Bất đẳng thức (BĐT) là một trong những dạng toán khó và phức tạp. Đây thường là câu lấy điểm 10 thi Đại học và trong các đề thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh,... Thực sự bất đẳng thức thường chỉ dành cho những học sinh khá, giỏi trở lên và có quyết tâm đạt điểm 9, 10 trong các kỳ thi. Để giải quyết tốt với các bài toán bất đẳng thức thì việc nắm vững các kiến thức cơ bản là vô cùng quan trọng.
Trang 1SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG
THỨC ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
-I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1 Định nghĩa: Hệ thức dạng a > b (hay a < b; a b; a b � � ) gọi là bất đẳng thức.
2 Tính chất:
a) A > B � B < A
b) A > B; B > C � A > C
c) A > B A + C > B + C
d) A > B và C > D A + C > B + D
A > B và C > 0 A.C > B.C
A > B và C < 0 A.C < B.C
e) 0 < A < B và 0 < C < D 0 < A.C < B.D
f) A > B > 0 An > Bn với mọi n
A > B An > Bn với n lẻ
A > B An > Bn với n chẵn
m > n > 0 và A > 1 Am > An
m > n > 0 và 0 < A < 1 Am < An
A < B và A.B > 0 1 > 1
A B
3 Phương pháp chứng minh:
Phương pháp dùng định nghĩa
Phương pháp biến đổi tương đương
II/ PHƯƠNG PHÁP VÀ VÍ DỤ MINH HỌA CHO PHƯƠNG PHÁP:
1/ Dùng định nghĩa:
Chứng minh A > B.
Lập hiệu A –B rồi sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích thành tổng hoặc tích của các biểu thức không âm.
Ví dụ 1: Cho x, y, z là các số thực Chứng minh rằng:
a) x2 + y2 + z2 xy + yz + zx
b) x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz
c) x2 + y2 + z2+3 2(x + y + z)
Lời giải:
Trang 2a) Xét hiệu : x2 + y2 + z2- xy – yz – zx
=1
2.2( x2 + y2 + z2- xy – yz – zx)
=1
2
( x y ) ( x z ) ( y z ) 0
� �� đúng với mọi x, y, z �R
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Ta có điều phải chứng minh.
b) Xét hiệu: x2 + y2 + z2- ( 2xy - 2xz + 2yz )
= x2 + y2 + z2- 2xy + 2xz - 2yz
= ( x - y + z)2 0 đúng với mọi x, y, z � R
Dấu bằng xảy ra khi x – y + z = 0
c) Xét hiệu: x2 + y2 + z2+ 3 - 2( x + y + z )
= x2- 2x + 1 + y2 - 2y +1 + z2- 2z + 1
= (x - 1)2+ (y - 1) 2+(z - 1)2 0
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1
Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số thực Chứng minh rằng:
a)
2
2 2
a b �a b�
b)
2
2 2 2
a b c �a b c�
Lời giải:
a) Ta xét hiệu:
2
2 2
a b �a b�
=2 2 2 2 2 2
a b a ab b
4 a b a b ab =1 2 0
4 a b � Vậy
2
2 2
a b �a b�
� Dấu bằng xảy ra khi a = b.
Ta có điều phải chứng minh.
b) Ta xét hiệu:
2
2 2 2
a b c �a b c�
=1 2 2 2 0
9���a b b c c a ���� .
Trang 32
2 2 2
a b c �a b c�
� Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Ta có điều phải chứng minh.
* Bài toán tổng quát:
2
1 2 n 1 2 n
với ai� R
Ví dụ 3:
a) Với m, n, p, q là các số thực
Chứng minh rằng: m2 n2 p2 1 � m n p q 1
b) Với a, b, c là các số thực
Chứng minh rằng: a4 b4 c4� abc a b c ( )
Lời giải:
a) Xét hiệu: m2 n2 p2 1 - m n p q 1
m mn n m mp p m mq q m m
m n m p m q m
Dấu bằng xảy ra khi
0 2
0 2
0 2
1 0 2
m n
m p
m q m
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 2
2 2
m n m p m q m
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
m
n p q
�
�
�
Ta có điều phải chứng minh.
b) Xét hiệu: a4 b4 c4 abc a b c ( )
2
a b c a bc b ac c ab
a b c a bc b ac c ab
2
�
�
�
�
�
a b a b b c b c c a
a c a bc b ac c ab
Trang 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
�
�
�
�
�
a b b c c a a b b c b ac
b c c a c ab a b c a a ab
a b b c c a ab bc bc ac ab ac
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Ta có điều phải chứng minh.
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
1/ Với a, b là số thực Chứng minh a2 b2 1 � ab a b
2/Với a, b, c, d, e là số thực
Chứng minh: a2 b2 c2 d2 e2 � a b c d e ( )
3/ Cho a, b, c là số thực
Chứng minh: 3( a2 b2 c2) ( � a b c )2� 3( ab bc ca )
4/ a) Với ab � 1 Chứng minh 21 21 2
1
a b �
b)Với � � 1 ab 1 Chứng minh 21 21 2
1
a b �
5/ Với a là số thực Chứng minh ( a 1)( a 2)( a 3)( a 4) � 1
2/ Biến đổi tương đương:
Chứng minh A > B.
Biến đổi A > B � A1 B1� A2 B2� � An Bn.
Nếu An Bn đúng thì A > B đúng.
Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực chứng minh rằng
a) 2 2
4
b
a � ab
b)a2 b2 1 � ab a b
Lời giải:
a) 2 2
4
b
a � ab � 4 a2 b2 � 4 ab � 4 a2 4 a b2� 0
2 a b 0
� � (Luôn đúng)
Trang 5Vậy 2 2
4
b
a � ab Dấu bằng xảy ra khi 2a=b
Ta có điều phải chứng minh.
b) a2 b2 1 � ab a b � 2( a2 b2 1) 2( ab a b )
2 2 2 2 2 1 2 2 1 0
a ab b a a b b
( a b ) ( a 1) ( b 1) 0
Vậya2 b2 1 � ab a b Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1
Ta có điều phải chứng minh.
a2 4 ab 4 b2 a2 4 ac 4 c2 a2 4 ad 4 d2 a2 4 ac 4 e2 � 0
a b a c a d a e � (Luôn đúng)
Dấu bằng xảy tra khi a = 2b = 2c = 2d = 2e
Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Cho a, b, là số thực.
Chứng minh: a10 b10 a2 b2 � a8 b8 a4 b4
Lời giải:
12 10 2 2 10 12 12 8 4 4 8 12
a a b a b b � a a b a b b
a b a8 2 2 b2 a b b2 8 2 a2 � 0
2 2( 2 2)( 6 6) 0
a b a b a b
2 2( 2 2 2) ( 4 2 2 2) 0
a b a b a a b b
Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Cho a, b, c là 3 số thực thỏa mãn a b c 0
Chứng minh ab 2 bc 3 ac � 0
Lời giải:
Từ giả thiết a b c 0 � c a b
Trang 62 2)
ab bc ac ab c b a
ab a b b a
a ab b
2 2( )2 0
a a b
� � (Luôn đúng)
Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 4: Cho a là số dương Chứng minh : 2 5( 2 1) 11
1
a a
a a
Lời giải:
Ta có:
2
2
2 2
2
5( 1) 11
1
0
a a
a a
a a a
a a
�
�
�
2
( 1) ( . 1) 9( 1) 0
a a
۳
(Luôn đúng)
Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 5: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn a3 36 và abc = 1
Chứng minh: a2 3( b2 c2) 3( ab bc ca )
Ta có: bc 1
a
2 2 2
2
2 2
2
0 3
3
�
�
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a
b bc c a b c bc
3
� b c a b c a
a
� b c a b c a a
a
Trang 72 3
36 0 (*)
Vì a3 36 nên (*) luôn đúng
Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 6: Cho hai số thực a, b thỏa mãn: a2 b2 � a b
Chứng minh: 0 � a b � 2
Lời giải:
2
2 2
2
2
)
a b a b a b a b
a b ab a b
a b ab a b
a b a b a b
a b a b
a b a b
a b
ۣ �
ۣ
Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1
Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 7: Cho a là số thực Chứng minh: a12 a4 1 a9 a
Lời giải:
Từ đề bài cần chứng minh:
12 4 1 9
a a a a
12 9 4 1 0
a a a a
Với a 1 ta có: a12 a9 a4a 1 a12 a4(1 a5) (1 a ) 0(Luôn đúng) Với a � 1 ta có: a12 a9 a4a 1 a a9( 3 1) a a ( 3 1) 1 0 (Luôn đúng) Vậy a12 a4 1 a9 a
Ta có điều phải chứng minh.
Trang 8BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Cho a là số thực Chứng minh:
a/ a4 � 3 4 a
b/ a4 5 a2 4 a
Bài 2: Cho a, b là các số thực Chứng minh:
a/ a4 � b4 2 4 ab
b/ 2( a4 1) ( b2 1)2� 2( ab 1)2
Bài 3: Cho hai số thực a, b thỏa mãn a b � Chứng minh:
a/ 3 3 ( )3
4
a b
a � b
b/ a3 3 a 4 � b3 3 b
Bài 4: Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh
3 2
b c c a a b �
Bài 5: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 1 1 2
a c b Chứng minh 4
a b c b
a b c b
Bài 6: Cho các số thực dương a, b, c, d Chứng minh:
a b c d a c b d
DANH SÁCH TÀI LIỆU THAM KHẢO:
Được sưu tầm từ nguồn Internet và biên tập