bg hung HD slidetalks 1 nha trang 2016

Bài toán 4Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho n4+ 1 cómột ước nguyên tố p> 2n... Bài toán 4Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho n4+ 1 cómột ước ngu

Một số bài toán về sự tồn tại

Hà Duy Hưng

Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội

Nha Trang, Tháng 7/2016

Mục lục

1 1 Giới thiệu

2 2 Lập luận của Euclid

3 3 Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất

4 4 Đưa về phương trình đồng dư bậc hai

5 5 Về một số cách tiếp cận khác

6 6 Bài tập tham khảo

Phương pháp chung của bài này

Lập luận Euclid, phương trình đồng dư, tính chất số học của các biểuthức hoặc loại số đặc biệt, quy nạp, cực hạn, Dirichlet

2 Lập luận của Euclid

2 Lập luận của Euclid

` Chứng minh Bổ đề 1: Nếu x2 ≡ −1 (mod p) thì xp−1≡(−1)p−12(mod p) Theo định lý Fermat bé 1 ≡ xp−1≡(−1)p−12 (mod p) Do đó

p − 1

2 chẵn.

` Xét M = 2p1· · ·pn thì số M2+ 1 chỉ có ước nguyên tố dạng4k + 1

` Lấy pn+1 |M2+ 1 ta được kết quả

` Chứng minh Bổ đề 1: Nếu x2 ≡ −1 (mod p) thì xp−1≡(−1)p−12(mod p) Theo định lý Fermat bé 1 ≡ xp−1≡(−1)p−12 (mod p) Do đó

p − 1

2 chẵn.

` Xét M = 2p1· · ·pn thì số M2+ 1 chỉ có ước nguyên tố dạng4k + 1

` Lấy pn+1 |M2+ 1 ta được kết quả

*Phát triển bài toán 1:

B Có vô hạn số nguyên tố dạng 4k − 1

B Có vô hạn số nguyên tố dạng 6k + 1 Tương tự cho 6k − 1!

B Cho n ∈ Z+ Khi đó tồn tại vô hạn số nguyên tố dạng

2nk + 1, với k ∈ Z nào đó

B Cho p ∈ P lẻ Khi đó tồn tại vô hạn số nguyên tố dạng

pk + 1, với k ∈ Z nào đó

Bài toán 2 (Romani TST)

Cho số nguyên a> 1 Chứng minh rằng từ dãy

và ∗∗ nguyên tố cùng nhau với M

` Lấy ∗∗ = a thì bài toán rút về an≡1 (mod M)

` Vậy n := tϕ(M)– hàm Euler Do đó xk+1 := an+1+ an−1

Bài toán 2 (Romani TST)

Cho số nguyên a> 1 Chứng minh rằng từ dãy

và ∗∗ nguyên tố cùng nhau với M

` Lấy ∗∗ = a thì bài toán rút về an≡1 (mod M)

` Vậy n := tϕ(M)– hàm Euler Do đó xk+1 := an+1+ an−1

*Phát triển bài toán 2:

B Cho a> 1 nguyên Từ dãy xn= an+1−an+ 1 có thể trích ramột dãy con vô hạn các số hạng đôi một nguyên tố cùng nhau

B Tìm tất cả các số nguyên a> 1 sao cho từ dãy {an−1}n≥1 cóthể trích ra một dãy con vô hạn, có các số hạng đôi một nguyên tốcùng nhau

B Tìm tất cả các số nguyên a> 1 sao cho từ dãy {an+ 1}n≥1 cóthể trích ra một dãy con vô hạn, có các số hạng đôi một nguyên tốcùng nhau

Bài toán 3

Tìm số nguyên c sao cho dãy số {2n+ c}n≥1 có vô hạn ước nguyên tố

` p ∈ P được gọi là ước nguyên tố của dãy (xn) nếu p | xn với

n ∈ Z+ nào đó

` c = 0 không thỏa mãn Xét c , 0: đây là đáp số!

` Phản chứng giả sử có hữu hạn p1 < · · · < pk như vậy

` Từ c , 0 ta có thể coi c làlẻ

` vpi(2a+t+ c) = ai với i = 1, , r và = 0 với i > r.

` Do đó 2a+t+ c = 2a+ c, mâu thuẫn!

` vpi(2a+t+ c) = ai với i = 1, , r và = 0 với i > r.

` Do đó 2a+t+ c = 2a+ c, mâu thuẫn!

*Phát triển bài toán 3:

B Giả sử f : Z+→ Z+ hàm khác hằng số mà a − b | f(a) − f(b)với mọi a, b ∈ Z+ Chứng minh rằng tồn tại vô hạn p nguyên tố mà

p | f(n) với n ∈ Z+ nào đó

B Có thể thay thế c 7→ P(x): đa thức hệ số nguyên khác hằngsố; và 2 7→ a> 1

B Kết quả tổng quát

Định lý 2 (H Kobayashi Tokyo J Math Vol.4 (1981) )

Nếu M là tập vô hạn các số nguyên dương mà chỉ có hữu hạn ước

nguyên tố, thì với mọi số nguyên c , 0 tập M + c có vô hạn ước nguyêntố

Bài toán 4

Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho n4+ 1 cómột ước nguyên tố p> 2n

` ∃vô hạn số nguyên tố p sao cho p | n4+ 1 Thực vậy:

` Nếu p1, , pk là các số nguyên tố thỏa mãn thì xét

M = (p1· · ·pk)4+ 1

Bài toán 4

Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho n4+ 1 cómột ước nguyên tố p> 2n

` ∃vô hạn số nguyên tố p sao cho p | n4+ 1 Thực vậy:

` Nếu p1, , pk là các số nguyên tố thỏa mãn thì xét

M = (p1· · ·pk)4+ 1

` Mỗi p nguyên tố mà p | M thoả mãn và khác p1, , pk.

*Phát triển bài toán 4:

B Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương n mà

n2+ 1 có một ước nguyên tố p> 2n + √2n

` Mỗi p nguyên tố mà p | M thoả mãn và khác p1, , pk.

*Phát triển bài toán 4:

B Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương n mà

n2+ 1 có một ước nguyên tố p> 2n + √2n

3 Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất

Định lý 3 (Bézout)

Phương trình

có nghiệm khi và chỉ khi gcd(a, m) | b (a, b ∈ Z; m ∈ Z+)

` Kết quả vẫn đúng cho nhiều biến!

"có nghiệm" →"tồn tại"

Định lý 4 (Dạng khác)

Phương trình ax + by = c có nghiệm khi và chỉ khi gcd(a, b) | c Ở đây

a, b, c ∈ Z và |a| + |b| > 0

3 Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất

Định lý 3 (Bézout)

Phương trình

có nghiệm khi và chỉ khi gcd(a, m) | b (a, b ∈ Z; m ∈ Z+)

` Kết quả vẫn đúng cho nhiều biến!

"có nghiệm" →"tồn tại"

Định lý 4 (Dạng khác)

Phương trình ax + by = c có nghiệm khi và chỉ khi gcd(a, b) | c Ở đây

a, b, c ∈ Z và |a| + |b| > 0

3 Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất

Định lý 3 (Bézout)

Phương trình

có nghiệm khi và chỉ khi gcd(a, m) | b (a, b ∈ Z; m ∈ Z+)

` Kết quả vẫn đúng cho nhiều biến!

"có nghiệm" →"tồn tại"

Định lý 4 (Dạng khác)

Phương trình ax + by = c có nghiệm khi và chỉ khi gcd(a, b) | c Ở đây

a, b, c ∈ Z và |a| + |b| > 0

` Nhưng đôi khi ”x” cần thoả mãn một lúc nhiều điều kiện

Định lý 5 (CRT)

Biết m1, , mk là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau;

r1, , rk nguyên tuỳ ý Khi đó hệ

Bài toán 5

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, tồn tại các số nguyêndương x, y sao cho n | x2−34y2+ 1

Lời giải bài toán 5

` 34 = 32+ 52 → x2−34y2+ 1 = x2−(5y)2−(3y)2+ 1

` Nếu 3 - n thì chọn y, x sao cho 3y ≡ 1 (mod n) và x ≡ 5y

(mod n) Tương tự 5 - n

` Viết n = 3a·m với gcd(m, 3) = 1

` Chọn 5y1 ≡1 (mod 3a) và x1≡3y1 (mod 3a) Khi đó

3a|x21−34y12+ 1

Bài toán 5

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, tồn tại các số nguyêndương x, y sao cho n | x2−34y2+ 1

Lời giải bài toán 5

` 34 = 32+ 52 → x2−34y2+ 1 = x2−(5y)2−(3y)2+ 1

` Nếu 3 - n thì chọn y, x sao cho 3y ≡ 1 (mod n) và x ≡ 5y

(mod n) Tương tự 5 - n

` Viết n = 3a·m với gcd(m, 3) = 1

` Chọn 5y1 ≡1 (mod 3a) và x1≡3y1 (mod 3a) Khi đó

3a|x21−34y12+ 1

Bài toán 5

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, tồn tại các số nguyêndương x, y sao cho n | x2−34y2+ 1

Lời giải bài toán 5

` 34 = 32+ 52 → x2−34y2+ 1 = x2−(5y)2−(3y)2+ 1

` Nếu 3 - n thì chọn y, x sao cho 3y ≡ 1 (mod n) và x ≡ 5y

(mod n) Tương tự 5 - n

` Viết n = 3a·m với gcd(m, 3) = 1

` Chọn 5y1 ≡1 (mod 3a) và x1≡3y1 (mod 3a) Khi đó

3a|x21−34y12+ 1

Bài toán 6

Cho a, b là các số nguyên dương mà gcd(a, b) = 1 Chứng minh với mọi

số nguyên dương m, tồn tại n nguyên dương sao cho

m | (an + 1)(bn + 1)

` Với (a, m) = 1 hoặc (b, m) = 1 thì có thể chọn n sao cho

an + 1 ≡ 0 (mod m) hoặc bn + 1 ≡ 0 (mod m)!

` Trường hợp tổng quát: m 7→ pα, với p nguyên tố

Bài toán 6

Cho a, b là các số nguyên dương mà gcd(a, b) = 1 Chứng minh với mọi

số nguyên dương m, tồn tại n nguyên dương sao cho

m | (an + 1)(bn + 1)

` Với (a, m) = 1 hoặc (b, m) = 1 thì có thể chọn n sao cho

an + 1 ≡ 0 (mod m) hoặc bn + 1 ≡ 0 (mod m)!

` Trường hợp tổng quát: m 7→ pα, với p nguyên tố

` Khi đó gcd(a, p) = 1 hoặc gcd(b, p) = 1 Giả sử gcd(a, p) = 1.

` Tồn tại n1: an1+ 1 ≡ 0 (mod pα) Do đó f(n1) ≡ 0 (mod pα)

*Phát triển bài toán 6:

B Kết quả sai nếu gcd(a, b) = d > 1 Nhưng ∀n 7→??

B Với những tam thức bậc hai f(x) = ax2+ bx + c nào có tínhchất: với mọi số nguyên dương m tồn tại n nguyên sao cho f(n) ≡ 0(mod m)?

` Khi đó gcd(a, p) = 1 hoặc gcd(b, p) = 1 Giả sử gcd(a, p) = 1.

` Tồn tại n1: an1+ 1 ≡ 0 (mod pα) Do đó f(n1) ≡ 0 (mod pα)

*Phát triển bài toán 6:

B Kết quả sai nếu gcd(a, b) = d > 1 Nhưng ∀n 7→??

B Với những tam thức bậc hai f(x) = ax2+ bx + c nào có tínhchất: với mọi số nguyên dương m tồn tại n nguyên sao cho f(n) ≡ 0(mod m)?

Bài toán 7

Giả sử (an) là một cấp số cộng với các số hạng và công sai là các sốnguyên dương Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n saocho

an+ an+1+ · · · + an+2015- an·an+1· · ·an+2015

` Giả sử an= a0+ nd

` an+ · · · + an+2015= 2016a0+

2016n +2015 · 2016

2

d

` Cần tìm n để ∃ p ∈ P: p | VT, p - VP

Bài toán 7

Giả sử (an) là một cấp số cộng với các số hạng và công sai là các sốnguyên dương Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n saocho

an+ an+1+ · · · + an+2015- an·an+1· · ·an+2015

` Giả sử an= a0+ nd

` an+ · · · + an+2015= 2016a0+

2016n +2015 · 2016

2

d

` Cần tìm n để ∃ p ∈ P: p | VT, p - VP

` Lấy p ∈ P đủ lớn Ví dụ:

p> max2016d,

2016k − 2015 · 2016

2

: k = 0, 1, , 2015

` Lấy p ∈ P đủ lớn Ví dụ:

p> max2016d,

2016k − 2015 · 2016

2

... dụ:

p> max2 016 d,

2 016 k − 2 015 · 2 016

2

: k = 0, 1, , 2 015