sơ đồ Hooc-ne.. [ĐVH] Tìm các giới hạn sau a... [ĐVH] Tìm các giới hạn sau a.. Khi đó chúng ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp... Tính các giới hạn sau:a... 2 Tính các giới hạn sau:a.
Trang 1GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (PHẦN 2)
Trường hợp 1: ( ) ( ) ( )
u x
f x
v x với u x( )
và v x( )
không chứa căn thức
Cách tính như sau:
• Bước 1: Kiểm tra giới hạn đã cho có là dạng vô định hay không ?
• Bước 2: Phân tích u x( )
và v x( )
thành tích của hai hay nhiều nhân tử
• Bước 3: Giản ước thừa số chung của tử số và mẫu số
Bước 4: Áp dụng công thức tìm giới hạn ( ) ( )
lim
, ta có kết quả
sơ đồ Hooc-ne
- Giả sử đa thức ( ) 1 2
= n+ n + n + + =K
n
f x a x a x a x a
có nghiệm x=α
- Ta làm như sau:
Hệ số a 0 a 1 a 2 a 3 K K K a n− 1 a n
α
0
b b 1 b 2 b 3 K K K b n− 1 b n
Với a0 =b , 0 b1= +b0 a , 1 b2 = +b1 a , 2 b3= +b2 a3,K b n−1 =b n−1+a , n−1 b n =b n−1+a n =0.
Khi đó ( ) ( ) 1 2 3
−
n
Ví dụ 1. [ĐVH] Tìm các giới hạn sau
a
2 2
3 2 lim
2
→
− +
−
x
x x
2 2 2
2 lim
→
−
x
x x
x x
c.
3 4 1
3 2 lim
4 3
→
− +
x
x x
2 1
1 lim
3 2
→
− − +
x
x x x
x x
Lời giải
a
2
3 2
x x
x
b.
2
2
Trang 22 3
2
d.
2
2
1
x x x
Ví dụ 2. [ĐVH] Tìm các giới hạn sau
a
2 3
72 lim
2 3
→
− −
x
x x
3
lim
8 9
→
x
x x
2 1
5 4 lim
1
→
−
x
x x x x
d.
lim
→
−
−
x a
x a
x a
Lời giải
a
2
b.
2
c.
1
−
x
d.
x a x ax a x a
x a
x ax a x a a
2) Trường hợp: ( ) ( ) ( )
u x
f x
v x với u x( )
và v x( )
chứa căn thức cùng chỉ số
Chúng ta thường gặp một số trường hợp sau:
- u x( )
chứa một căn còn v x( )
không chứa căn và ngược lại u x( )
không chứa căn còn v x( )
chứa một căn
- u x( )
chứa hai căn còn v x( )
không chứa căn và ngược lại v x( )
chứa hai căn còn u x( )
không chứa căn
- u x( )
chứa một căn và v x( )
chứa một căn
Khi đó chúng ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp Cụ thể như sau:
• Nếu chứa căn bậ hai ta có các trường hợp sau:
- Nếu a b thì ta nhân lượng liên hợp + a b − ⇒( a b+ )( a b− = −) a b2
- Nếu a b thì ta nhân lượng liên hợp − a b + ⇒( a b− )( a b+ = −) a b2
Trang 3- Nếu a− b thì ta nhận lượng liên hợp a+ b ⇒( a− b)( a+ b) = −a b
- Nếu a+ b thì ta nhận lượng liên hợp a− b ⇒( a− b)( a+ b) = −a b
• Nếu chứa căn bậc ba thì ta cũng có các trường hợp sau:
- Nếu 3a b thì nhân liên hợp + 3a2 −b a b 3 + 2 ⇒(3a b+ ) (3a2 −b a b3 + 2) = +a b3
- Nếu 3a b thì nhân liên hợp − 3 a2 +b a b 3 + 2 ⇒(3 a b− ) (3 a2 +b a b3 + 2)= −a b3
- Nếu 3a+3b thì nhân liên hợp 3 a2 −3b a3 +3b 2 ⇒(3 a+3b) (3 a2 −3b a3 +3b2) = +a b
- Nếu 3a−3 b thì nhân liên hợp 3 a2 +3b a3 +3b 2 ⇒(3 a−3b) (3 a2 +3b a3 +3b2) = −a b
3 2 lim
49
→
− −
−
x
x
lim
3 2
→
− +
x
x
x x
c 1 3 2
2 7 3 lim
4 3
→
+ −
x
x
x x
Lời giải
a
2
x
b
2
x
c
2 7 3 2 7 3
x
a
2 2 1
lim
3 2
→
− + −
x
x
4 1 3 lim
4
→
+ −
−
x
x x
c 2 3
2 lim
8
→
−
x
x x x
Lời giải
Trang 4a
2 2
b
2
4 1 3 4 1 3
x
c
a
3 2 1
1 lim
→−
+
x
x
3 2 0
1 1 lim 2
→
− − +
x
x
x x
c.
3 2 2
2 12 lim
2
→−
+ + +
x
4
1
1 lim
2
→
− + −
x
x
x x
Lời giải
a
3 2
+ +
b.
2
3 2
x
c.
3 2
2 12
6
d.
4
1
x
12
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Trang 5Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a 3 2
3 lim
9
→−
+
−
x
x
2 3
4 3 lim
3
→
−
x
x x x
c
2 2 2
6 lim
4
→
+ −
−
x
x x x
a
2 2 4
16 lim
20
→
− + −
x
x
2 3 2
4 lim
8
→−
− +
x
x x
c
2 2 2
3 2 lim
→−
+ −
x
x x
x x
a
2 2 5
30 lim
→
+ −
x
x x
2 2 1 2
lim
4 1
→
−
x
x x x
c
2 2 1
2 3 1 lim
4 5
→−
x
x x
x x
a
2 2 2
2 lim
2 2
→
−
x
x
lim
→
x
c
2 3 2
lim
8
→−
+ − +
x
x x x
a
4 2 2
16 lim
2
→−
− +
x
x
3 2 1
1 lim
→
−
−
x
x
x x
c
2 1
1 lim
3 2
→
− − +
x
x x x
x x
a
3
1
3 2 lim
1
→
− +
− − +
x
x x
2 1
2 4 lim
3 4
→−
− −
x
x x x
x x
c
3
6 27 lim
→−
x
x x
x x x
a
3 4 1
3 2 lim
4 3
→
− +
x
x x
2 3 2
lim
8
→
+ −
−
x
x x x
Trang 6c
2 3
72 lim
2 3
→
− −
x
x x
x x
a
5 3 1
1 lim
1
→−
+ +
x
x
5 3 1
1 lim
1
→
−
−
x
x x
c
3
5 3 9 lim
8 9
→
x
x x
a
2 2
lim
2
→
− −
−
x
x x
2 1
lim
1
→
−
x
2 2 2
2 lim
4 4
→−
+
x
x x
x x
lim
→
lim
→
x
a 1 2
lim
→
lim
→
lim
→−
a
0
lim
→
h
x h x h
b. 1 ( )2
1 lim
1
→
− + −
n x
x nx n x
LỜI GIẢI BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1 Tính các giới hạn sau:
a 3 2
3 lim
9
→−
+
−
x
x
2 3
4 3 lim
3
→
−
x
x x x
c
2 2 2
6 lim
4
→
+ −
−
x
x x x
Lời giải
x
b lim3 2 4 3 lim3( 1) 2
3
−
x x
x
c
2 2
Trang 72 Tính các giới hạn sau:
a
2 2 4
16 lim
20
→
− + −
x
x
2 3 2
4 lim
8
→−
− +
x
x x
c
2 2 2
3 2 lim
→−
+ −
x
x x
x x
Lời giải
a
2 2
b
2
c
2 2
3 Tính các giới hạn sau:
a
2 2 5
30 lim
→
+ −
x
x x
2 2 1 2
lim
4 1
→
−
x
x x x
c
2 2 1
2 3 1 lim
4 5
→−
x
x x
x x
Lời giải
a
2 2
b
2 2
c
2 2
4 Tính các giới hạn sau:
a
2 2 2
2 lim
2 2
→
−
x
x
lim
→
x
Trang 8c
2 3 2
lim
8
→−
+ − +
x
x x x
Lời giải
a
2 2
.
b
3
c
2
2 2 3
5 Tính các giới hạn sau:
a
4 2 2
16 lim
2
→−
− +
x
x
3 2 1
1 lim
→
−
−
x
x
x x
c
2 1
1 lim
3 2
→
− − +
x
x x x
x x
Lời giải
a
4 2
16
x
b
2
2
1
c
2
2
6 Tính các giới hạn sau:
a
3
1
3 2 lim
1
→
− +
− − +
x
x x
2 1
2 4 lim
3 4
→−
− −
x
x x x
x x
c
3
6 27 lim
→−
x
x x
x x x
Trang 9Lời giải
a
2 3
2
.
b
2
2
c
x x
7 Tính các giới hạn sau:
a
3 4 1
3 2 lim
4 3
→
− +
x
x x
2 3 2
lim
8
→
+ −
−
x
x x x
c
2 3
72 lim
2 3
→
− −
x
x x
x x
Lời giải
a
2 3
2
.
b
2
2 4 9
c
2
x x
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a
5 3 1
1 lim
1
→−
+ +
x
x
5 3 1
1 lim
1
→
−
−
x
x
3
lim
8 9
→
x
x x
Lời giải
a
5
x
Trang 10b
5
x
c
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
a
2 2
lim
2
→
− −
−
x
x x
2 1
3 5 3 lim
1
→
−
x
x c.
2 2 2
2 lim
4 4
→−
+
x
x x
x x
Lời giải
a
2
2 2 1
2 3 2
x x
x
b
2
3 5 3
c
2
2 2
2 2
+
x x
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
lim
→
lim
→
x
Lời giải
x
2
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
Trang 11a 1 2
lim
→
lim
→
lim
→−
Lời giải
a
− +
b
2
1
2
1
→
+ +
x
x
x x
x
Bài 5: Tính các giới hạn sau:
a
0
lim
→
h
x h x h
b. 1 ( )2
1 lim
1
→
− + −
n x
x nx n x
Lời giải
a
x xh x
1
n n
x n x
x nx n
2 2
lim
1
→
=
x
x
2
2
( 1)
2
→
→
−
x
x
n n