bg hung HD slidetalks 2 nha trang 2016

` Bài này s≥ trình bày mÎt sË ph˜Ïng pháp gi£i các ph˜Ïng trìnhnghiªm nguyên b¨ng cách ˜a v∑ các ph˜Ïng trình Diophantine b™chai cÍ i∫n quen thuÎc nh˜: ph˜Ïng trình ki∫u Markoff, ph˜Ïng

Hà Duy H˜ng

Tr˜Ìng THPT Chuyên §i hÂc S˜ ph§m Hà NÎi

Nha Trang, Tháng 7/2016

3 MÎt sË bài toán minh ho§

4 Bài t™p tham kh£o

` Bài này s≥ trình bày mÎt sË ph˜Ïng pháp gi£i các ph˜Ïng trìnhnghiªm nguyên b¨ng cách ˜a v∑ các ph˜Ïng trình Diophantine (b™chai) cÍ i∫n quen thuÎc nh˜: ph˜Ïng trình ki∫u Markoff, ph˜Ïng trìnhPythagorean, ph˜Ïng trình Pell, và k∏t hÒp các k∏t qu£ sË hÂc cÏb£n.

` Bài này s≥ trình bày mÎt sË ph˜Ïng pháp gi£i các ph˜Ïng trìnhnghiªm nguyên b¨ng cách ˜a v∑ các ph˜Ïng trình Diophantine (b™chai) cÍ i∫n quen thuÎc nh˜: ph˜Ïng trình ki∫u Markoff, ph˜Ïng trìnhPythagorean, ph˜Ïng trình Pell, và k∏t hÒp các k∏t qu£ sË hÂc cÏb£n.

3 MÎt sË bài toán minh ho§

4 Bài t™p tham kh£o

` Ph˜Ïng trình Markoff-Hurwitz:

x2

1+· · · + x2

n= ax1· · · xn+ bvÓi a, b là các sË nguyên

` Ph˜Ïng pháp hay dùng

` Ph˜Ïng trình Markoff-Hurwitz:

x2

1+· · · + x2

n= ax1· · · xn+ bvÓi a, b là các sË nguyên

` Ph˜Ïng pháp hay dùng

3 MÎt sË bài toán minh ho§

4 Bài t™p tham kh£o

` Ph˜Ïng trình Pythagorean x2+ y2 = z2, ©n x, y, z nguyên d˜Ïng.

` Nghiªm nguyên thu : gcd(x, y, z) = 1

` Công th˘c nghiªm nguyên thu : N∏u 2 | x thì

Ph˜Ïng trình x4+ y4 = z2 không có nghiªm nguyên d˜Ïng.

` Không tÁn t§i hai sË chính ph˜Ïng d˜Ïng nào mà tÍng và hiªu làcác sË chính ph˜Ïng d˜Ïng

Ph˜Ïng trình x4+ y4 = z2 không có nghiªm nguyên d˜Ïng.

` Không tÁn t§i hai sË chính ph˜Ïng d˜Ïng nào mà tÍng và hiªu làcác sË chính ph˜Ïng d˜Ïng

Ph˜Ïng trình x4+ y4 = z2 không có nghiªm nguyên d˜Ïng.

` Không tÁn t§i hai sË chính ph˜Ïng d˜Ïng nào mà tÍng và hiªu làcác sË chính ph˜Ïng d˜Ïng

3 MÎt sË bài toán minh ho§

4 Bài t™p tham kh£o

` Nghiªm cÏ b£n cıa (1) là nghiªm d˜Ïng (x1,y1) sao cho mÂi

nghiªm d˜Ïng (u, v) cıa (1) thì x1  u và y1  v

` Ta nói x + yp

d là nghiªm cıa (1) n∏u (x, y) là nghiªm cıa (1)

` Nghiªm cÏ b£n cıa (1) là nghiªm d˜Ïng (x1,y1) sao cho mÂi

nghiªm d˜Ïng (u, v) cıa (1) thì x1  u và y1  v

` Ta nói x + yp

d là nghiªm cıa (1) n∏u (x, y) là nghiªm cıa (1)

‡nh l˛ 3

Ph˜Ïng trình (2) luôn có nghiªm nguyên N∏u (a, b) là nghiªm cÏ b£ncıa (2) thì mÂi nghiªm t¸ nhiên (xn,yn) cıa ph˜Ïng trình (2) ˜Òc chobi công th˘c

x0 = 0, x1= a, xn+2= 2axn+1 xn vÓi mÂi n 2 N,

y0 = 1, y1= b, yn+2= 2byn+1 yn vÓi mÂi n 2 N

` Tßt c£ các nghiªm cıa (2) nh™n ˜Òc nhÌ công th˘c sau

‡nh l˛ 3

Ph˜Ïng trình (2) luôn có nghiªm nguyên N∏u (a, b) là nghiªm cÏ b£ncıa (2) thì mÂi nghiªm t¸ nhiên (xn,yn) cıa ph˜Ïng trình (2) ˜Òc chobi công th˘c

x0 = 0, x1= a, xn+2= 2axn+1 xn vÓi mÂi n 2 N,

y0 = 1, y1= b, yn+2= 2byn+1 yn vÓi mÂi n 2 N

` Tßt c£ các nghiªm cıa (2) nh™n ˜Òc nhÌ công th˘c sau

d)n+1 (3)

d)(a + bp

d) = (ax0+ dby0) + (ay0+ bx0)p

d lànghiªm cıa (1)

‡nh l˛ 5

N∏u ph˜Ïng trình

x2 dy2 = 1 (4)vÓi d 2 Z+ không chính ph˜Ïng, có nghiªm trong ó (x1,y1) là nghiªm

cÏ b£n thì tßt c£ các nghiªm cıa (4) ˜Òc cho bi

pd)(a + bp

d) = (ax0+ dby0) + (ay0+ bx0)p

d lànghiªm cıa (1)

‡nh l˛ 5

N∏u ph˜Ïng trình

x2 dy2 = 1 (4)vÓi d 2 Z+ không chính ph˜Ïng, có nghiªm trong ó (x1,y1) là nghiªm

cÏ b£n thì tßt c£ các nghiªm cıa (4) ˜Òc cho bi

pd)(a + bp

d) = (ax0+ dby0) + (ay0+ bx0)p

d lànghiªm cıa (1)

‡nh l˛ 5

N∏u ph˜Ïng trình

vÓi d 2 Z+ không chính ph˜Ïng, có nghiªm trong ó (x1,y1) là nghiªm

cÏ b£n thì tßt c£ các nghiªm cıa (4) ˜Òc cho bi

Hª này vô nghiªm nên ph˜Ïng trình x2 34y2 = 1 vô nghiªm.

Hª này vô nghiªm nên ph˜Ïng trình x2 34y2 = 1 vô nghiªm.

do v™y k = 3 ho∞c k = 6.

` m = 1, 4

` m = 1: x2 = 5y2+ 4 Nghiªm (x, y) = (3, 1)

` m = 4: 4x2 = 8y2+ 4 hay x2= 2y2+ 1 Nghiªm (x, y) = (3, 2)

do v™y k = 3 ho∞c k = 6.

` m = 1, 4

` m = 1: x2 = 5y2+ 4 Nghiªm (x, y) = (3, 1)

` m = 4: 4x2 = 8y2+ 4 hay x2= 2y2+ 1 Nghiªm (x, y) = (3, 2)

*Phát tri∫n bài toán 1:

` Ph£n ch˘ng: tÁn t§i (a, b, c) vÓi a < b < c mà a + b + c bé nhßt.

` Ph£n ch˘ng: tÁn t§i (a, b, c) vÓi a < b < c mà a + b + c bé nhßt.

*Phát tri∫n bài toán 4:

B n = 1:IMO 1988

B n = 2: Cho a, b, c là các sË nguyên d˜Ïng tho£ mãn

f(a, b, c) = a2+ b2+ c2

abc + 1 là sË nguyên d˜Ïng Ch˘ng minh r¨ng f(a, b, c)

có th∫ bi∫u diπn thành tÍng hai sË chính ph˜Ïng

B n 2, a, b 2 N, a b: N∏u ph˜Ïng trình Hurwitz có nghiªm thì

b là tÍng cıa n 1 sË chính ph˜Ïng

B a = 1, b = 0: TÁn t§i vô h§n n sao cho tÁn t§i t™p A ⇢ Z+ có nph¶n t˚ sao cho Px2Ax2 =Q

BÍ ∑ 3

N∏u a, b, c, d nguyên d˜Ïng mà ac = bd thì tÁn t§i x, y, z, t nguyên

d˜Ïng sao cho a = xz, b = xt, c = yt, d = yz

` T¯ (6): TÁn t§i a, b, c, d 2 Z+ mà x = 2ac, y = bd, m = ad,

*Phát tri∫n bài toán 5:

B N∏u x, y, z là các sË t¸ nhiên tho£ mãn x4+ x2y2+ y4 = z2 thì

xy = 0

B (Fermat) Không tÁn t§i bËn sË chính ph˜Ïng d˜Ïng, ôi mÎtphân biªt l™p thành mÎt cßp sË cÎng

Bài toán 6 (IMO Shortlist)

Bài toán 6 (IMO Shortlist)

yi ! 3 + 2p2.

B Có th∫ dùng ph˜Ïng trình Euler

yi ! 3 + 2p2.

B Có th∫ dùng ph˜Ïng trình Euler

l¥.

Ch˘ng minh

` Ph£n ch˘ng: x2 m

+ y2m là sË chính ph˜Ïng ho∞c hai l¶n sË chínhph˜Ïng

Bài toán 9

Ch˘ng minh r¨ng tÁn t§i vô sË c∞p (x, y) nguyên d˜Ïng nghiªm úngph˜Ïng trình

xy

Bài toán 9

Ch˘ng minh r¨ng tÁn t§i vô sË c∞p (x, y) nguyên d˜Ïng nghiªm úngph˜Ïng trình

xy

` CÜN "vô sË y": TÁn t§i vô sË k ∫ uk⌘ 1 (mod 5).

B Ch˘ng minh r¨ng ph˜Ïng trình 3x2+ y = 2y2+ x có vô sË

nghiªm nguyên d˜Ïng

B TÁn t§i vô sË n nguyên d˜Ïng sao cho 2015n + 1, 2016n + 1 là

` CÜN "vô sË y": TÁn t§i vô sË k ∫ uk⌘ 1 (mod 5).

B Ch˘ng minh r¨ng ph˜Ïng trình 3x2+ y = 2y2+ x có vô sË

nghiªm nguyên d˜Ïng

B TÁn t§i vô sË n nguyên d˜Ïng sao cho 2015n + 1, 2016n + 1 là

` CÜN "vô sË y": TÁn t§i vô sË k ∫ uk⌘ 1 (mod 5).

B Ch˘ng minh r¨ng ph˜Ïng trình 3x2+ y = 2y2+ x có vô sË

nghiªm nguyên d˜Ïng

B TÁn t§i vô sË n nguyên d˜Ïng sao cho 2015n + 1, 2016n + 1 là

Bài toán 10

Hãy xác ‡nh giá tr‡ nh‰ nhßt cıa bi∫u th˘c

S = pq p

7q2 ,trong ó p, q là các sË nguyên thay Íi vÓi q , 0

` min S = S(8, 3) = 24 9p

7

` Ta ch˘ng minh S 24 9p

7 =: ↵

Bài toán 10

Hãy xác ‡nh giá tr‡ nh‰ nhßt cıa bi∫u th˘c

S = pq p

7q2 ,trong ó p, q là các sË nguyên thay Íi vÓi q , 0

` min S = S(8, 3) = 24 9p

7

` Ta ch˘ng minh S 24 9p

7 =: ↵

` B£ng 1:9 | vn khi và chø khi n ⌘ 4 (mod 9).

` B£ng 1:9 | vn khi và chø khi n ⌘ 4 (mod 9).

` B£ng 1:9 | vn khi và chø khi n ⌘ 4 (mod 9).

` B£ng 2:17 | vn khi và chø khi n ⌘ 4 (mod 9).

` Do ó 3(m 1)/2< (vn) khi n 5

B Tìm m 2 Z+ ∫ 3m 11là sË chính ph˜Ïng

B Tìm m 2 Z+ ∫ 2 (3m 1) là sË chính ph˜Ïng

` B£ng 2:17 | vn khi và chø khi n ⌘ 4 (mod 9).

` Do ó 3(m 1)/2< (vn) khi n 5

B Tìm m 2 Z+ ∫ 3m 11là sË chính ph˜Ïng

B Tìm m 2 Z+ ∫ 2 (3m 1) là sË chính ph˜Ïng

Bài toán 13

Tìm tßt c£ các sË nguyên tË p sao cho ph˜Ïng trình

(p 2)x2 (p + 2)y2 = p

có nghiªm nguyên

Bài toán 14 (IMO 2007)

Cho a, b là các sË nguyên d˜Ïng tho£ mãn 4ab 1 | (4a2 1)2 Ch˘ngminh r¨ng a = b

Bài toán 15 (IMO Shortlist 2009)

Tìm tßt c£ các sË nguyên d˜Ïng n sao cho tÁn t§i n sË nguyên d˜Ïng

a1, ,an mà ak+1= a2

k+ 1

ak 1+ 1 1 vÓi mÂi k mà 2  k  n 1

Bài toán 16 (IMO 1988)

Cho a, b, c là các sË nguyên d˜Ïng tho£ mãn f(a, b, c) = a2+ b2+ c2

abc + 1 là

sË nguyên d˜Ïng Ch˘ng minh r¨ng f(a, b, c) có th∫ bi∫u diπn thànhtÍng hai sË chính ph˜Ïng

Bài toán 17 (Vietnam TST 2002)

TÁn t§i n 2002 và a1, ,an các sË nguyên d˜Ïng sao cho:

Bài toán 26 (VMO 2012)

Xét hai sË nguyên d˜Ïng l¥ a, b mà a | b2+ 2 và b| a2+ 2 Ch˘ng minhr¨ng a, b là các sË h§ng cıa dãy sË (vn) cho bi v1 = v2= 1 và

vn= 4vn 1 vn 2 vÓi mÈi n 3

Bài toán 27 (Vietnam TST 2012)

Cho dãy sË (xn)n 1 vÓi x1 = 1, x2= 2011 và xn+2= 4022xn+1 xn vÓimÂi n 2 Z+ Ch˘ng minh r¨ng x2012+ 1

2012 là sË chính ph˜Ïng.

Bài toán 28 (VMO 1999)

Cho hai dãy sË {xn}n 0 và {yn}n 0 xác ‡nh bi

x0 = 1, x1 = 4, xn+2 = 3xn+1 xn,

y0 = 1, y1 = 2, yn+2 = 3yn+1 yn,vÓi mÂi sË t¸ nhiên n Gi£ s˚ r¨ng a, b là các sË nguyên d˜Ïng mà

a2 5b2+ 4 = 0 Ch˘ng minh r¨ng tÁn t§i k2 N sao cho a = xkvà

b = yk

Bài toán 29 (Vietnam TST 1995)

Tìm tßt c£ các c∞p (a, b) nguyên d˜Ïng sao cho a2+ b2

ab 1 là sË nguyên.Bài toán 30

Tìm tßt c£ các sË nguyên d˜Ïng n bi∫u diπn ˜Òc d˜Ói d§ng

n = (x + y + z)2

xyztrong ó x, y, z nguyên d˜Ïng

Bài toán 31 (VMO 2002)

Tìm tßt c£ các sË nguyên d˜Ïng n bi∫u diπn ˜Òc d˜Ói d§ng

n = x + y + z + tpxyzt trong ó x, y, z, t nguyên d˜Ïng

MÎt bÎ ba Pythagorean là bÎ ba (x, y, z) nguyên d˜Ïng vÓi x < y và

z2= x2+ y2 Ch˘ng minh r¨ng vÓi mÈi sË nguyên d˜Ïng n, tÁn t§i vô

sË sË nguyên d˜Ïng a mà xußt hiªn úng n l¶n trong các bÎ ba

Pythagorean

Hàm sË f : Z ! Z ˜Òc gÂi là may m≠n n∏u ph˜Ïng trình T(x)T(y) = f(y)

vô nghiªm ho∞c chø có mÎt sË h˙u h§n nghiªm nguyên d˜Ïng (x, y).(1) Ch˘ng minh r¨ng n∏u f(x) = k2 vÓi mÂi x 2 Z, trong ó k > 1 là

mÎt sË nguyên cho tr˜Óc thì f là may m≠n

XIN CÉM ÃN QUfi THÜY CÔ Ã THEO DÕI!