Định lý 3 (Bézout) Phương trình
ax≡b (mod m) (1)
có nghiệm khi và chỉ khi gcd(a,m)|b. (a,b∈Z; m∈Z+).
` Kết quả vẫn đúng cho nhiều biến!
"có nghiệm" →"tồn tại".
Định lý 4 (Dạng khác)
Phương trình ax+by=c có nghiệm khi và chỉ khi gcd(a,b)|c. Ở đây a,b,c∈Z và|a|+|b|>0.
3. Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất
3. Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất
Định lý 3 (Bézout) Phương trình
ax≡b (mod m) (1)
có nghiệm khi và chỉ khi gcd(a,m)|b. (a,b∈Z; m∈Z+).
` Kết quả vẫn đúng cho nhiều biến!
"có nghiệm" →"tồn tại".
Định lý 4 (Dạng khác)
Phương trình ax+by=c có nghiệm khi và chỉ khi gcd(a,b)|c. Ở đây a,b,c∈Z và|a|+|b|>0.
3. Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất
Định lý 3 (Bézout) Phương trình
ax≡b (mod m) (1)
có nghiệm khi và chỉ khi gcd(a,m)|b. (a,b∈Z; m∈Z+).
` Kết quả vẫn đúng cho nhiều biến!
"có nghiệm" →"tồn tại".
Định lý 4 (Dạng khác)
Phương trình ax+by=c có nghiệm khi và chỉ khi gcd(a,b)|c. Ở đây a,b,c∈Z và|a|+|b|>0.
3. Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất
` Nhưng đôi khi”x”cần thoả mãn một lúc nhiều điều kiện ...
Định lý 5 (CRT)
Biết m1, . . . ,mk là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau;
r1, . . . ,rk nguyên tuỳ ý. Khi đó hệ
x≡r1 (mod m1)
ã ã ã ã x≡rk (mod mk)
(2)
CRT = Chinese remainder theorem!
Bài toán 5
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, tồn tại các số nguyên dương x,y sao cho n|x2−34y2+1.
Lời giải bài toán 5.
` 34=32+52 → x2−34y2+1=x2−(5y)2−(3y)2+1.
` Nếu 3-n thì chọn y,x sao cho 3y≡1 (mod n) và x≡5y (mod n). Tương tự 5-n ...
` Viết n=3aãm với gcd(m,3) =1.
` Chọn 5y1 ≡1 (mod 3a) và x1≡3y1 (mod 3a). Khi đó 3a|x21−34y12+1.
3. Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất
Bài toán 5
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, tồn tại các số nguyên dương x,y sao cho n|x2−34y2+1.
Lời giải bài toán 5.
` 34=32+52 → x2−34y2+1=x2−(5y)2−(3y)2+1.
` Nếu 3-n thì chọn y,x sao cho 3y≡1 (mod n) và x≡5y (mod n). Tương tự 5-n ...
` Viết n=3aãm với gcd(m,3) =1.
` Chọn 5y1 ≡1 (mod 3a) và x1≡3y1 (mod 3a). Khi đó 3a|x21−34y12+1.
Bài toán 5
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, tồn tại các số nguyên dương x,y sao cho n|x2−34y2+1.
Lời giải bài toán 5.
` 34=32+52 → x2−34y2+1=x2−(5y)2−(3y)2+1.
` Nếu 3-n thì chọn y,x sao cho 3y≡1 (mod n) và x≡5y (mod n). Tương tự 5-n ...
` Viết n=3aãm với gcd(m,3) =1.
` Chọn 5y1 ≡1 (mod 3a) và x1≡3y1 (mod 3a). Khi đó 3a|x21−34y12+1.
3. Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất
` Viết n=3aãm với gcd(m,3) =1.
` Chọn 5y1 ≡1 (mod 3a) và x1≡3y1 (mod 3a). Khi đó 3a|x21−34y12+1.
` Chọn 3y2 ≡1 (mod m) và x2 ≡5y2 (mod m)thì m|x22−34y22+1.
` Chọn
x≡x1 (mod 3a) x≡x2 (mod m) và
y≡y1 (mod 3a)
x≡y2 (mod m) . Khi đó n|x2−34y2+1.
*Phát triển bài toán 5:
B x2−34y2+17→xk−(uk+vk)yk+1 với k∈Z+ và u,v∈Z.
` Viết n=3aãm với gcd(m,3) =1.
` Chọn 5y1 ≡1 (mod 3a) và x1≡3y1 (mod 3a). Khi đó 3a|x21−34y12+1.
` Chọn 3y2 ≡1 (mod m) và x2 ≡5y2 (mod m)thì m|x22−34y22+1.
` Chọn
x≡x1 (mod 3a) x≡x2 (mod m) và
y≡y1 (mod 3a)
x≡y2 (mod m) . Khi đó n|x2−34y2+1.
*Phát triển bài toán 5:
B x2−34y2+17→xk−(uk+vk)yk+1 với k∈Z+ và u,v∈Z.
3. Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất
` Viết n=3aãm với gcd(m,3) =1.
` Chọn 5y1 ≡1 (mod 3a) và x1≡3y1 (mod 3a). Khi đó 3a|x21−34y12+1.
` Chọn 3y2 ≡1 (mod m) và x2 ≡5y2 (mod m)thì m|x22−34y22+1.
` Chọn
x≡x1 (mod 3a) x≡x2 (mod m) và
y≡y1 (mod 3a)
x≡y2 (mod m) . Khi đó n|x2−34y2+1.
*Phát triển bài toán 5:
B x2−34y2+17→xk−(uk+vk)yk+1 với k∈Z+ và u,v∈Z.
Bài toán 6
Cho a,b là các số nguyên dương mà gcd(a,b) =1. Chứng minh với mọi số nguyên dương m, tồn tại n nguyên dương sao cho
m|(an+1)(bn+1).
` Với(a,m) =1 hoặc (b,m) =1 thì có thể chọn n sao cho an+1≡0 (mod m)hoặc bn+1≡0 (mod m)!
` Trường hợp tổng quát: m7→pα, với p nguyên tố.
3. Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất
Bài toán 6
Cho a,b là các số nguyên dương mà gcd(a,b) =1. Chứng minh với mọi số nguyên dương m, tồn tại n nguyên dương sao cho
m|(an+1)(bn+1).
` Với(a,m) =1 hoặc (b,m) =1 thì có thể chọn n sao cho an+1≡0 (mod m)hoặc bn+1≡0 (mod m)!
` Trường hợp tổng quát: m7→pα, với p nguyên tố.
` Khi đó gcd(a,p) =1 hoặc gcd(b,p) =1. Giả sử gcd(a,p) =1.
` Tồn tại n1: an1+1≡0 (mod pα). Do đó f(n1)≡0 (mod pα).
` Với m=pα11ã ã ãpαkk: mỗi i tồn tại nisao cho f(ni)≡0 (mod pαii).
` Theo định lý CRT tồn tại n nguyên sao cho n≡ni (mod pαii) với i=1, . . . ,k. Ta có f(n)≡0 (mod m).
*Phát triển bài toán 6:
B Kết quả sai nếu gcd(a,b) =d>1. Nhưng ∀n7→??.
B Với những tam thức bậc hai f(x) =ax2+bx+c nào có tính chất: với mọi số nguyên dương m tồn tại n nguyên sao cho f(n)≡0 (mod m)?
3. Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất
` Khi đó gcd(a,p) =1 hoặc gcd(b,p) =1. Giả sử gcd(a,p) =1.
` Tồn tại n1: an1+1≡0 (mod pα). Do đó f(n1)≡0 (mod pα).
` Với m=pα11ã ã ãpαkk: mỗi i tồn tại nisao cho f(ni)≡0 (mod pαii).
` Theo định lý CRT tồn tại n nguyên sao cho n≡ni (mod pαii) với i=1, . . . ,k. Ta có f(n)≡0 (mod m).
*Phát triển bài toán 6:
B Kết quả sai nếu gcd(a,b) =d>1. Nhưng ∀n7→??.
B Với những tam thức bậc hai f(x) =ax2+bx+c nào có tính chất: với mọi số nguyên dương m tồn tại n nguyên sao cho f(n)≡0 (mod m)?
Bài toán 7
Giả sử(an) là một cấp số cộng với các số hạng và công sai là các số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho
an+an+1+ã ã ã+an+2015-anãan+1ã ã ãan+2015.
` Giả sử an=a0+nd.
` an+ã ã ã+an+2015=2016a0+
2016n+2015ã2016 2
d.
` Cần tìm n để ∃p∈ P: p|VT,p-VP.
3. Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất
Bài toán 7
Giả sử(an) là một cấp số cộng với các số hạng và công sai là các số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho
an+an+1+ã ã ã+an+2015-anãan+1ã ã ãan+2015.
` Giả sử an=a0+nd.
` an+ã ã ã+an+2015=2016a0+
2016n+2015ã2016 2
d.
` Cần tìm n để ∃p∈ P: p|VT,p-VP.
` Lấy p∈ Pđủ lớn. Ví dụ:
p>max
2016d,
2016k− 2015ã2016 2
: k=0,1, . . . ,2015 .
` Định lý 3: Tồn tại vô số số n∈Z+
(2016d)n+2016a0+2015ã2016
2 d≡0 (mod p).
` p-2016(a0+ (n+k)d) =2016an+2016nd→p-an+k với mọi k=0,1, . . . ,2015.
` Vậy an+an+1+ã ã ã+an+2015-anãan+1ã ã ãan+2015. B 20157→m: m≡ −1 (mod 4).
3. Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất
` Lấy p∈ Pđủ lớn. Ví dụ:
p>max
2016d,
2016k− 2015ã2016 2
: k=0,1, . . . ,2015 .
` Định lý 3: Tồn tại vô số số n∈Z+
(2016d)n+2016a0+2015ã2016
2 d≡0 (mod p).
` p-2016(a0+ (n+k)d) =2016an+2016nd→p-an+k với mọi k=0,1, . . . ,2015.
` Vậy an+an+1+ã ã ã+an+2015-anãan+1ã ã ãan+2015. B 20157→m: m≡ −1 (mod 4).
Bài toán 8
Cho (an) là một cấp số cộng các số nguyên dương và công sai nguyên tố. Giả sử dãy chứa một số u-phương và một số v-phương, trong đó u,v nguyên dương và nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng dãy (an) chứa một số uv-phương.
` Một số k-phương là số có dạng xk với x nguyên.
` Công sai: p∈ P; giả sử an =a0+np với n∈N.
` Vậy: x là phần tử của (an) khi và chỉ khi x≥a0 và x≡a0 (mod p).
• Nếu p|a0: Chọn z đủ lớn mà p|z. Do đó có thể coi p - a0 .
3. Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất
Bài toán 8
Cho (an) là một cấp số cộng các số nguyên dương và công sai nguyên tố. Giả sử dãy chứa một số u-phương và một số v-phương, trong đó u,v nguyên dương và nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng dãy (an) chứa một số uv-phương.
` Một số k-phương là số có dạng xk với x nguyên.
` Công sai: p∈ P; giả sử an =a0+np với n∈N.
` Vậy: x là phần tử của (an) khi và chỉ khi x≥a0 và x≡a0 (mod p).
• Nếu p|a0: Chọn z đủ lớn mà p|z. Do đó có thể coi p - a0 .
` Theo giả thiết xu≡yv≡a0 (mod p). Ta cần tìm z>a0 sao cho zuv ≡a0 (mod p).
` Định lý 5 →tồn tại a,b nguyên sao cho au+bv=1.
` Do đó xbuv ≡abv0 (mod p)và yauv≡aau0 (mod p).
` Do đó
xbyauv
≡aau+bv0 ≡a0 (mod p).
` z:=xbya+pt với t đủ lớn.
*Phát triển bài toán 8:
B (a0,p)7→(a0,d) trong đó gcd(a0,d) =1.
B (u,v) = (2,3): Một cấp số cộng vô hạn các số nguyên dương chứa một số chính phương và một số lập phương thì chứa một số lục phương (IMO Shortlist 1997).
3. Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất
` Theo giả thiết xu≡yv≡a0 (mod p). Ta cần tìm z>a0 sao cho zuv ≡a0 (mod p).
` Định lý 5 →tồn tại a,b nguyên sao cho au+bv=1.
` Do đó xbuv ≡abv0 (mod p)và yauv≡aau0 (mod p).
` Do đó
xbyauv
≡aau+bv0 ≡a0 (mod p).
` z:=xbya+pt với t đủ lớn.
*Phát triển bài toán 8:
B (a0,p)7→(a0,d) trong đó gcd(a0,d) =1.
B (u,v) = (2,3): Một cấp số cộng vô hạn các số nguyên dương chứa một số chính phương và một số lập phương thì chứa một số lục phương (IMO Shortlist 1997).
` Theo giả thiết xu≡yv≡a0 (mod p). Ta cần tìm z>a0 sao cho zuv ≡a0 (mod p).
` Định lý 5 →tồn tại a,b nguyên sao cho au+bv=1.
` Do đó xbuv ≡abv0 (mod p)và yauv≡aau0 (mod p).
` Do đó
xbyauv
≡aau+bv0 ≡a0 (mod p).
` z:=xbya+pt với t đủ lớn.
*Phát triển bài toán 8:
B (a0,p)7→(a0,d) trong đó gcd(a0,d) =1.
B (u,v) = (2,3): Một cấp số cộng vô hạn các số nguyên dương chứa một số chính phương và một số lập phương thì chứa một số lục phương (IMO Shortlist 1997).
3. Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất
Bài toán 9
Cho P là đa thức khác hằng số. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho gcd(P(n),P(2016n))>1.
` Cần ∃a "chung" cho n,2016n!
` Nghĩa là: cần a và một modulo p để
P(n)≡P(a) (mod p) P(2016n)≡P(a) (mod p)
` Chỉ cần n≡a (mod p) và 2016n ≡a (mod p).
Bài toán 9
Cho P là đa thức khác hằng số. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho gcd(P(n),P(2016n))>1.
` Cần ∃a "chung" cho n,2016n!
` Nghĩa là: cần a và một modulo p để
P(n)≡P(a) (mod p) P(2016n)≡P(a) (mod p)
` Chỉ cần n≡a (mod p) và 2016n ≡a (mod p).
3. Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất
` Xét a=2016b với b∈Z+. Nếu|P(2016b)|>1, lấy p|P(2016b).
` CRT: Tồn tại n sao cho
n≡b (mod p−1)
n≡2016b (mod p). (p>2016).
` Ta có f(n)≡P(2016b)≡P(2016n) (mod p).
` Do đó gcd(P(n),P(2016n))≥p>1.
` Vậy với mỗi b nguyên dương mà|P(2016b)|>1 thì tồn tại n=nb sao cho gcd(P(n),P(2016n))>1.
*Phát triển bài toán 9:
B 20167→a>1 tuỳ ý.
B Hãy xác định tất cả các đa thức hệ số nguyên P(x)sao cho gcd(P(n),P(3ã2n−1)) =1 với mọi số nguyờn dương n???
` Xét a=2016b với b∈Z+. Nếu|P(2016b)|>1, lấy p|P(2016b).
` CRT: Tồn tại n sao cho
n≡b (mod p−1)
n≡2016b (mod p). (p>2016).
` Ta có f(n)≡P(2016b)≡P(2016n) (mod p).
` Do đó gcd(P(n),P(2016n))≥p>1.
` Vậy với mỗi b nguyên dương mà|P(2016b)|>1 thì tồn tại n=nb sao cho gcd(P(n),P(2016n))>1.
*Phát triển bài toán 9:
B 20167→a>1 tuỳ ý.
B Hãy xác định tất cả các đa thức hệ số nguyên P(x)sao cho gcd(P(n),P(3ã2n−1)) =1 với mọi số nguyờn dương n???
3. Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất
Bài toán 10
Hãy xác định tất cả các số nguyên n>1 thoả mãn tính chất sau: với mọi số nguyên k, mà 0≤k<n, tồn tại một bội nguyên của n mà tổng các chữ số của bội nguyên đó đem chia cho n được dư là k.
` Nếu 3|A thì 3|S(A). Vậy 3-n.
` Thử một số giá trị:
n=2: các bội 2,12 có tổng các chữ số 2,3 là hệ đầy đủ modulo 2.
n=4: các bội 4,12,20,32 có tổng các chữ số 4,3,2,1 là hệ đầy đủ modulo 4.
n=5: các bội là 5,10,20,30,40 có tổng các chữ số 5,1,2,3,4 là hệ đầy đủ modulo 5.
Bài toán 10
Hãy xác định tất cả các số nguyên n>1 thoả mãn tính chất sau: với mọi số nguyên k, mà 0≤k<n, tồn tại một bội nguyên của n mà tổng các chữ số của bội nguyên đó đem chia cho n được dư là k.
` Nếu 3|A thì 3|S(A). Vậy 3-n.
` Thử một số giá trị:
n=2: các bội 2,12 có tổng các chữ số 2,3 là hệ đầy đủ modulo 2.
n=4: các bội 4,12,20,32 có tổng các chữ số 4,3,2,1 là hệ đầy đủ modulo 4.
n=5: các bội là 5,10,20,30,40 có tổng các chữ số 5,1,2,3,4 là hệ đầy đủ modulo 5.
3. Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất
` Bài toán trở thành: Cho 3-n và k là số nguyên tuỳ ý. Cần dựng ra một bội A của n sao cho S(A)≡k (mod n).
` A=10x1 +ã ã ã+10xt với 0≤x1 <ã ã ã<xt. Khi đú S(A) =t.
Cần n|A.
` n có thể chứa nhân tử: 2a,5b.
` Viết n=2aã5bãn0 với gcd(n0,10) =1.
` Chọn:
A=10y1φ(n0)+ã ã ã+10ytφ(n0)+10z1φ(n0)+1+ã ã ã+10zsφ(n0)+1.
` Chọn y1 <ã ã ã<yt<z1 <ã ã ã<zs và đủ lớn để 2aã5b |A.
` Bài toán trở thành: Cho 3-n và k là số nguyên tuỳ ý. Cần dựng ra một bội A của n sao cho S(A)≡k (mod n).
` A=10x1 +ã ã ã+10xt với 0≤x1 <ã ã ã<xt. Khi đú S(A) =t.
Cần n|A.
` n có thể chứa nhân tử: 2a,5b.
` Viết n=2aã5bãn0 với gcd(n0,10) =1.
` Chọn:
A=10y1φ(n0)+ã ã ã+10ytφ(n0)+10z1φ(n0)+1+ã ã ã+10zsφ(n0)+1.
` Chọn y1 <ã ã ã<yt<z1 <ã ã ã<zs và đủ lớn để 2aã5b |A.
3. Đưa về phương trình đồng dư bậc nhất
` Khi đó S(A) =t+s và A≡t+10s (mod n0).
` Ta cần:
t+10s≡0 (mod n0) t+s≡k (mod n)
` Chọn s sao cho 9s≡ −k (mod n0). Chọn t≡k−s (mod n), thì t,s thoả mãn hệ trên.
` Vậy n có một bội nguyên A sao cho S(A)≡k (mod n).
*Phát triển bài toán 10:
B Bài toán vẫn giải được cho cơ sở bất kỳ! Ví dụ với cơ sở 2 ta có bài toán sau: Tìm tất cả các số nguyên dương n mà sao cho với mọi số nguyên k, tồn tại bội nguyên A của n sao cho số các chữ số 1 trong biểu diễn nhị phân của A đồng dư với k theo modulo n.
` Khi đó S(A) =t+s và A≡t+10s (mod n0).
` Ta cần:
t+10s≡0 (mod n0) t+s≡k (mod n)
` Chọn s sao cho 9s≡ −k (mod n0). Chọn t≡k−s (mod n), thì t,s thoả mãn hệ trên.
` Vậy n có một bội nguyên A sao cho S(A)≡k (mod n).
*Phát triển bài toán 10:
B Bài toán vẫn giải được cho cơ sở bất kỳ! Ví dụ với cơ sở 2 ta có bài toán sau: Tìm tất cả các số nguyên dương n mà sao cho với mọi số nguyên k, tồn tại bội nguyên A của n sao cho số các chữ số 1 trong biểu diễn nhị phân của A đồng dư với k theo modulo n.