và (2) theo vế ta được:

P4 x 1 4 y 1 4x4y P8 Dấu “=” xảy ra khi x=y=2

Cách 2: Dùng hệ quả của BĐT Cauchy-Schwarz kết hợp biến đổi tương đương:

- Điểm rơi: x=y=2, khi đó

y 1 x 1

2

P

y 1 x 1 x y 2



Cần chứng minh:  

2

x y

8 1

x y 2





 

1  xy  8 x y 16 0  xy  4 0 luôn đúng

Vậy P  8 Dấu “=” xảy ra khi x=y=2

VD 6: Cho x, y, z >0 và x+y+z=2 Chứng minh rằng: P x2 y2 z2 1

y z x z x y

Cách 1: Dùng BĐT cauchy:

- Tìm điểm rơi: x y z x y z 2

 





  



Với x y z 2

3

   thì x2 y z; y2 x z; z2 x y

- Giải tóm tắt:

Áp dụng BĐT cauchy cho các cặp số dương:

 

 

 

Từ (1), (2), (3) suy ra:

Dấu “=” xảy ra: P 1 x y z 2

3

Cách 2: Dùng hệ quả của BĐT Cauchy-Schwarz:

- Điểm rơi: Đẳng thức xảy ra khi x y z 2

3

   khi đó:

y z xz xy

2

Dấu “=” xảy ra:

x y x 2

2

3

y z x z x y

  







VD 7: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

b c a  c a  ba b c a bc

- Tìm điểm rơi:

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c hay tam giác là tam giác đều

b c a  c a  ba b c

Mặt khác:

b c a c a b 2c

c a b a b c 2a

a b c b c a 2b









Suy ra: Áp dụng kết quả quen thuộc:

Với a, b >0 thì 1 1 4 , dÊu "=" a b

abab   ta sẽ có lời giải

- Giải tóm tắt:

Với a, b >0 thì 1 1 4 , dÊu "=" a b

abab  

Áp dụng BĐT trên ta có:

b c a  c a  b b c a   c a  b c

c a  ba b c c a  b  a b c a

a b cb c a   a b c  b c a  b

Cộng ba BĐT trên lại theo vế rồi chia cả hai vế cho 2, ta thu được kết quả cần chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c hay tam giác là tam giác đều

VD 8: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

 

- Tìm điểm rơi:

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Mặt khác ta cần khử mẫu vế trái để làm xuất hiện vế phải và từ bậc 3 xuống bậc nhất, nên ta cần tìm m, n sao cho:

3

a b c

m 2, n 4

 











Do đó: khi a=b=c thì

3



 



Tương tự có: khi a=b=c thì

3



 



và

3



 



- Giải tóm tắt: Áp dụng BDDT cauchy cho 3 số dương ta có:

3

3

3

3

3

3

Cộng các BĐT trên lại theo vế ta được:

a b c

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c

VD 10: Cho a, b, c là các số dương và a+b+c=3 Chứng minh rằng:

a b c b c a c ab 2

- Tìm điểm rơi:

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Mặt khác ta cần khử mẫu vế trái để làm xuất hiện vế phải và từ bậc 3 xuống bậc nhất,

a b c a.a b c nên ta cần tìm m, n sao cho:

 

2

a b c 1

m 2, n 4

  











Do đó: khi a=b=c=1 thì 2 



  



Tương tự có: khi a=b=c=1 thì 2 



  



và 2 



  



- Giải tóm tắt: Áp dụng BĐT cauchy cho 4 số dương ta có:

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được:

3 a b c

6

 

Mà a+b+c=3 thay vào BĐT cuối ta được:

6

a b c b c a c ab 2 

2  2  2 

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

VD 11: Cho a, b, c là các số dương và a+b+c=3 Chứng minh rằng:

P

2

- Tìm điểm rơi: Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Mặt khác nếu áp dụng kết quả quen thuộc:

Với a, b, c >0 thì 1 1 1 9 , dÊu "=" a b c

abc a b c   

Do đó để tìm minP ta cần làm trội mẫu bằng việc khử căn bậc ba hay tìm maxQ với

Q a7b b 7c  c 7a

Lại có: Tại điểm rơi a=b=1 thì a+7b=8, nên ta có thể khử căn bậc ba dưới mẫu và làm trội mẫu để tìm maxQ bằng cách áp dụng BĐT cauchy cho 3 bộ số:

  a3 7b; 8; 83 3 ,   a3 7b; 8; 83 3 ,   a3 7b; 8; 83 3 

- Giải tóm tắt:

Với a, b, c >0 thì 1 1 1 9 , dÊu "=" a b c

abc a b c   

Áp dụng kết quả trên ta có:

Mặt khác: áp dụng BĐT cauchy cho 3 bộ số:

  a3 7b; 8; 83 3 ,   b 7c; 8; 83  3 3 ,  3c7a; 38; 83  ta có:

a 7b 8 8 a 7b 8.8

3

b 7c 8 8 b 7c 8.8

3

c 7a 8 8 c 7 8.8 8 8

3

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được:

8

3

Lại có a+b+c=3 nên Q6, Q=6 khi a=b=c=1

Từ đó suy ra: P 9 9 3

  

Dấu “=” xảy ra: P 3 a b c 1

2

    

VD 12: Cho , ,x y z là ba số dương và x y z  1 Chứng minh rằng:

- Tìm điểm rơi:

Dấu đẳng thức xảy ra khi x y z  1

3; và biểu thức trong căn gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức BCS:

x m n  m x n

x x

2

2

với m, n là những số thỏa mãn:

x

m n nx  n

2

1

1

Nhận thấy tai điểm rơi x 1

3 thì

m x n

9, nên chọn m 1,n 9 

- Giải tóm tắt:

Ta có              

2

82

tương tự ta có:

2 2

82

y

2 2

82

z

Suy ra: P x y z

82

( Nhận thấy tại điểm rơi x y z  1

3 thì x y z  1và

xy z 

1 1 1 9

                 

9

Mặt khác áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương và sử dụng kết quả quen thuộc: Với a,

b, c >0 thì 1 1 1 9 , dÊu "=" a b c

abca b c    ta có:

và

x y z x y z 

hay x y z

x y z

     

Khi đó: P x y z

            

82

P x y z

 

Vậy P  82 , dấu “=” xảy ra khi x y z  1

3

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho x 2 Chứng minh rằng:

a) x x

1 5 2

b) x

x

 2 

4.

Bài 2: Cho a, b dương và a b   1 Chứng minh rằng: ab

ab 

4 .

Bài 3: Cho các số dương x, y, z và x y z  3

2 Chứng minh rằng:

2

Bài 4: Cho x2y0 Chứng minh rằng: x y

xy





2

Bài 5: Cho a, b, c là các số dương và a+b+c=1 Chứng minh rằng:

a b  b c  c a  6

Bài 6: Cho x, y >1 Chứng minh rằng: x y 1y x1xy

Bài 7: Cho x 3, xy 6, z 1  Chứng minh rằng: x y z  6

Bài 8: Cho các số dương a, b, c và a+b+c=3 Chứng minh rằng: a3b3c33

Bài 9: Cho các số dương x, y, z và x+y+z+xyz=4.

Chứng minh rằng: x3y3z33

Bài 10: Cho a, b, c là các số dương và a+b+c=3

Chứng minh rằng:

1

b 2c a c 2ab a 2b c 

Bài 11: Cho các số dương x, y, z và

x y z 

1 1 1 1.

Chứng minh rằng:

x  y z x y  z x y z    

Bài 12: Cho các số dương x, y, z và xyz=1

Chứng minh rằng: x y z

y z x 

II KẾT LUẬN:

Trong chuyên đề trên, tôi đã lựa chọn và trình bày một số bài toán chứng minh BĐT vận dụng kĩ thuật chọn “điểm rơi” và vận dụng một số kết quả quen thuộc trong biến đổi bất đẳng thức Kính mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô để chuyên

đề được hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tên tác giả

Năm xuất bản

Tên tài liệu tham khảo Nhà xuất bản,

nơi xuât bản

Nguyễn Đức Tấn 2003 Chuyên đề bất đẳng thức và ứng

Nguyễn Văn Dũng

Võ Quốc Bá Cẩn

Trần Quốc Anh

2011 Phương pháp giải toán bất đẳng

thức và cực trị

Đại học quốc gia Hà Nội

Nguyễn Phú Khánh 2013 Bất đẳng thức và bài toán

min-max

Đại học

sư phạm

Phan Huy Khải 2013

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất

Đại học quốc gia Hà Nội