giao an nguyen truong to

Về kiến thức: - Biết nhận dạng và nắm được cách giải hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn.. Học sinh nhớ lại cách giải hệ phương trình và các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Tiết 24 - Đại số 10: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I CHỦ ĐỀ: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

II MỤC TIÊU BÀI HỌC

1 Mục tiêu: Học sinh nắm vững nội dung bài học và biết vận dụng vấn đề để giải

quyết một số bài toán thực tiễn trong cuộc sống

2 Về kiến thức: - Biết nhận dạng và nắm được cách giải hệ 3 phương trình bậc nhất

3 ẩn

3 Về kĩ năng: - Giải hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn.

- Biết sử dụng máy tính cầm tay để giải hệ phương trình

4 Về thái độ: -Tích cực hoạt động, chủ động suy nghĩ vận dụng kiến thức

- Cẩn thận, chính xác

5 Các năng lực hướng tới hình thành và phát triển ở học sinh: Năng lực tư duy và

suy luận toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp và năng lực sáng tạo

III BẢNG MÔ TẢ MỨC ĐỘ CÂU HỎI/BÀI TẬP

Hệ pt bậc nhất

ba ẩn Dạng hpt bậc nhấtba ẩn

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d

a x b y c z d

a x b y c z d







- Giải hệ pt bậc nhất 3 ẩn.

- Giải được các bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

- Biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết một số bài toán thực tế như bài toán phương trình Đi-ô-Phăng Câu hỏi/ bài

(1; 2;3) có phải là nghiệm của

hệ phương trình

6

x y z

x y z

x y z

+ + =



 + − =



 − − = −



?

- Giải hệ phương trình sau:

2 4

x y z

x y z

x y z



− + − = −



 − + =



- Tìm ba số biết, tổng của chúng bằng một, hai lần số thứ nhất trừ đi số thứ hai

- Một người có tất cả có 51 tờ bạc, tổng số tiền giá trị bằng 83.000

đ Hỏi người

đó có bao nhiêu tờ tiền 5.000đ,

2.000đ và

và thứ ba bằng hai, số thứ nhất trừ hai lần số thứ hai cộng với hai lần số thứ ba thì bằng 9

1.000đ Biết rằng không có quá 5 tờ 5.000đ

IV CHUẨN BỊ:

• Học sinh: SGK, vở ghi, máy tính cầm tay Ôn tập các kiến thức về phương trình bậc nhất nhiều ẩn và phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

• Giáo viên: Giáo án, dụng cụ dạy học

V PHƯƠNG PHÁP- KĨ THUẬT DẠY HỌC:

VI TIẾN TRÌNH DẠY HỌC:

Kĩ năng/năng lực cần đạt HOẠT ĐỘNG 1: KHỞI ĐỘNG

Bài toán cổ:

Quýt, cam mười bảy quả tươi

Đem chia cho một trăm người cùng vui

Chia ba mỗi quả quýt rồi

Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh.

Trăm người, trăm miếng ngọt lành.

Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?

Câu hỏi:

- Nêu cách giải bài tập này?

- Nêu các cách giải hệ phương trình bậc nhất

hai ẩn?

Học sinh nhớ lại cách giải

hệ phương trình và các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình đã được học ở cấp hai.

- Năng lực giao tiếp

HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1 Mục tiêu: Học sinh nắm được khái niệm hệ ba

phương trình bậc nhất ba ẩn

2 Phương thức: gợi mở vấn đáp

3 Cách tiến hành

Bài toán: Một cửa hàng bán áo sơ mi, quần áo nam

và váy nữ Ngày thứ nhất bán được 12 áo 21 quần

và 18 váy, doanh thu là 5.349.000 đồng Ngày thứ

hai bán được 16 áo, 24 quần và 12 váy doanh thu là

5.600.000 đồng Ngày thứ ba bán được 24 áo, 15

quần và 12 váy, doanh thu là 5.259.000 đồng Hỏi

giá mỗi áo, mỗi quần và mỗi váy là bao nhiêu?

GV: Gọi giá mỗi áo, mỗi quần và mỗi váy lần lượt

là x, y, z, theo đề ra ta có được các phương trình gì?

HS:

12 21 18 5.349.000

16 24 12 5.600.000

24 15 12 5.259.000







Gv nêu dạng hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn,

nghiệm của hệ phương trình và định hướng cách

giải hệ pt cho hs

Củng cố:

1 Bộ ba số (1; 2;3) có phải là nghiệm của hệ

phương trình

6

x y z

x y z

x y z

+ + =



 + − =



 − − = −



?

2 Giải hệ phương trình

x y z

x y z

x y z

− + =



 − − = −



− + − = −



3 Gv hướng dẫn học sinh giải hệ bằng MTCT

1 Khái niệm hệ ba phương trình bậc nhất

ba ẩn.

- Dạng

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d

a x b y c z d

a x b y c z d







Trong đó x, y, z là ẩn các chữ số còn lại là số.

- Nghiệm của hệ pt

- Phương pháp giải hệ phương trình.

- Năng lực

tư duy

- Năng lực giải quyết vấn đề.

- Năng lực thực hành tính toán.

- Năng lực

sử dụng MTCT.

HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP

1 Mục tiêu: Rèn kĩ năng giải hệ phương trình

2 Phương thức: Giáo viên ra bài tập để học sinh

thực hành.

3 Cách tiến hành: học sinh giải các bài tập

Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau:

x y

x y



 + =

 b

2 1 0

3 4 7

x y

x y



 + =



Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau:

- Học sinh giải quyết

được các bài tập cơ bản ở sách giáo khoa.

- Năng lực thực hành tính toán

và giải quyết vấn đề.

2 4

x y z

x y z

x y z



− + − = −



 − + =



b.

3 2 5

3 9 9 31

x y z

x y z

x y z



− − + = −



 + − =



Bài tập 3: Hai người thợ cùng sơn cửa cho một

ngôi nhà thì hai ngày xong công việc, nếu người thứ

nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ, người thứ hai làm

tiếp trong 1 ngày nữa thì xong công việc Hỏi mỗi

người làm một mình thì bao lâu xong công việc?

Bài tập 4: Tìm ba số biết, tổng của chúng bằng

một, hai lần số thứ nhất trừ đi số thứ hai và thứ ba

bằng hai, số thứ nhất trừ hai lần số thứ hai cộng với

hai lần số thứ ba thì bằng 9.

HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG

1 Mục tiêu: Khuyến khích học sinh nghiên cứu,

sáng tạo, tìm ra cái mới theo sự hiểu biết của mình;

tìm phương pháp giải quyết vấn đề và đưa ra những

cách giải quyết vấn đề khác nhau; góp phần hình

thành năng lực học tập với gia đình và cộng đồng

2 Phương thức: Giáo viên đưa bài tập cho học

sinh suy luận và giải quyết vấn đề

3 Cách tiến hành

Bài tập 1: Một người có tất cả có 51 tờ bạc, tổng

số tiền giá trị bằng 83.000 đ Hỏi người đó có

bao nhiêu tờ tiền 5.000đ, 2.000đ và 1.000đ Biết

rằng không có quá 5 tờ 5.000 đ

Bài tập 2:

- Năng lực sáng tạo

HOẠT ĐỘNG 5: TÌM TÒI MỞ RỘNG

1 Mục tiêu: Giúp học sinh tiếp tục mở rộng kiên

thức, kĩ năng

2 Phương thức: Học sinh tìm tòi tài liệu về

phương trình Diophantine

3 Cách tiến hành

Phương trình Đi-Ô-Phăng

(Diophantine)

Trong toán học, phương trình Diophantine là một phương trình đa thức không xác định mà ẩn số cũng như các hệ số là những số nguyên dương hay âm

Các bài toán Diophantine có số phương trình ít hơn số ẩn số và nghiệm số phải là số nguyên dương hay âm, nên còn goi là Phương trình vô định nghiệm nguyên.

Trong chương tình tiểu học và THCS, mặc dù HS chưa học lí thuyết về dạng PT này, nhưng đã gặp

1 số bài toán được giải theo cách “giả sử…” như bài “Gà và chó 100 chân”…Gần đây 1 số đề thi HSG cũng có bài liên quan Vì thế mời các bạn tham khảo tài liệu này để giải các bài toán tổng quát

I.- Một số dạng phương trình Diophantine:

* Phương trình Diophantine tuyến tính (hay bậc nhất) với 2 ẩn số/ 1

phương trình

[1]

* Phương trình Diophantine bậc hai với 3 ẩn số

Đó là phương trình Pythagore, có vô số lời giải, mỗi lời giải hợp thành một bộ ba số Pythagore

Thí dụ: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (12,35,37),

…

*Phương trình Ferma

Đó là định lýcuối cùng của Fermat, Sau hơn 300 năm không có lời giải, tới 1994 mới có nhà toán học chứng minh điều tiên đoán của Ferma

*Phương trình Pell, đặt theo tên của nhà toán học người Anh John Pell

với n không phải là bình phương của 1 số nguyên Thật ra, phương trình thuộc loại này đã được khảo sát từ xưa bởi các nhà toán học cổ

Ấn độ như Brahmagupta ở thế kỹ thứ 6;

ax + by = c

x2 + y2 = z2

x2 – ny2 = 1

xn + yn = zn với n > 2

Jayadeva (thế kỹ thứ 9) và Bhaskara (thế kỹ 12)

đã tìm được lời giải đầy đủ của phương trình 61x2 + 1 = y2 Đó là x = 226153980 và y = 1766319049

Có nhiều bài toán Diophantine chưa giải được

cả thế kỷ nay và vẫn còn được các nhà toán học

để ý tới

II.- Phương trình Diophantine đơn giản

Tài liệu này xin được giới thiệu về cách giải tổng quát những phương trình hay hệ thống phương trìng Diophantine đơn giản nhưng lại có nhiều áp dụng thực tiển nhất Đó là phương trình Diophantine tuyến tính có 2 ẩn số x và y:

ax + by = c [2]

và hệ thống 2 phương trình Diophantine có 3 ẩn

số x, y và z

ax + by + cz = u [3]

mx + ny + pz = v [4]

Bài toán giải phương trình [2] hay giải hệ thống phương trình [3] & [4] sẽ được gọi chung là bài toán Diophantine Các ẩn số x, y, z và các hệ số

a, b, c, m, n, p, u, v là những số nguyên dương

hay âm Điều kiện này gọi chung là điều kiện

Diophantine

Khái quát:

Nếu một ẩn số trong bài toán Diophantine, thí

dụ như y trong phương trình [2] hay z trong hệ thống phương trình [3] & [4], có một trị số nào

đó, thì bài toán rút lại sẽ có số phương trình bằng số ẩn số, và do đó theo lý thuyết có thể giải được

Tuy nhiên, vì các ẩn số còn phải thoả mãn các điều kiện khác như điều kiện Diophantine, điều kiện chia đúng, điều kiện chẳn lẻ của các số hạng, vv… Nếu giải được, thì bài toán có thể

Bài toán Diophantine có một tính chất

chung là

số phương trình ít hơn số ẩn số một

có: hoặc

(i) một nghiệm số duy nhất, hoặc (ii) nhiều nghiệm số, hoặc

(iii) vô số nghiệm số, tuỳ theo các điều

kiện của bài toán

Trong phương trình [2], nếu c = 0, thì phương trình ax + by = 0 có vô số nghiệm số có dạng:

ax + by = 0 [5]

=> x = bt, y = – at [6] với t là một

số nguyên bất kỳ

Trong hệ phương trình [3] & [4], nếu u = 0 và v

= 0, thì hệ có thể giải như sau:

Nhân 2 vế của PT [7] cho p và PT [8] cho c rồi trừ vế để loại z:

(pa – cm) x + (bp – nc) y = 0 [9] Theo phương trình [5] thì nghiệm số của [9] là:

x = (bp – nc) t , y = (cm – pa) t [10] với

t là một số nguyên bất kỳ

Thay trị số của x và y vào phương trình [7]

a(bp – nc) t + b(cm – pa) t + cz = 0 Khai triển và rút gọn:

z = (an – mb) t [11]

Như vậy, nếu các vế thứ hai của bài toán Diophantine đều bằng 0, thì bài toán Diophantine có vô số nghiệm số có dạng [6] hay [10] & [11]

Bài toán Diophantine có thể đưa về dạng có các

vế thứ hai bằng 0 nếu ta biết được một nghiệm

số nào đó của bài toán

Thí dụ bài toán Diophantine có 1 nghiệm số là (x0, y0) cho phương trình [2]

ax0 + by0 = c [12]

và (x0,y0,z0) cho hệ thống [3] & [4]:

ax0 + by0 + cz0 = u [13]

mx0 + ny0 + pz0 = v [14]

Trừ vế [2] với [12]:

a(x – x0) + b(y – y0) = 0

=> Nghiệm số: x = x0 + bt, y = y0 – at theo

[6]

Trừ vế [3] với [13] và [4] với [14]:

a (x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0

m(x – x0) + n(y – y0) + p(z – z0) = 0

=> Nghiệm số, theo [10] và [11]:

=> x = x0 + (bp – nc) t , y = y0 + (cm – pa)

t ,

Tóm lại, khi biết một nghiệm số đặc biệt của bài

toán Diophantine, ta có thể biết được dạng tổng

quát của các nghiệm số của nó

Nhưng làm sao tìm được một nghiệm số đặc

biệt của bài toán? Thường thường là bằng cách

dò dẫm từng bước một! Trong trường hợp đơn

giản của phương trình [2], tác giả có tìm được

cách sau đây, được phát biểu dưới dạng một

định lý Định lý nầy cần một định nghĩa về phép

chia liên tiếp như sau:

Giả sử a > b Chia a cho b, ta có dư số r1; tiếp

tục chia b cho r1, ta có dư số r2; chia r1 cho r2,

ta có dư số r3, … cứ thế tiếp tục, lấy dư số của

phép chia trước chia cho dư số của phép chia kế

tiếp cho đến khi được dư số 0

a = b q1 + r1 [15]

b = r1 q2 + r2 ]16]

r1 = r2 q3 + r3

r2 = r3 q4 + r4

………

rn = rn+1 qn+2 + 0

r1, r2, r3, … gọi là các dư số của phép chia liên

tiếp a cho b Các dư số nầy giảm dần đến 0

z = z0 + (an – mb) t

Định lý: Một nghiệm số của phương trình tuyến tính Diophantine

ax + by = c với a > b và c ≠ 0,

có thể tìm được khi c bằng một trong những dư số của phép chia liên tiếp a cho b

Để đơn giản, giả sử c = r2, xem phương trình [16] Bằng cách đi ngược từ phương trình [16] trở lên phương trình [15] và thay các dư số bằng giá trị của chúng suy ra từ các phương trình đó ,

ta được:

Từ [16], suy ra => c = r2 =

b – r1q2

Thay r1 suy ra từ [15] => c = b – (a – bq1) q2

Khai triển và rút gọn => c = – aq2 + b(1 + q1q2)

Hay a(– q2) + b(1 + q1q2) = c

Suy ra, một nghiệm số của phương trình là x = – q2 và y = 1 + q1q2

Thí dụ: Xét phương trình Diophantine:

28x + 15y = 1 [17] Bằng cách chia liên tiếp 28 cho 15, ta được:

28 = 15*1 + 13 [18]

15 = 13*1 + 2 [19]

13 = 2*6 + 1 [20]

2 = 1*2 + 0

Vế thứ hai của phương trình [17] bằng dư số 1 của phép chia liên tiếp 28 cho 15, nên phương trình [17] có 1 nghiệm số tìm được bằng cách đi ngược từ phương trình [20] trở lên phương trình [18]:

Từ [20], suy ra => 1 = 13 – 2*6

Thay 2 suy ra từ (19) => 1 = 13 – (15 – 13*1)*6 = – 15*6 + 13*7

Thay 13 suy ra từ (18) => 1 = – 15*6 + (28 – 15*1)*7

Khai triển và rút gọn => 28*7 – 15*13 = 1

Suy ra: x = 7, y = –13 là một nghiệm đặc biệt của phương trình [17]

Theo trên, phương trình [17] có vô số nghiệm số có dạng:

x = 7 + 15 t , y = – (13 + 28 t)

Nếu không tìm được một nghiệm số đặc biệt nào của bài toán Diophantine thì sao? Trong trường hợp nầy, bài toán có thể giải bằng các điều kiện suy ra từ điều kiện Diophantine

Phương pháp đó có thể tổng quát quá như trong

hệ phương trình [3] & [4] với các hệ số cho sẵn như sau (để tránh phức tạp):

27x + 9y + 22z = 2578 [21]

x + y + z = 119 [22]

với x, y và z là 3 số nguyên dương

Trừ 1 ẩn số, thí dụ z, bằng cách nhân (22) với

22, rồi trừ vế:

=> 5x – 13y = – 40 [23]

=> x = (13y – 40) / 5 [24]

Hay x = (2*5 + 3) y / 5 – 8

x = 2y – 8 + 3y / 5 [25]

Vì x, y là số nguyên, nên 3y/5 phải là bội số của

5 hay y phải là một bội số của 5

Đặt y/5 = t với t là số nguyên dương hay 0

=> y = 5t [26]

Thay y = 5t vào PT [25] :

x = 2*5t – 8 + 3t = 13t – 8 [27]

Vì x > 0 => 13t – 8 > 0 => t > 8/13 [28]

Thay trị số của x và y vào 22, suy ra:

z = 119 – x – y = 119 – (13t – 8) – 5t = 127 –

18t [29]

Vì z > 0 => 127 – 18t > 0 => t < 127/18 [30]

Theo 2 điều kiện (28) và (30), thì: 8/13 < t < 127/18 hay 0 < t < 8

Tóm lại, hệ thống phương trình [21] & [22] có 7 nghiệm số cho bởi các công thức:

x = 13t – 8 y = 5t z = 127 – 18t

với 0 < t < 8 hay t có các trị số 1, 2, 3, 4, 5,

6 và 7

Với t = 1 => x = 5, y = 5, z = 109

Với t = 7 => x = 83, y = 35, z = 1

II.- Vài nét lịch sử PT Diophantine

Phương trình Diophantine đã được nghiên cứu

từ lâu bởi các nhà toán học Ân Độ trung cổ Họ

là những người đầu tiên nghiên cứu một cách có

hệ thống các phương pháp tìm nghiệm nguyên

của phương trình Diophantine

- Aryabhata (499) là người đầu tiên tìm ra dạng nghiệm tổng quát của phương trình Diophantine tuyến tính (ax + by = c) , được ghi trong cuốn Aryabhatiya của ông

Thuật toán kuttaka này được xem là một trong những cống hiến quan trọng nhất của Aryabhata trong toán học lý thuyết, đó là tìm nghiệm của

PT Diophantine bằng liên phân số Aryabhata đã dùng kĩ thuật này để tìm nghiệm nguyên của các

hệ phương trình Diophantine, một bài toán có ứng dụng quan trọng trong thiên văn học Ông cũng đã tìm ra nghiệm tổng quát đối với PT tuyến tính vô định bằng PP này

- Brahmagupta vào năm 628 đã nắm được những phương trình Diophantine phức tạp hơn Ông sử dụng phương pháp chakravala để giải phương trình Diophantine bậc hai, bao gồm cả các dạng của phương trình Pell Cuốn Brahma Sphuta Siddhanta của ông đã được dịch sang tiếng Ả Rập vào năm 773 và sau đó được dịch sang tiếng Latin vào năm 1126

- Phương trình sau đó đã được chuyển thành