DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN P2 Bài 1: Tính các giới hạn sau a... Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh... Từ đó tìm limu n.. Bài 1: Tính các giới hạn sau a... Từ đó tìm
Trang 102 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN (P2) Bài 1: Tính các giới hạn sau
a.
1 4 lim
1 4
n n
−
2 5.3
3 1
n
−
3 4
3 4
− +
Bài 2: Tính các giới hạn sau
a.
3 4 5
3 4 5
1 2
3 4
+ +
−
1 1
3 6 4
3 6
+ +
+ − +
Bài 3: Tính các giới hạn sau
a.
1
2 2 lim
2 4.3
+
+
1 4.3 7 lim
2.5 7
+
+
Bài 4: Cho dãy số ( )u n
xác định bởi
1
1
2 1 2
n n
u u
u +
=
Tìm limu n
Bài 5: Cho dãy số ( )u n
xác định bởi
1
1
10 1 3 5
u
u + u
=
a Chứng minh rằng dãy số ( )v n
xác định bởi
15 4
v = −u
lập thành một cấp số nhân
b Tìm limu n
Bài 6: Cho dãy số ( )u n xác định bởi
1; 2
2 n n n
u u − u −
a Chứng minh rằng dãy số 2u n+u n−1=5.
b Tìm limu n
Bài 7: Cho dãy số ( )u n xác định bởi
1 1
2 2
u
u + u
=
Tìm limu n
Bài 8: Cho dãy số ( )u n
xác định bởi
1
1
1 2 1 2
n
n
u
u
u
+
=
−
Tìm limu n
Bài 9: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số
Bài 10: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số
a. 0,3211111 b. 0,313131 c. 3,1525252
Trang 2Bài 11: Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân lùi vô hạn biết số hạng thứ hai là
12
5 và tổng của cấp số nhân lùi này bằng 15
Đ/s: 1
1 12;
5
u = q=
hoặc 1
4
5
u = q=
Bài 12: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 12, hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai bằng
3
4, số hạng đầu là một số dương Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi này
Đ/s: 1
3
4
u = q=
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính các giới hạn sau
a.
1 4 lim
1 4
n n
−
2 5.3
3 1
n
−
3 4
3 4
− +
Lời giải
a.
1 1
1
4
n
n
−
b.
2 5
1
3
n
n
n
−
÷
c.
3 1
1 4
n
n
−
÷
Bài 2: Tính các giới hạn sau
a.
3 4 5
3 4 5
1 2
3 4
+ +
−
1 1
3 6 4
3 6
+ +
+ − +
Lời giải
a.Nhận xét q < ⇒1 limq n =0
Trang 3Do đó,
1
1
÷ ÷
÷ ÷
b.
1 2
3 4
4
n
n
+ +
−
÷
c.
1 1
1 4
6 2
n
+ +
Bài 3: Tính các giới hạn sau
a.
1
2 2 lim
2 4.3
+
+
1 4.3 7 lim
2.5 7
+
+
lim
Lời giải
a.
1
2 3
4 3
n
n
÷
b.
1
3
7
n
n
c.
1
+ +
+ +
Bài 4: Cho dãy số ( )u n
xác định bởi
1
1
2 1 2
n n
u u
u +
=
Tìm limu n
Lời giải
Ta có
1
1 1
2
1
1
2 2
n n
u
u
=
1
2
, và v1=1.
Trang 4Giả sư
1
2
n
a
Bài 5: Cho dãy số ( )u n
xác định bởi
1
1
10 1 3 5
u
u + u
=
a Chứng minh rằng dãy số ( )v n
xác định bởi
15 4
v = −u
lập thành một cấp số nhân
b Tìm limu n
Lời giải
a Ta có
1
1 1
10
15 1 15 1
3 5
u
=
v = −u ⇒u + − =v + = v
, dẫn đến dãy số ( )v n
xác định bởi
15 4
v = −u
là một cấp số nhân với công bội
1 5
q=
b Đặt limu n =a Suy ra a=15a+ ⇔ =3 a 154 .
Bài 6: Cho dãy số ( )u n
xác định bởi
u u − u −
a Chứng minh rằng: 2u n +u n−1=5, n≥2.
b Tìm limu n
Lời giải
3
2
u = u = u =
do đó đẳng thức đúng với n=2;n=3.
Giả sư đẳng thức đúng với n k= Tức là 2u k+u k−1 =5.
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với n k= + 1.
Thật vậy 2u k+1+ =u k (u k +u k−1)+ =u k 2u k+u k−1=5.
Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh
b. Theo câu a ta có 2u n+u n−1 =5 Đặt limu n =limu n−1=a Suy ra 2a a+ = ⇔ =5 a 53
Bài 7: Cho dãy số ( )u n
xác định bởi
1 1
2 2
u
u + u
=
Tìm limu n
Lời giải
Ta có u n >0
Ta sẽ chứng minh ( )u n
bị chặn trên, ta chứng minh u n <2.
Thật vậy với n=1 thì mệnh đề đúng
Trang 5Giả sư mệnh đề đúng với n k= , tức là u k <2, ta chứng minh u k+1<2.
Thật vậy u k+1= 2+u k < 2 2 2+ = .
Vậy mệnh đề được chứng minh
Nên ( )u n
bị chặn nên ( )u n
có giới hạn
Giả sư limu n = ⇒ =L L 2+ ⇒ − − = ⇔ =L L2 L 2 0 L 2 (do u n >0).
Vậy limu n =2.
Bài 8: Cho dãy số ( )u n
xác định bởi
1
1
1 2 1 2
n
n
u
u
u
+
=
−
Tìm limu n
Lời giải
+
Đặt
1 1
n n
v u
=
− Ta có
1 1 1
1
2 1 1
v u
v+ v
Khi đó ( )v n là cấp số cộng công sai d = − 1 nên v n = + −v1 (n 1) ( )− = − − − = − −1 2 (n 1) n 1.
Suy ra
1 1
n n
n u
Suy ra
1
1
n
n u
n
n
Bài 9: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số
Lời giải
10 10+ +10 +
là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội
1
10 nên
1
1
10
−
Trang 6b 2 3 4
10 +10 +10 +
là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội
1
10 nên
1
1
10
−
Suy ra
Bài 10: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số
a. 0,3211111 b. 0,313131 c. 3,1525252
Lời giải
a Ta có 3 4 5
10 +10 +10 +
là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội
1
10 nên
3
1
1
10
−
Suy ra
0,321111
b Ta có 2 4 6
10 +10 +10 +
là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội 2
1
10 nên
2
2
1
1
10
−
c Ta có 3 5 7
10 +10 +10 +
là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội 2
1
10 nên
3
2
1
1
10
−
Suy ra
Bài 11: Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân lùi vô hạn biết số hạng thứ hai là
12
5 và tổng của cấp số nhân lùi này bằng 15
Lời giải
Trang 7Ta có
2
2
1
4
5
u
q
q
=
=
+) Nếu
2 1
1
12 5
u
q
+) Nếu
2 1
4
3 5
u
q
Bài 12: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 12, hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai bằng
3
4, số hạng đầu là một số dương Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi này
Lời giải
1 12 1 1
u
q
1
Suy ra
3
12 1
5 4
4
q q
q
=
=
Ta chỉ chọn
3 4
q=
vì q<1 Khi đó 1
3
4
u = − =
03 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC
Dạng vô định ,
∞
∞ hay
( ) ( )
P n lim
Q n với P n( ) và Q n( ) là các hàm đa thức thì ta chia cả tư và mẫu cho nk với k lớn nhất
Dạng vô định ∞ − ∞ hay lim P n ( )−Q n( )
thì ta nhân với lượng liên hợp và đưa về dạng .
∞
∞
Bài 1: Tính các giới hạn sau
a lim( n2+4n n− )
b lim( n 1+ − n)
c lim( n2+ −n n2+1)
d lim( n2+5n 1+ − n2−n)
Bài 2: Tính các giới hạn sau
a lim n( − n2+3)
1 lim
n + −2 n +4
Trang 8c lim(3n3−2n2 −n)
d lim n 1− ( n 1+ − n)
Bài 3: Tính các giới hạn sau
a lim(3n−3n 1+ )
b
2
lim
c lim n( n 1+ − n)
d lim(3 n3−3n2+ −1 n2+4n)
Bài 4: Tính các giới hạn sau
a
n 2 lim
−
n 1 lim
n 1
+ +
c
2 n 2 lim
n 2 3
+
2
lim 2n 3
+ +
Bài 5: Tính các giới hạn sau
a
3 3 3
lim
+ −
lim
3n 1
− − +
c
lim
n 1 n 2
+
2 2
lim
+
Bài 6: Tính các giơi hạn sau
a
3
2
lim
2
lim
5n 1
+
c lim( n+ +1 n)
lim n +n +n
Bài 7: Tính các giới hạn sau:
a lim 1.3 3.51 1 (2n 1 2) (1 n 1)
b lim 1.3 2.41 1 n n.( 1 2)
Bài 8: Tính các giới hạn sau:
Trang 9b lim 1.2 2.31 1 n n.( 1 1)
Bài 9: Tính các giới hạn sau:
1 2
lim
3
n
+ + + +
b
2 2
lim
1 3 3 3
n n
Bài 10: Cho dãy số u n( ) với ( ) 2 2 2
u n
n
a rút gọn u n
b tính limu n
Bài 11: a chứng minh 1( ) 1 1 ( *)
b.Rút gọn u n =1 2 2 1 2 3 3 21 + 1 + + n n 1 1(n 1) n
c Tính limu n
Bài 12: Cho dãy số u n( ) được xác định bởi ( )
1
1
1
1 1 2
u
=
a Đặt v n =u n+1−u n Tính v1+ + +v2 v n theo n.
b Tính u n theo n
c Tính limu n
Bài 13: Cho dãy số u n( )
được xác định bởi 1 2 2 1 ( )
u + u + u n
a Chứng minh rằng 1
1
2
b Đặt
2 3
v = −u
.Tính v n theo n Từ đó tìm limu n
Bài 1: Tính các giới hạn sau
a lim( n2+4n n− )
b lim( n 1+ − n)
Trang 10c lim( n2+ −n n2+1)
d lim( n2+5n 1+ − n2−n)
Lời giải
a
2
2 4
n
+ +
1
1
−
1
lim
2
n
+
1 6
n
Bài 2: Tính các giới hạn sau
a lim(n− n2 + 3)
b. 2+ − 2+
1 lim
c.lim(3n3 − 2n2 −n)
d.lim n−1( n+ −1 n)
Lời giải
2 2 2
b.
−
2
Trang 112
3
2
3
3 3
3
n
d.
1 1
2
n
Bài 3: Tính các giới hạn sau
a lim(3n−3n+1)
b.
2
1 lim
1
c lim n n( + −1 n)
d lim(3n3 − 3n2 + − 1 n2 + 4n)
Lời giải
a
2
3 2
2
−
2
1
b.
2
3
1
+ +
2 2
3
3
c
2
n
n
Trang 12d lim(3n3 − 3n2 + − 1 n2 + 4n) = lim(3n3 − 3n2 + − − 1 (n 1) ) (+ lim n− − 1 n2 + 4n)
3
3
Bài 4: Tính các giới hạn sau
a
−
2 lim
1
n
+ +
1 lim
1
n n
c
+ + +
lim
2 3
n
+ +
2 1 lim
n n
Lời giải
Làm tương tự như các phần trên ta được kết quả:
a
2
1
n
+
1
1
n n
c
+ +
2 3
n n
+
2 1 1 lim
n
Bài 5: Tính các giới hạn sau
a
+ − + −
3 3 3
1 1 lim
1 2
n
− − +
lim
n
c
+
lim
+
2 2
2 lim
n n n
Lời giải
Trang 13a
+ − + −
3 3 3
1 1 lim
1 2
n n
Đặt 6(n3+ =1) t
Bài 13: Tính giá trị các biểu thức sau:
a Chứng minh: 1( ) 1 1 ( *)
n
u
c Tìm limu n
Lời giải
a) Ta có: 1 1( 1) ( (1) (1) 1) ( ( 1)1( )( 1)1)
+ −
1 1
n n
+ −
+
b) Áp dụng đẳng thức đã được chứng minh được ở câu a, ta có:
c) Ta có:
1
1
n
u
n
+
Bài 14: Cho dãy số ( )u n
1
1
1
1
1 2
u
=
a Đặt v n =u n+1−u n Tính v1+ + +v2 v n theo n.
b Tính u n theo n
c Tìm limu n
Lời giải
Trang 14a) Ta có: 1
1 2
v =u + − =u
A
A
A
b) Từ câu a, suy ra: A v= + + + = − + − + +1 v2 v n u2 u1 u3 u2 u n+1− =u n u n+1−1
1
1
2
u = − − =
Bài 15: Cho dãy số ( )u n
được xác định bởi: 1 2 2 1 ( )
u + u + u n
a Chứng minh rằng: 1
1
2
b Đặt
2 3
v = −u
Tính v n theo n Từ đó tìm limu n
Lời giải
1
2
2
3
Từ đó, suy ra:
.
1
1
n
u v
−
Suy ra,
1
n n
u
−