KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II KÌ THI OLYMPIC 103 LẦN THỨ II
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂKLĂK
TRƯỜNG THPT: CƯMGAR
KÌ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ II
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN ; LỚP:10
Trang 2ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN Bài 1 (4 điểm):
Giải phương trình sau :2x2 4 5 x31
Đáp án chi tiết và thang điểm
1
Giải phương trình sau : 2x2 4 5 x31 (1)
Điều kiện: x 1
Đặt a x 1 0 ; b x2 x 1 0
2 (2 )( 2 ) 0
2
a b
a b a b
a b
Với 2a=b ta được:
2
x x x x x x
nhận Với a=2b ta được:
x x x x x vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 5 37
2
x
0,5
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5
Bài 2 (4 điểm):
Cho tam giác ABC,G là trọng tậm.Đặt GAB ,GBC ,GCA
Chứng minh rằng : 2 2 2
3 cot cot cot
4
S
Đáp án chi tiết và thang điểm
2
Ta có:
4 cot 3 3
4
ABG
BG AB AG AB AG
c AG AB AG g
c AG S g
c AG S g
g c GA GB
S
Chứng minh tương tự:
0,5
0,5 0,5
0,5
0,5
Trang 3 2 2 2
3
4
S
3
4
S
Cộng (1),(2) và (3) vế theo vế
3 cot cot cot
4
S
0,5
0,5
0,5
Bài 3 (3 điểm):
Tìm giá trị lớn nhất của: P ab c 2 bc a 3 ca b 4
abc
3
1 2
x k k k x k x k
x k x k k
x k x
x k
Dấu “=” xảy ra :x=2k
4
2 2 2 3
P
P
Vậy max 1 1 1
4
P khi c b a
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 4Bài 4(3 điểm):
Chứng minh rằng số
125 25
A
không phải là số nguyên tố
4
Đặt 25
5 x , khi đó A có dạng:
5
4 3 2
4 3 2
2
1 1
1 1
x A
x
x x x x x
x
x x x x
x x x x
Do x=525
nên dễ thấy cả hai nhân tử của (1) đều là hai số dương lớn hơn 1
Vậy
125 25
A
không phải là số nguyên tố
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0,5
Bài 5(3 điểm):
Trong mặt phẳng cho một đa giác đều gồm 1999 cạnh Người ta sơn các cạnh của đa giác bằng hai màu xanh và đỏ Chứng minh rằng phải tồn tại 3 đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân
5
Ta có đa giác đều gồm 1999 cạnh nên có 1999 đỉnh.Do đó phải tồn tại hai
đỉnh kề nhau P và Q được sơn cùng một màu
Vì đa giác đã cho là đa giác đều có một số lẻ đỉnh, cho nên phải tồn tại một
đỉnh nào đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng PQ.Giả sử đỉnh đó
là A
Nếu A tô màu đỏ thì ta có tam giác APQ là tam giác cân có 3 đỉnh A,P,Q
được tô cùng màu đỏ
Nếu A tô màu xanh.Lúc đó gọi B và C là các đỉnh khác của đa giác kề với
P và Q
Nếu cả 2 đỉnh B và C được tô ,màu xanh thì tam giác ABC cân và có 3
đỉnh cùng màu xanh
Nếu ngược lại một trong hai đỉnh B hoặc C mà tô màu đỏ thì tam giác
BPQ hoặc tam giác CPQ là các tam giác cân có 3 đỉnh được tô màu đỏ
0,5
0.5
0.5
0,5
0,5
0,5
Trang 5Bài 6(3 điểm):
Tìm mọi hàm số f(x) xác định với mọi x sao cho
f xy( ) f x y f x y 1 xy2x 1, ,x y R
6
Giả sử f(x) hàm số xác định với mọi x và
f xy( ) f x y f x y 1 xy2x 1, ,x y R (1)
Thay y=-1 vào (1) ta được:
Thay y=0 vào (1) ta được:
Từ (2),(3) suy ra f x( ) f 0 x, x R (4)
Thay x=-x vào (4) ta được:
(0) 0, (6)
Đặt g x( ) f x x g x( )g(0), x R (7)
Viết lại (1) dưới dạng sau:
( ) ( ) ( 1) 0, , (8)
Thay vào (7) lần lượt x bởi xy,x-y,x+y+1 thì từ (8) có
3 (0) 0g g(0) 0 g x( ) 0, x R f x( ) x, x R
Thử lại thấy f x x , x R thỏa mãn đề bài
Vậy có duy nhất hàm số f(x)= x là nghiệm cần tìm
0.5
0.5 0.5
0.5
0.5
0.5
………Hết………