phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức giúp học sinh có một phương pháp hay khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức giúp học sinh có một phương pháp hay khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức giúp học sinh có một phương pháp hay khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức.
Trang 1PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC
1 Phân tích ý tưởng của phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức
Bài 1 : Cho a; b; c là các số dương thỏa mãn a b c 3 + + =
5
+ +
Giải
Bất đẳng thức đã cho được viết lại thành
5
1
2
0 3a
mọi số dương a
2
3
Cộng (1); (2); (3) theo vế ta có:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Nếu để ý đến dấu đẳng thức xảy ra thì ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức
( ) ( ) ( 2 ) 2
0
Tuy nhiên đánh giá trên không hoàn toàn đúng với số dương a
Để ý là với cách làm trên ta chưa sử dụng điều kiện a + b + c =3
Như vậy ta sẽ không đi theo lối suy nghĩ đơn giản ban đầu nữa mà sẽ đi tìm hệ số
Trang 2Trong đó m; n là các hệ số chưa xác định, thiết lập tương tự với các biến b và c ta
Cộng (4); (5); (6) theo vế ta có:
+ +
Như vậy ở đây 2 hệ số m và n phải thỏa mãn điều kiện
3
+ = ⇔ = −
m a 1 7
Đến đây ta chỉ cần xác định hệ số duy nhất là m để bất đẳng thức ( 7) là đúng Chú ý đẳng thức xảy ra tại a = b =c =1 nên ta cần xác định m sao cho
( ) ( ) ( ) ( 2 )
2
2
m 3
−
bất đẳng thức phụ
2
2
Bài 2 : Cho a; b; c là các số dương thỏa mãn a b c 3 + + =
3
Giải
Ta đi chứng minh bất đẳng thức
2
2a b
ab 3a
+
Thật vậy, dễ dàng chứng minh được a3 + ≥ b3 ab a b ( + ) , ta biến đổi tương
đương bất đẳng thức trên như sau:
Trang 3( ) ( ) 3 3
2
ab 3a
−
+
Chứng minh tương tự ta có:
3 3
2
2b c
bc 3b
2
2c a
ac 3c
+
Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta có:
a b c 3
Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Nhận xét: Hoàn toàn tương tự như bài toán trên ta đi tìm hệ số m; n sao cho bất
đẳng thức
2
ma nb
ab 3a
Ta viết lại bất đẳng thức trên thành
( )
3
3 3
2
5a
+
a t b
=
Để ý đến đẳng thức xảy ra tại a = b = c tức là xảy ra tại t = 1 khi đó ta cần xác
Cho t = 1 ta được
2
2
2
Lúc này ta đi chứng minh bất đẳng thức
2
2a b
ab 3a
+
Chắc chắn khi đọc khi đọc lời giải cho các bài toán này bạn có phần lúng túng và không biết tại sao lại có thể tìm ra bất đẳng thức phụ một cách khó hiểu như vậy Phải chăng dự đoán một cách may mắn hoặc cũng có người sẽ nghĩ bài toán trên được tạo ra từ chính bất đẳng thức phụ đó Câu trả lời là hoàn toàn không phải Tất cả đều đi theo một quy luật của nó Để làm rõ hơn vấn đề này chúng ta cùng
đi vào tìm hiểu một số bài toán bất đẳng thức giải bằng phương pháp hệ số bất định trong phần tiếp theo
Trang 4Bài toán 1: Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3 + + = Chứng
1
Lời giải
m a 1 1
đúng
a a 1
−
− +
m
9
;
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
1
+ +
Bài toán 2: Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a3 + + = b3 c3 3 Chứng
Lời giải
Ta cần tìm hệ số m để bất đẳng thức
4
Ta dễ dàng nhận thấy rằng đẳng thức xảy ra khi a = b = c =1
Khi cho a = 1 thì ta có thể dự đoán m = 2 Ta sẽ chứng minh rằng khi m = 2thif bất đẳng thức phụ trên là đúng
4
Trang 5Do a ≤ 3 3 ⇒ − 2a2 + + ≥ a 4 0 Vậy bất đẳng thức đúng.
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
1 1 1
Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài toán 3: Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a2 + + = b2 c2 3
7
+ +
Lời giải
Vậy ta phải chứng minh các bất đẳng thức
Vì a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a2 + + = b2 c2 3 nên 0 a; b; c < < 3
Do đó bất đẳng thức (*) đúng
7
+ +
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài toán 4: Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3 + + = và làm cho các biểu thức của bất đẳng thức luôn xác định
Lời giải
Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức : a2 + − ≤ + a 1 1 m a 1 ( − )
Trang 6Tìm được 3
m 2
( )2
2
−
Chứng minh tương tự ta có các bất đẳng thức:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có:
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =1
Bài toán 5: Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a2 + + = b2 c2 1
Lời giải
Ta chứng minh được các bất đẳng thức sau:
2 2
.a
2 2
.b
2 2
.c
−
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài toán 6: Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3 + + =
Lời giải
Dự đoán dấu bằng xảy ra tại a = b = c = 1
0;
3
1
0 a
3
Trang 7Nên bài toán được chứng minh, Do vậy ta chỉ xét a; b; c thuộc đoạn 1 7
;
3 3
2
1
Để ý là khi a = 1 thì đẳng thức luôn xảy ra với mọi m, do đó để chọn được m thì
ta lấy giá trị của a càng gần 1 càng tốt và ta chọn m sao cho đẳng thức gần xảy ra bằng cách đó ta chọn được m = – 4 là giá trị tốt nhất
2
1
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =1
Bài toán 7: Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a4 + + = b4 c4 3
1
Lời giải
Ta chưa thể sử dụng phương pháp hệ số bất định cho bài toán này ngay được vì cần phải biến đổi như thế nào đó để đưa bài toán đã cho về dạng các biến độc lập với nhau
Áp dụng bất đẳng thức
ab
2
+
2
Trang 8Ta chứng minh bất đẳng thức: 1 1 ( x 4 ) 1
−
Thậy vậy bất đẳng thức tương đương với
2
2
Vì x y z 12 + + ≤ nên x ∈ { 0;12 } do đó bất đẳng thức trên hoàn toàn đúng
2
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z =4 hay a = b = c = 1
Bài toán 9: Cho a; b; c; d là các số thực dương thỏa mãn a b c d 4 + + + =
2
Lời giải
m a 1
m
2
−
=
2
a a 1
−
Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta có
+ + +
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
Bài toán 10: Cho a; b; c; d là các số thực dương thỏa mãn a2 + + + b2 c2 d2 = 4 Chứng minh rằng:
Trang 9( 3 3 3 3) 3
2
Lời giải
Từ
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2
Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức
+
+
m 4
=
Ta có:
Tương tự ta có:
Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta có:
2
Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c = d = 1