John Couch Adams (Ngày 5 tháng 6 năm 1819 ngày 21 tháng 1 năm 1892) là một nhà toán học và thiên văn học Anh. Adams sinh ra ở Laneast, gần Launceston, Cornwall và qua đời tại Cambridge. Thành tích của ông nổi tiếng nhất là dự đoán sự tồn tại và vị trí của Sao Hải Vương, chỉ sử dụng phương pháp toán học. Các tính toán đã được thực hiện để giải thích sự khác biệt với quỹ đạo của Sao Thiên Vương và định luật của Kepler và Newton. Đồng thời, nhưng không rõ với nhau, cùng các tính toán đã được thực hiện bởi Urbain Le Verrier. Le Verrier sẽ hỗ trợ các nhà thiên văn học quan sát Berlin Johann Gottfried Galle trong việc định vị các hành tinh vào ngày 23 Tháng 9 năm 1846, được tìm thấy trong phạm vi 1 °Của vị trí dự đoán của nó, một điểm trong chòm sao Bảo Bình.
Trang 1LỜI GIẢI BÀI TẬP (HD: Lê Văn Quý, THPT bình Sơn )
Bài 7 Cho tam giác ABC đều và có cạnh a M là một điểm tùy ý trên đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC Tính độ dài của MA MB MC
Lời giải
Gọi G là trong tâm tam giác ABC
Vì tam giác ABC đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
a a
3
a
Bài 8 Cho tam giác ABC.Gọi H là điểm đối xứng của trọng tâm G qua B Đặt AG a ,AH b a) CMR: HA 5HB HC 0 b) Biễu diễn AB theo avà b c) Tìm x, y biết AC xa yb
Lời giải
a) Gọi M là trung điểm AC
Ta có HA HC 2HM và HM 52HB
2
b) Vì B là trung điểm của HG nên 1 1
c) Gọi K là trung điểm của BC ta có: 1 1
Bài 9 Cho tam giác ABC
a) Hãy xác định và dựng các điểm I, J thoả
d IA IB 2IC AB ; JA JB JC AB 2.AC
b) Xác định điểm M sao cho MA MB 2MC AB nhỏ nhất
c) Xác định điểm N trên AB sao cho JA JB JC AB 2.AC nhỏ nhất
K
M A
G
H
C B
A
G
M
Trang 2Lời giải
IC AB
IC AB điểm I được xác định như hình vẽ ( I là đỉnh của hình bình hành ABCI)
* Gọi G là trong tâm tam giác ABC JA JB JC 3JG
Lấy điểm F trên AC sao cho 2.AC AF
3
3
JG DB điểm J được xác định như hình vẽ
CG CM DB DB điểm I trùng với điểm C
Bài 10 Cho tam giác ABC tìm tập hợp các điểm M sao cho
a) |MA BC | |MA MB| b) |MA MB| |MB MC |
c) | 4MA MB MC | | 2MA MB MC | d) mMA MB MC CA
Lời giải:
a) Gọi I là điểm thỏa mãn IA BC 0 I là đỉnh của hình bình hành ABCI I cố định (hình vẽ)
Do đó |MA BC | |MA MB | |MI | |BA| MI BA
Do BA không đổi và I cố định quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I bán kính BA
K
A
I
G
I K
A
G
D M
A
I
Trang 3b) |MA MB| |MB MC |
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và BC MA MB 2ME MB; MC 2MF
Vì E, F cố định nên quỹ tích điểm M là đường thẳng d là trung trực đoạn EF
c) | 4MA MB MC | | 2MA MB MC |
Ta có 2MA MB MC 2MA (MA AB) (MA AC) (AB AC) 2AF với F là
trung điểm của BC
Gọi P là điểm sao cho 4PA PB PC 0
2
PA PF PA PF suy ra điểm P cố định và xác định
3
Do P cố định nên quỹ tích điểm M là đường tròn tâm P bán kính 1
3AF
mMA MC MB CA mMA BC CA
mMA CA BC CA CB 2CE (*)
Nếu m = 0 thì (*) không đúng quỹ tích là tập rỗng
Nếu m ≠ 0 thì (*) MA 2 CE
m MA,CE cùng phương quỹ tích điểm M là đường thẳng Qua A
và song song với CE
Bài 11 Cho tam giác ABC có AM ,BN,CK lần lượt là trung tuyến của tam giác Gọi I là trung điểm của AM
Chứng minh rằng:
a) AM BN CK 0
b) 2 IA IB IC 0và 2 OA OB OC 4OI với mọi điểm O
c) Biễu diễn vecto AB theo hai vecto AM và BK
Lời giải:
Vì M là trung điểm của BC nên AM 21AB 12AC
Vì N là trung điểm của AC nên BN 12BA 12BC
d
F E
A
Trang 4Vì K là trung điểm của AB nên CK 12CA 21CB
AM BN CK AB AC BA BC CA CB
b)
Ta có 2 IA IB IC 2 IA 2IM (vì M là trung điểm của BC)
2 (IA IM) 0 (Vì I là trung điểm AM)
Ta có: 2 OA OB OC 2 (OI IA) OI IB OI IC 4OI 2IA IB IC 4OI
c) AB GB GA 23BN 23AM 23AM 23BN
Bài 12 a) Cho ABC, M là một điểm trên cạnh AB sao cho MA = 2MB, N là điểm trên AC sao cho AN
= 3NC Gọi I là trung điểm của MN Biễu diễn AI theo hai vecto AB AC,
b) Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a M là điểm tùy ý Đặt v 3MA MB MC MD Tính độ dài của v
Lời giải:
(AB AC AD) 2AC
v 2AC 2AC 2a 2
I G
M
A
I A