Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.. CMR: ∀m≠ 0 thì đường thẳng y=mx− 2m luôn cắt đồ thị đã cho tại hai điểm phân biệt và trong đó có ít nhất một giao điểm có hoành độ
Trang 1TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Thời Gian: 150 phút (Đề: 1)
I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm):
Cho hàm số:
x
x
y= −1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho
2 CMR: ∀m≠ 0 thì đường thẳng y=mx− 2m luôn cắt đồ thị đã cho tại hai điểm phân biệt và trong đó có ít nhất một giao điểm có hoành độ dương
Câu 2 (3,0 điểm):
1 Giải phương trình:
log3 (3x − 1).log3 (3x+ 1 − 3) =6
2 Tính tích phân sau:
dx x
x
5
1
= ∫
3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
x x
x
f( ) = 2 cos 2 + 4 sin trên đoạn 0; 2
π
Câu 3 (1 điểm):
Cho tứ diện ABCD Gọi B’ và C’ lần lượt là trung điểm của AB và AC Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB’C’D và khối tứ diện ABCD
II – PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó.
1 Theo chương trình Chuẩn
Câu 4 ( 2,0 điểm) :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình: x3−1= y1+2= z+42 và
mặt phẳng (P) có phương trình: 6x− 14y−z− 40 = 0
1 Chứng minh rằng d song song với (P) Tính khoảng cách giữa d và (P)
2.Tìm điểm N đối xứng với điểm M(1;−1;0) qua đường thẳng d.
Câu 5 ( 1,0 điểm) :
Tính môđun của số phức z biết: z=(2 i− 3)
+ 3 2
1
i
2 Theo chương trình Nâng cao
Câu 4 ( 2,0 điểm) :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng có phương trình:
∆1: 1 1 2
x+ = y− = z−
, ∆2: 2 2
x− = y+ = z
− và mặt phẳng (P): 2x − y − 5z + 1 = 0.
1 Chứng minh rằng ∆1 và ∆2 chéo nhau Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ấy
2 Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với (P), đồng thời cắt cả ∆1 và ∆2
Câu 5 ( 1,0 điểm) :
Trang 2Tìm dạng đại số của số phức z biết:
2
3 2
1
+
−
………HẾT……….
ĐÁP ÁN Câu 1:
1/ Tập xác định D = R {\ }0 Sự biến thiên: Chiều biến thiên: x D x y'= 12 >0, ∀ ∈ Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞ ; 0 ) và ( 0 ; +∞ ) Cực trị: hàm số không có cực trị Giới hạn: lim = lim = 1 ∞ − → ∞ − → y y x x ; = −∞ = +∞
− + → → y y x x lim lim 0 0 ; Suy ra đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là: x=0 và tiệm cận ngang là: y=1 Bảng biến thiên: x -∞ 0 +∞
y’ + -
y + ∞ 1
1 -∞
Đồ thị cắt trục Ox tại điểm (1;0) và cắt truc Oy tại điểm (0; -1) Đồ thị nhận điểm I(0; 1) làm tâm đối xứng Đồ thị (vẽ hình) 2/ Phương trình hoành độ giao điểm: mx m x x 2 1 = − − ⇔mx2 − ( 2m+ 1 )x+ 1 = 0 , x≠ 0 (1)
Để đồ thị cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt thì Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 0
0 1
0 4 )1 2(
0
2 ⇔ ≠
≠
>
− +
=∆
≠
m
Với m≠0:
=
=
+
= +
=
m x x P
m
m x x S
1
1 2
2 1 2 1
Trang 3Nếu m< 0 ⇒ P< 0 ⇒ pt(1) có 2 nghiệm trái dấu
Nếu m> 0 ⇒
>
>
⇒
0
0
P
S
pt(1) có 2 nghiệm phân biệt dương
Vậy ∀m≠0 thõa yêu cầu bài toán
Câu 2:
1/.
Điều kiện: x > 0
(1) ⇔ log3( 3x − 1 ).[ 1 + log3( 3x − 1 )] = 6 (2)
Đặt: log3( 3x − 1 )= t
(2) ⇔ t(t+1) = 6⇔
=
−
= 2
3
t t
Với t= -3: log3( 3x − 1 ) = − 3 ⇔x= log3 2728
Với t= 2: log3( 3x − 1 ) = 2 ⇔ x= log310
2/.
Đặt t= x2 − 1 ⇒t2 = x2 − 1 ⇒ 2tdt = 2xdx
Đổi cận x= 1 ⇒t= 0 ; x= 5 ⇒t = 2
I=
15
136 )
3 5 ( ) (
).
1
(
2
0
2
0
3 5 2
4 2
0
3/.
f(x) = 2 ( 1 − 2 sin 2 x) + 4 sinx= − 2 2 sin 2x+ 4 sinx+ 2
Đặt t= sinx, ] [ 0 ; 1 ]
2
; 0
∈
Hàm số viết lại là: g(t) = − 2 2t+ 4t+ 2
⇒g' (t) = − 4 2t+ 4
Cho g’(t) = 0 ⇔
2
2
=
t
Ta có g( 0 ) = 2 ; g( 1 ) = 4 − 2 ; ) 2 2 ;
2
2 ( =
g
max ( ) 2 2
] 2
;
0
[
=
∈
x f
x π ; min ( ) 2
] 2
; 0 [
=
∈
x f
x π
Câu 3:
Gọi H là chân đường cao kẽ từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC)
VAB C D S AB C DH AB'.AC'.sin(B'AˆC').DH
6
1
3
1
' ' '
Trang 4VABCD S ABC DH AB.AC.sin(B AˆC).DH
6
1
3
1
=
= ∆
4
1
' '.
'
⇒
AC AB
AC
AB
V
V
ABCD
D C AB
Theo chương trình chuẩn
Câu 4:
1/
d: vtcp: ad = ( 3 ; 1 ; 4 ) d đi qua M(1;-2;-2)
(P): vtcp: aP =(6;−14;−1)
≠−+
−−
=−−
⇔
∉
=
⇔
040 2)2(
141.6
04
1418 )(
0.
)//(
PM
na
Pd Pd
(đúng)
d(d,(P))= d(M,(P))= 662.1 (2814)22 (401)2 = 2334
− +
− +
− + +
2/
Gọi H là hình chiếu của M trên d
) 4 2
; 1
; 3 ( )
4 2
; 2
; 3 1
H
d
H∈ ⇒ + − + − + ⇒ = − + − +
26
9 0
⇔
Suy ra H( ; ; )
Điểm N đối xứng với M qua suy ra H là trung điểm MN ⇒N( ; ; )
Câu 5:
i i
i i
z
2
3 3 4 3 2
3 3
2
1 + − − 2 = +
2
29 4
27
16 + =
=
Theo chương nâng cao:
Câu 4:
1/
:
1
∆ vtcp a1(2;3;1) , ∆ 1 đi qua M1(-1;1;2)
:
2
∆ vtcp a2(1;5;−2), ∆ 2 đi qua M2(2;-2;0)
Ta có: [a1,a2]=(−11;5;7) , M1M2 = ( 3 ; − 3 ; 2 )
0 62 ) 2 ( 7 ) 3 ( 5 3 11 ].
,
Vậy ∆ 1 chéo ∆ 2 :
Trang 562 49
25 121
62 ]
, [
].
, [ ) , (
2 1
2 1 2 1 2
+ +
=
=
∆
∆
a a
M M a a
2/
Gọi A,B lần lượt là giao điểm của ∆ với ∆ 1 và ∆ 2
) 2
; 3 1
; 2 1 (
) ' 2
;' 5 2
;' 2 (
) ' 2 2
; 3 ' 5 3
; 2 ' 3
AB = + − − + − − − −
⇒
)
(P
⊥
∆ suy ra AB cùng phương nP
=
=
⇔
−=
−
−=
−
⇔
−
−
−
−=
−
− +
−=
−
+
⇒
1 '
1 13
' 27 14
3 ' 11 8
5
'2
2 1
3' 5
3 2
2' 3
t
t t
t
t t
t t t
t t
t
Suy ra A(1;4;3), B(3;3;-1) Đường thẳng ∆ qua A(1;4;3) và có vtcp AB = ( 2 ; − 1 ; − 5 ) là: 21 14 = −−53
−
−
=
x
Câu 5:
i i
i
i i
z
2
3 2
1 3
4 sin 3
4 cos ) 3
4 1338 sin(
) 3
4 1338
cos(
3
4018 sin 3
4018 cos )
3
2 sin 3
2
(cos 2009
−
−
= +
= + +
+
=
+
= +
=
π π
π π π
π
π π
π π
