Đề thi học sinh giỏi toán 9 cực hay

Đề thi học sinh giỏi toán 9 cực hayĐề thi học sinh giỏi toán 9 cực hayĐề thi học sinh giỏi toán 9 cực hayĐề thi học sinh giỏi toán 9 cực hayĐề thi học sinh giỏi toán 9 cực hayĐề thi học sinh giỏi toán 9 cực hayĐề thi học sinh giỏi toán 9 cực hayĐề thi học sinh giỏi toán 9 cực hayĐề thi học sinh giỏi toán 9 cực hayĐề thi học sinh giỏi toán 9 cực hayĐề thi học sinh giỏi toán 9 cực hayĐề thi học sinh giỏi toán 9 cực hayĐề thi học sinh giỏi toán 9 cực hayĐề thi học sinh giỏi toán 9 cực hay

Câu I (2,0 điểm): Cho biểu thức 3 9 3 1 1 2 : 1

1

A

x

1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa

2) Rút gọn biểu thức A

3) Tìm giá trị của x để 2

A là số tự nhiên

Câu II (2,0 điểm)

1) Giải phương trình: x  1 3x  2x 1

2) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p;q) sao cho: p2 - 2q2 = 1

Câu III (2,0 điểm): Cho hai đường thẳng: y = x+3 (d1) ; y = 3x+7 (d 2 )

1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) với trục Oy Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

2) Gọi J là giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của tam giác đó

Câu IV (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB Gọi M là điểm nằm giữa A và B Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M

1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?

2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AC và BC Chứng minh rằng:

4

HK MC  R

3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố định khi M

di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B)

Câu IV (1,0 điểm)

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c =1 Chứng minh rằng:

2

c ab a bc b ac

Họ và tên thí sinh: SBD:

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN NAM SÁCH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2016-2017 Môn thi: Toán - Lớp 9

Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi:

Câu Ý Lời giải Điểm

I

(2.0đ)

1

(0.25đ) Điều kiện: 0

1

x x











0.25

2

(1.0đ)

2 : 1

1

1

A

x

x

x

0.25

0.25

0.25

0.25

3

(0.75đ)

Với ĐK: 0

1

x x











Ta có:  2

1

A x

Vì A x 12 1 với mọi x 0 nên

2

1

x



Do đó:

1

N

A x  khi  x 12  1 hoặc  x 12 2

Mà x  1 0 nên x  1 1 hoặc x  1 2

Do đó: x = 0 hoặc x  2 1 2 3 2 2 Vậy 2

A là số tự nhiên khi x = 0 hoặc x  3 2 2

0.25

0.25

0.25

II

(2.0đ)

1

(1.0đ)

Giải phương trình: x  1 3x  2x 1 (1) ĐK: x 0

Đặt a 3 ,x b x 1, a b,  0

Khi đó ta được PT: 2 2

b a a b  a b a b   

Mà a + b + 1 > 0 nên a = b

Do đó (1) 3 1 3 1 1  / 

2

Vậy nghiệm của PT là 1

2

x 

0.25 0.25

0.25

0.25

2

(1.0đ)

Ta có: p2 -2q2 = 1  p2 =2q2 + 1 p lẻ

Đặt p = 2k+1 (kN*) (2k+1)2 = 2q2 + 1 q2 = 2(k2+k)

q chẵn mà q nguyên tố nên q = 2 p = 3 (thỏa mãn) Vây cặp số nguyên tố (p;q) cần tìm là (3;2)

0.25 0.25 0.25 0.25

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN NAM SÁCH

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2016-2017 Môn thi: Toán - Lớp 9

Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi:

(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

III

(2.0đ)

2a

(0.75đ)

Tìm được A(0;3); B(0;7) suy ra I(0;5)

0.5 0.25

2b

(1.25đ)

Hồnh độ giao điểm J của (d1) và (d2) là nghiệm của PT: x+3 = 3x+7

x = -2 yJ = 1 J(-2;1) Suy ra: OI2 = 02 + 52 = 25; OJ2 = 22 + 12 = 5; IJ2 = 22 + 42 = 20

OJ2 + IJ2 = OI2 tam giác OIJ là tam giác vuơng tại J  1 1 5 20 5

SOIJ  OJ IJ     (đvdt)

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

IV

(3.0đ)

A

B O'

C'

E C

D

K H

1

(1.0đ)

Vì CD AB CM=MD tứ giác ACED có AE cắt CD tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành

mà AE CD tứ giác ACED hình thoi

0.25

0.25 0.25 0.25

2

(1.0 đ)





Vì tam giác ABC có AB là đường kính (O) nên ABC vuông tại C suy ra tứ giác CHMK là hình chữ nhật

Áp dụng hệ thức lượng vào các tam giác vuông ta có:

MA MC

MH AC=MA MC MH=

AC tương tư

2

2

2



 









MB MC

ï ta có: MK=

BC

MA MB MC

MH MK=

AC BC mà MA.MB=MC , AC.BC=MC.AB (do tam giác ABC vuông tại C)

MH MK=

mà MC=HK (do CHMK là hình chữ nhật)

MH MK MC

4

2MC CD

HM MK CD Vậy: (Đpcm)

0.25

0.25

0.25

0.25

3

(1.0 đ)

Lấy O’ đối xứng với O qua A suy ra O’ cố định

Tứ giác COC’O’ là hình bình hành vì cĩ hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm A của mỗi đường

Do đĩ O’C’ = OC = R khơng đổi Suy ra C’ nằm trên đường trịn (O’,R) cố định khi M di chuyển trên đường kính AB

0.25 0.25 0.25 0.25

V

(1.0đ)

Vì a + b + c = 1 nên

Nên BĐT cần chứng minh tương đương với:

2

2

Mặt khác dễ thấy: x2 + y2 + z2  xy + yz + zx , với mọi x, y, z (*)

Áp dụng (*) ta cĩ:

2

VT     b c a b c a Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

3 Đpcm

0.25

0.25

0.25

0.25

Chú ý:

1) Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định

2) Bài hình khơng vẽ hình thì khơng chấm điểm