Đề và đáp án HSG lớp 9 cấp tỉnh Phú Thọ 2017 2018, đề thi rất hay, phân loại học sinh tốt, trắc nghiệm phong phú bao quát nhiều kiến thức, là nguồn tài liệu phong phú cho những học sinh tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hoặc thi vào 10 chuyên toán
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017-2018
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 03 trang)
Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) ra tờ giấy thi.
A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Câu 1 Cho phương trình x2mx Tập hợp các giá trị của tham số 4 0 m để phương
trình có nghiệm kép là
Câu 2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo bởi hai đường thẳng có phương trình
5
y x và y 5 x bằng
Câu 3 Cho 310 6 3 3 1
Giá trị của biểu thức x3 4x 22018 bằng
Câu 4 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm (2018; 1)A và ( 2018;1).B Đường
trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
2018
x
2018
x
y C y2018 x D y2018 x
Câu 5 Cho biểu thức P 2x 8x 4 2x 8x 4 , khẳng định nào dưới đây đúng ?
A P 2 với mọi 1
2
x B P 2 với mọi x 1
2 x
Câu 6 Trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M, biết rằng M
cách đều trục tung, trục hoành và đường thẳng y 2 x Hoành độ của điểm M bằng
Câu 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ điểm M2018;2018 đến đường thẳng y x 2 bằng
Câu 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm 2 10
3
A m;m -
định nào dưới đây đúng ?
A Điểm A thuộc một đường thẳng cố định B Điểm A thuộc một đường tròn cố định
C Điểm A thuộc một đoạn thẳng cố định D Điểm A thuộc đường thẳng y x 10
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Câu 9 Cho tam giác ABC có AB3 cm AC, 4 cm và BC 5 cm Kẻ đường cao
,
AH gọi I K, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác HAB và tam giác HAC.
Độ dài của đoạn thẳng KI bằng
A 1, 4 cm B 2 2 cm C 1, 45 cm D 2 cm
Câu 10 Cho AB là một dây cung của đường tròn O; 1 cm và AOB 150 o Độ dài của
đoạn thẳng AB bằng
A 2 cm B 2 3 cm C 1 5 cm D 2 3 cm
Câu 11 Cho hai đường tròn I 3 và ; O;6 tiếp xúc ngoài với nhau tại A Qua A vẽ hai tia vuông góc với nhau cắt hai đường tròn đã cho tại B và C Diện tích lớn nhất của
tam giác ABC bằng
Câu 12 Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 1 Gọi x y, lần lượt là bán kính đường tròn
ngoại tiếp của tam giác ABC và tam giác ABD Giá trị của biểu thức 12 12
1 4
Câu 13 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O R đường kính AC và dây cung;
2
BD R Gọi , , , x y z t lần lượt là khoảng cách từ điểm O tới AB CD BC DA, , , Giá trị của biểu thức xy zt bằng
2
2
Câu 14 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( I;2 cm và nội tiếp đường tròn)
O;6 cm Tổng khoảng cách từ điểm O tới các cạnh của tam giác ABC bằng
Câu 15 Nếu một tam giác có độ dài các đường cao bằng 12,15, 20 thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng
Câu 16 Trên một khu đất rộng, người ta muốn rào một
mảnh đất nhỏ hình chữ nhật để trồng rau an toàn, vật liệu
cho trước là 60m lưới để rào Trên khu đất đó người ta tận
dụng một bờ rào AB có sẵn (tham khảo hình vẽ bên) để
làm một cạnh hàng rào Hỏi mảnh đất để trồng rau an toàn
có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu ?
B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Cho a b c2 b c a2 2018 với , ,a b c đôi một khác nhau và khác không.
Tính giá trị của biểu thức c a b2
b) Tìm tất cả các số nguyên dương , ,a b c thỏa mãn a b c 91 và b2 ca
Trang 3Câu 2 (3,5 điểm).
a) Giải phương trình x22x x22x2 0.
b) Hai vị trí A và B cách nhau 615 m và
cùng nằm về một phía bờ sông Khoảng cách từ A B,
đến bờ sông lần lượt là 118 m và 487 m (tham khảo
hình vẽ bên) Một người đi từ A đến bờ sông để lấy
nước mang về B Đoạn đường ngắn nhất mà người
đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến
đơn vị mét).
Câu 3 (4,0 điểm).
Cho đường tròn O và điểm A nằm ngoài O Qua A kẻ hai tiếp tuyến
,
AB AC với O ( B C, là các tiếp điểm), một cát tuyến thay đổi qua A cắt O tại D và
E AD AE Tiếp tuyến của O tại D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC tại
các điểm M và N
a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AD Chứng minh rằng bốn điểm
, , ,
M E N I cùng thuộc một đường tròn T
b) Chứng minh rằng hai đường tròn O và T tiếp xúc nhau.
c) Chứng minh rằng đường thẳng IT luôn đi qua một điểm cố định
Câu 4 (1,5 điểm).
ba cạnh của một tam giác
- HẾT
-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 4SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017-2018
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 03 trang)
A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm:Mỗi câu 0,5 điểm)
B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)
Câu 1
3,0
điểm
a) Cho a b c2 b c a2 2018 với , ,a b c đôi một khác nhau và khác
không Tính giá trị của biểu thức c a b2
b) Tìm tất cả các số nguyên dương , ,a b c thỏa mãn a b c 91 và
2
b ca
Điểm
a)
1.5
điểm
bc ab ab ca c b a c
Suy ra ab bc ca 0
ab bc ca abc a b abc c a b 0,5
b)
1,5
điểm
Đặt b qa c q a q ; 2 1 thì ta được a 1 q q2 91 13.7. 0,25
Trường hợp 1: Nếu q là số tự nhiên thì ta được
2
9
q
q q
0,25
2
3
q
q q
0,25
2
2
q
q q
0,25
Trường hợp 2: Nếu q là số hữu tỷ thì giả sử q xx 3;y 2
y
Khi đó a 1 q q2 91x2xy y 2 19
a x 2xy y 2 91y2
0,25
Ta có
2
và a25;b30;c36
0,25 HƯỚNG DẪN CHẤM
Trang 5Vậy có 8 bộ số a b c thỏa mãn; ; 1;9;81 , 81;9;1 , 7;21;63 , 63;21;7 ;
Câu 2.
3,5
điểm
a) Giải phương trình x22x x22x2 0.
b) Hai vị trí A và B cách nhau 615m và cùng nằm về một phía bờ sông.
Khoảng cách từA B, đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m (tham khảo
hình vẽ dưới đây) Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B
Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét
(làm tròn đến 1 chữ số thập phân)
a)
1.5
điểm
2 2
0,25 0,25
2 2 2 4 2 2 2 0
x x
0,25 0,25
b)
2,0
điểm
Gọi C D, lần lượt là hình chiếu của A B, lên bờ sông Đặt
CE x x
Quãng đường di chuyển của người đó bằng AE EB
2 1182 492 4872
0,25
(1)
a b c d a c b d 0,25
Thật vậy:
1 a2b2c2d22 a2b2 c2d2 a c 2b d 2
a2 b2 c2 d2 ac bd (2)
Nếu ac bd 0 thì (2) luôn đúng Nếu ac bd 0bình phương hai vế ta
(2) trở thành ad bc 2 0.Dấu đẳng thức sảy ra khi ad bc 0,25
Áp dụng (1) thì
0,25
Trang 6Vậy quãng đường nhỏ nhất là 780 m 0,25 Câu 3
4,0
điểm
Cho đường tròn O và điểm A nằm ngoài O Qua A kẻ hai tiếp tuyến
,
AB AC với O ( B C, là các tiếp điểm), một cát tuyến thay đổi qua A cắt
O tại D và (E AD AE ) Tiếp tuyến của O tại D cắt đường tròn
ngoại tiếp tứ giác ABOC tại các điểm M và N
a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AD, chứng minh rằng bốn điểm M E N I, , , cùng thuộc một đường tròn T
b) Chứng minh rằng hai đường tròn O và T tiếp xúc nhau.
c) Chứng minh rằng IT luôn đi qua một điểm cố định
a)
1,5
điểm
Ta có ABO ACO 180o nên tứ giác ABON nội tiếp
0,25
Gọi J là giao điểm của AD với đường tròn ABOC Suy ra DMA đồng
dạng DNJ
0,25
2
Nên DM DN DI DE DMI đồng dạng DEN 0,25
b)
1,5
điểm
Dễ thấy khi MN OAthì O và T tiếp xúc nhau tại E 0,25
Khi MN không vuông góc OA Gọi K là giao điểm của MN với tiếp
tuyến của O tại E
0,25
OEK KJ KO KE ( Định lý hình chiếu) 0,25
c)
1,0
điểm
Nên IT OD Gọi W OA IT 0,25
Trang 7Khi MN OA thì W IT. 0,25
Câu 4
1,5
điểm
độ dài ba cạnh của một tam giác
Giả sử a b c t và đặt a tx b ty c tz ; ; x y z 1 0,25
9
t x y z
2 2 2
9
0,25
9
0,25
2
a b c x y z
Ta có:
2
x
x x
2
2
y
y y
2
2
z
z z
2
0,25
Suy ra 5x 12 5y 1 52 y 12 18x y z 9
9
0,25
-