Báo cáo học viên bắc ninh

Nếu tất cả các điểm trên đường tròn này được tô màu xanh thì 2 điểm trên đường tròn có khoảng cách d thỏa mãn điều kiện.. Gọi n là số nhỏ nhất mà khi tô màu mỗi điểm bởi 1 trong n màu mộ

DÃY SỐ LỒI Kiều Đình Minh, THPT chuyên Hùng Vương, Phú thọ

Dãy số lồi đã từng xuất hiện trong những năm 70 của thế kỷ trước nhưng chưa được quan tâm đúng mức, mặc dù dãy số này có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học Ngày nay người ta cũng đã nghiên cứu khá nhiều về dãy số lồi và các mở rộng của nó

Như vậy thì một dãy lồi bậc 2 là dãy lồi

Định nghĩa 3 Dãy số dương  a n 1được gọi là lồi lôgarit nếu 2

a  a  a  k và gọi là lõm lôgarit nếu 2

+) Một dãy là 2  lồi thì là dãy lồi

Ngoài các khái niệm trên thì người ta cũng đã đưa ra định nghĩa về dãy lồi trung bình, dãy tựa lồi, dãy giả lồi

Chứng minh

- Nếu với mọi k  1, ta có ak  ak+1, khi đó max{a1, a2, …, an} = a1 = max{ a1, an}

- Nếu k min, k  1 thoả mãn ak < ak+1, ta có:

ak + ak+2  2ak+1  ak+1  ak+2  ak < ak+1 < ak+2 < … < an, mặt khác ta có :

a1  a2  …  ak

Như vậy, ta suy ra max{ a1, a2, … , an} = max{ a1, an}

Trong cả 2 trường hợp, ta có điều phải chứng minh

Định lý 3 Dãy  a n lõm nếu dãy a n là lồi

Chứng minh Dễ dàng suy ra từ định nghĩa

Định lý 4 Cho  a n 1 là dãy số lồi Khi đó

(a) Nếu c 0,d  thì ca nd1 là dãy số lồi;

(b) Nếu c   thì a ncn1 là dãy số lồi;

(c) Nếu a n  0,  n 1 thì  2

1

n

a  là dãy số lồi ; (d) Nếu  b n 1 là dãy số lồi thì a nb n1 cũng là dãy số lồi

Chứng minh

a) Do giả thiết  a n 1 lồi nên a k1a k1 2a k,  k 2 Suy ra

ca k d  ca k2 dc a k a k2 2d c a.2 k1  2d  2ca k1 d, hay ca nd1 lồi b) Chứng minh tương tự a)

Định lý 5 Cho  a n 1 là dãy số lồi Khi đó

a) Nếu  a n 1 là không giảm thì na n1 là dãy số lồi;

b) Nếu

1

n

a n

a) Nếu  x n 1, y n 1 là các dãy lồi lôgarit thì dãy x ny n1 cũng là lồi lôgarit

b) Nếu  x n 1, y n 1 là các dãy lồi lôgarit thì dãy x y n n1 cũng là lồi lôgarit

Chứng minh

a) Theo bất đẳng thức Bunyakovski, ta có

x n1 y n1x n1 y n1 x n1x n1  y n1y n12x ny n2,  n 2.

b) Chứng minh tương tự a)

Như vậy, với 1 cặp ( a2k, a2l) , ta có : a2k + a2l  a2k+1 + a2l-1 ( mọi n > l > k  0 )

  (a2k + a2l)   (a2k+1 + a2l-1) ( mọi n > l > k  0 )

 n( a0 + a1 + … + a2n)  (n+1)(a1 + a3 + … + a2n-1)

Ta có điều phải chứng minh

-Cách 2 : Ta chứng minh bằng quy nạp Với n 1, kết luận đúng Giả sử khẳng định đúng với n, ta chứng minh với n 1, hay

Thí dụ 2 Cho  a i 1n là một dãy lồi, đặt

1

1

Lời giải -Cách1: Định nghĩa f k k k  1k 1 2 A k A k1 A k1,k 2,3, ,n 1. Từ giả thiết

 (l2 + 1)al+2 + 2( a1 + a2 +…+ al-1 + al) + (l2 – 1)al+1  (l2 + l)(al+2 + al) 

( 2l2 + 2l)al+1

 (l2 + l)al+2 + 2( a1 + a2 + …+ al)  (l2 + 3l) al+1

Vậy có điều phải chứng minh

Thí dụ 3 Cho dãy số lồi   a k 1n n 3 với a1a n  0. Chứng minh rằng

   với mọi dãy dương lõm  a n n 0,1, ,N.

Bài 9 Giả sử  u k 1n là dãy số lồi Chứng minh rằng

1 1

1

1 2

n

k n

k

n u k

n i i

a





 Tìm biểu thức f n  bé nhất sao cho với mọi k1, 2, ,n, ta có a k  f n maxa1 ;a n.

Bài 13 Cho dãy số lồi (lõm)  a k 1n. Chứng minh rằng dãy số  c k 1n, với

c k a k a n 1k là giảm (tăng) với mọi 1, 2, , 1

a n

1

Chuyên đề: BÀI TOÁN TÔ MÀU Tác giả: Trần Mạnh Sang;

Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định;

Địa chỉ email: manhsang12.1@gmail.com;

Số điện thoại : 0972276698

Chuyên đề sẽ tập trung vào 3 phần: Phần 1 tô màu điểm trên mặt phẳng, trong không gian; phần 2 là các bài toán tô màu đồ thị và phần 3 các bài toán tô màu bảng ô vuông cùng 1

số bài toán ứng dụng phương pháp tô màu

Phần 1: Các bài toán tô màu điểm

Bài 1 Mỗi điểm trên đường thẳng được tô bởi 1 trong 2 màu Chứng minh tồn tại 3 điểm được

tô cùng màu mà có 1 điểm là trung điểm của 2 điểm còn lại

Giải

Nếu tất cả các điểm được tô cùng 1 màu ta có điều phải chứng minh

Ngược lại, xét 2 điểm A, B được tô cùng màu, giả sử là đỏ

Điểm C là trung điểm của AB, nếu C được tô xanh ta có điều phải chứng minh

Nếu C được tô đỏ, xét 2 điểm D và E tương ứng đối xứng với A qua B và đối xứng với B qua

A Nếu có 1 trong 2 điểm này được tô xanh thì điểm này cùng với A, B thỏa mãn Nếu không thì cả 2 điểm được tô đỏ, khi đó 2 điểm này cùng với C thỏa mãn

Vậy ta có điều phải chứng minh

Một bài toán có lời giải tương tự

Bài 2 Mỗi điểm trên đường tròn được tô bởi 1 trong 2 màu Chứng minh tồn tại 3 điểm được

tô cùng màu mà 3 điểm này tạo ra 2 dây cung bằng nhau

Bài 3 Mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bởi 1 trong 2 màu và số dương d Chứng minh tồn tại

2 điểm có khoảng cách d được tô cùng màu

Giải

Giả sử tô các màu xanh và đỏ

Cách 1: Nếu tất cả các điểm được tô cùng 1 màu ta có điều chứng minh

Ngược lại, xét điểm O được tô đỏ và đường tròn tâm O bán kính d

Nếu có điểm trên đường tròn này được tô đỏ thì điểm này cùng với O thỏa mãn

2

Ngược lại, tất cả các điểm trên đường tròn được tô xanh, chọn 2 điểm có khoảng cách d, hai điểm này thỏa mãn điều kiện

Vậy ta có điều chứng minh

Cách 2: Xét tam giác đều ABC cạnh d Do mỗi điểm được tô bởi 1 trong 2 màu nên có 2 điểm được tô cùng 1 màu, hai điểm này thỏa mãn điều kiện Ta có điều chứng minh

Bài 4 Mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bởi 1 trong 3 màu và số dương d Chứng minh tồn tại

2 điểm có khoảng cách d được tô cùng màu

Giải

Giả sử có các màu xanh, đỏ, vàng

Xét điểm O được tô màu xanh và đường tròn tâm O bán kính

3

d

Nếu tất cả các điểm trên đường tròn này được tô màu xanh thì

2 điểm trên đường tròn có khoảng cách d thỏa mãn điều kiện

Ngược lại trên đường tròn này có điểm được tô khác xanh, giả

sử điểm P được tô màu đỏ

Xét 2 điểm A, B sao cho 2 tam giác OAB và PAB đều có cạnh d

Nếu 1 trong 2 điểm A và B được tô đỏ hoặc xanh thì cùng với O hoặc P thỏa mãn Ngược lại 2 điểm này cùng được tô vàng, hai điểm này thỏa mãn

Vậy có điều chứng minh

Cách 2 được trình bày trong cuốn sách Geometric Etudes in Combinatorial Mathematics của tác giả A Soifer nhà xuất bản Springer, 2010 (2nd, expanded edition)

Xét 7 điểm A, B, C, D, E, F, G sao cho tất cả các đoạn AB,

AC, AD, AE, BE, CD, FB, FD, GD, GC, FG đều bằng d

(Dựng ngũ giác đều ABFGC, trung trực AB và BF cắt nhau

tại E, trung trực AC và CG cắt nhau tại D)

Giả sử A được tô xanh

Nếu có B hoặc E được tô xanh thì điểm này cùng với A thỏa

mãn

Nếu 2 điểm này được tô cùng màu thì 2 điểm này thỏa mãn

Ngược lại 2 điểm B và E được tô khác màu và khác xanh, giả sử B được tô đỏ và E được tô vàng

P A

3

Xét điểm F, nếu được tô bởi đỏ hoặc vàng thì có điều chứng minh, ngược lại F được tô xanh Xét tương tự với các điểm còn lại ta có điều chứng minh

Qua hai bài toán trên nhận thấy nếu tô màu mỗi điểm trên mặt phẳng bởi 1 trong n màu

n2,3 thì luôn có 2 điểm cùng màu có khoảng cách d cho trước Vấn đề đặt ra có phải với n bất kì ta đều có điều này hay không

Gọi n là số nhỏ nhất mà khi tô màu mỗi điểm bởi 1 trong n màu một cách bất kì thì không thu được 2 điểm cùng màu có khoảng cách d cho trước

Theo bài toán trên dễ thấy n 4

Những lục giác được đánh số i thì các điểm trên đó

được tô màu i

Khi đó khoảng cách giữa 2 điểm được tô cùng màu

trong cùng 1 lục giác sẽ không lớn hơn 2a

Khoảng cách giữa 2 điểm được tô cùng màu trong

2 lục giác khác nhau sẽ không nhỏ hơn AB (hình vẽ

dưới)

Ta có AB2 AC2 BC2 4a23a2 7a2 4a2

Ta chỉ cần chọn a sao cho 2 7

27

a d  a   thì akhoảng cách giữa 2 điểm cùng màu không bằng d

Bài 5 Mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bởi 1 trong 2 màu Chứng minh tồn tại 1 tam giác đều

mà 3 đỉnh của nó được tô cùng màu

Giải

Giả sử có 2 màu xanh và đỏ

Theo kết quả trên ta có 3 điểm A, B, C được tô cùng màu mà

B là trung điểm AC, giả sử được tô màu đỏ

Xét các điểm D, E, F như hình vẽ Khi đó được 5 tam giác đều

ABD, BCE, DEF, BDE, ACF

Nếu có 1 trong các điểm D, E, F được tô đỏ thì cùng với các

4

điểm A, B, C có tam giác đều Ngược lại có tam giác DEF cùng được tô xanh

Bài 6 Có thể hay không để tô màu mỗi điểm trên mặt phẳng bởi 1 trong 3 màu sao cho không

có đường thẳng nào mà tất cả các điểm trên đường này được tô cùng màu

Giải

Xây dựng mô hình thỏa mãn bài toán

Giả sử ta dùng các màu xanh, đỏ, vàng

Cố định điểm O trên mặt phẳng và tô xanh cho O Nhận thấy rằng mặt phẳng là hợp của tất cả các đường thẳng qua O Tô màu tất cả các điểm trên mỗi đường này bởi 1 trong 2 màu đỏ, vàng sao cho có ít nhất 2 đường được tô đỏ và ít nhất 2 đường được tô vàng

Khi đó với mỗi đường thẳng đi qua O thì tất cả các điểm không được tô cùng màu (đúng 1 màu xanh, các điểm còn lại được tô đỏ hoặc vàng)

Mỗi đường thẳng không đi qua O thì cắt ít nhất 1 đường được tô đỏ và 1 đường được tô vàng nên trên đường này có 2 điểm được tô khác màu

Khi đó trên đường thẳng bất kì luôn có 2 điểm được tô khác màu Ta có điều chứng minh Bài 7 Mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bởi 1 trong 2 màu Chứng minh tồn tại một hình chữ nhật mà các đỉnh được tô cùng màu

Giải

Trên mặt phẳng tọa độ, xét các điểm nguyên được tô màu xanh hoặc đỏ

Xét các điểm có tọa độ  i j i; , 1, 2,3; j 1,2, ,9

Với mỗi bộ  i j i; , 1, 2,3 có 8 cách tô màu, mà có 9 bộ nên có 2 bộ có cùng cách tô màu, giả

sử là    i j; 1 , ,i j2 ,i 1, 2,3 Trong 3 điểm  i j i; 1 , 1,2,3 có 2 điểm được tô cùng màu, giả sử

là  1; j và 1 2; j khi đó có hình chữ nhật với các đỉnh 1  1; j , 1 2; j , 1 1; j , 2 2; j được tô 2cùng màu

Bài 8 Mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bởi 1 trong 2 màu xanh và đỏ Xét các hình vuông có cạnh là 1 Chứng minh trong đó có ít nhất 1 hình vuông có 3 đỉnh màu đỏ hoặc có ít nhất 1 hình vuông có 4 đỉnh màu xanh

Giải

Gọi tính chất có hình vuông cạnh 1 mà các đỉnh được tô màu xanh là T

Xét hình vuông PP P P có cạnh là 1 1 2 3 4

Nếu 4 đỉnh này được tô màu xanh thì có T

Nếu có 1 đỉnh được tô đỏ, giả sử là P Xét hình chóp đều 1 P P P P P có tất cả các cạnh bằng 1 1 5 6 7 8

5

Nếu tất cả các điểm P P P P được tô xanh ta có T 5, , ,6 7 8

Ngược lại, có điểm được tô đỏ, giả sử đó là P Dựng lăng trụ đều 5 PP P P P P có tất 1 9 10 5 11 12

Giải

Theo kết quả bài 2, với số thực dương d bất kì luôn có 2 điểm cùng màu mà khoảng cách là d Với 2 số thực dương a b bất kì Nếu 2 số này cùng thuộc X hoặc D ta có điều chứng minh Ngược lại, giả sử a thuộc X và b thuộc D

Xét điểm A được tô đỏ, và tam giác cân ABC với AB = AC = a, BC = b

Do a không thuộc D nên cả B và C không được tô đỏ nên chúng cùng được tô xanh, điều này mâu thuẫn với b thuộc D Vậy có điều chứng minh

Bài 10 Mỗi điểm trong không gian được tô bởi 1 trong 3 màu xanh, đỏ, vàng Xét các tập X,

D, V mà mỗi tập chứa các số là độ dài của đoạn thẳng mà đầu mút cùng là các điểm được tô xanh, đỏ, vàng tương ứng Chứng minh có ít nhất 1 tập chứa tất cả các số thực dương

Giải

Gọi G, R, Y là các tập chứa các điểm được tô xanh, đỏ, vàng tương ứng

Giả sử tồn tại các số thực dương a1 a2  mà a3 a1X a, 2D a, 3 V

Xét điểm x thuộc G và dựng mặt cầu S1 x a , suy ra S1; 1    G

Do a1  nên S Ya3  vì nếu không thì trên S sẽ có 2 điểm có khoảng cách là a 3

Suy ra tồn tại y R  Xét các điểm trên S cách y khoảng S a , các điểm này được tô vàng và 2nằm trên một đường tròn có bán kính là

2 2

6

Vậy có điều chứng minh

Bài 11 Trên mặt phẳng cho 2017 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng Phân hoạch các điểm này thành 84 tập, mỗi tập có ít nhất 3 điểm Ba điểm trong cùng 1 tập tạo thành 1 tam giác Xác định phân hoạch có ít tam giác nhất, số lượng tam giác là bao nhiêu?

C C  C C   C  C  , điều này đúng

do m 1 n

Do đó ta cần chia các tập sao cho số phần tử trong các tập này lệch nhau ít nhất

Nhận thấy 2017 chia 84 được thương là 24, dư 1

Suy ra để số lượng tam giác là ít nhất thì cần chia các điểm này thành 83 tập, mỗi tập có 24 điểm và 1 tập có 25 điểm

Số tam giác khi đó là 3 3

24 25

83.C C .Bài 12 Cho hình bên có 14 điểm Hỏi có thể tạo được 1 con đường đi

qua mỗi điểm đúng 1 lần không?

Giải

Tô màu mỗi điểm bởi 1 trong 2 màu đen và trắng như hình vẽ

Nhận thấy khi di chuyển trên các đoạn thẳng thì luôn chuyển từ 1 điểm

đen đến 1 điểm trắng hoặc ngược lại

Giả sử có đường đi đi qua mỗi điểm đúng 1 lần thì trên đường đi này các

điểm đen và trắng xen kẽ nhau

Do có 14 điểm nên số điểm đen và trắng bằng nhau

Tuy nhiên theo cách đánh số thì có 8 điểm trắng và 6 điểm đen, suy ra mâu thuẫn

Vậy giả sử sai, ta có điều chứng minh

Bài 13 Mỗi điểm trên mặt cầu được tô bởi 1 trong 2 màu Chứng minh tồn tại 3 điểm được tô cùng màu là 3 đỉnh của tam giác vuông

Bài 14 (Singapore MO 2012) Có 2012 điểm phân biệt trên mặt phẳng Tô màu mỗi điểm bởi

1 trong n màu sao cho số điểm được tô mỗi màu là phân biệt Một tập n điểm được gọi là “tốt” nếu màu tô 2 điểm khác nhau là khác nhau Xác định n để thu được nhiều tập tốt nhất

Bài 15 (USAMO 2012) Một đường tròn được chia thành 432 cung liên tiếp bởi 432 điểm Mỗi điểm được tô bởi 1 trong 4 màu sao cho có đúng 108 điểm được tô đỏ, 108 điểm được tô

Giải

Đưa bài toán về ngôn ngữ đồ thị như sau: Cho đồ thị đầy đủ có n đỉnh, tô màu mỗi cạnh bởi 1 màu sao cho không có màu nào được dùng quá n  lần Chứng minh tồn tại một 2 tam giác mà 3 cạnh được tô 3 màu khác nhau

Chứng minh bài toán bằng nguyên lí cựu hạn

Giả sử phản chứng, nghĩa là không tồn tại tam giác mà 3 cạnh được tô 3 màu khác nhau Giả sử ta sử dụng các màu 1, 2, 3, …, k

Với mỗi i, kí hiệu Ci là tập tất cả các đỉnh mà với 2 đỉnh bất kì trong đó có đường đi được tô cùng màu i (Đường đi trong đồ thị là dãy các cạnh liên tiếp)

 , giả sử các đỉnh trong C được tô màu 1

Do điều kiện mỗi màu được dùng không quá n  lần nên tồn tại đỉnh v không thuộc C 2 Xét 2 đỉnh bất kì u, w trong C, khi đó cả 2 cạnh vu, vw được tô màu khác màu 1 (vì nếu

có cạnh được tô màu 1 thì v thuộc C)

Nếu 2 cạnh này được tô 2 màu khác nhau thì tam giác uvw thỏa mãn điều kiện, mâu thẫu giả sử

Nếu 2 cạnh này được tô cùng màu, giả sử màu 2 Khi đó tất cả các cạnh nối v và đỉnh trong C cùng được tô màu 2 (do u, w được lấy bất kì)

Suy ra tập C    v chứa các đỉnh mà với 2 đỉnh bất kì trong đó có đường đi được tô cùng màu 2, tập này có nhiều phần tử hơn tập C, mâu thuẫn cách chọn C

Vậy điều giả sử là sai, ta có điều phải chứng minh

8

Bài 2 (IMO Shortlist 1990) Có 10 thành phố và 2 hãng hàng không cung cấp tất cả các đường bay trực tiếp từ 2 thành phố bất kì, giữa 2 thành phố có đúng 1 đường bay Một hãng hàng không chỉ tổ chức được chuyến bay trên đường bay mà mình quản lí Chứng minh có 1 hãng hàng không có thể tổ chức 2 chuyến du lịch, mỗi chuyến là đường đi vòng tròn qua lẻ thành phố và không có thành phố chung của 2 chuyến du lịch này Giải

Đưa bài toán về ngôn ngữ graph: Xét graph đầy đủ K10 Mỗi cạnh của graph được tô bởi màu xanh hoặc đỏ Chứng minh tồn tại 2 chu trình rời nhau, cùng màu và có độ dài

Dễ chứng minh bằng nguyên lí Dirichle

Bổ đề 2 Mỗi cạnh của graph K5 được tô bởi 1 trong 2 màu, giả sử không tồn tại tam giác đơn sắc Khi đó tồn tại 2 chu trình đơn sắc có độ dài 5

Chứng minh

Xét các đỉnh của K5 là v v v v v1, , , ,2 3 4 5 và các cạnh v v v v v v v v1 2, 1 3, 1 4, 1 5

Nếu cả 4 cạnh này cùng màu thì sẽ tồn tại tam giác đơn sắc, mâu thuẫn giả thiết

Nếu có 3 cạnh, giả sử là v v v v v v1 2, 1 3, 1 4 cùng màu, giả sử là màu đỏ

Xét 3 cạnh v v v v v v2 3, 3 4, 4 2, nếu có cạnh màu đỏ thì có tam giác đỏ, nếu không thì có tam giác xanh, mâu thuẫn giả sử

Vậy mỗi đỉnh là đầu mút của đúng 2 cạnh xanh và 2 cạnh đỏ

Xét graph sinh ra từ graph trên mà chỉ giữ lại cạnh được tô đỏ, graph này có 5 đỉnh, mỗi đỉnh đều có bậc 2, khi đó nó là hợp của các chu trình rời nhau, do chỉ có 5 đỉnh nên nó chỉ có 1 chu trình, chu trình này có độ dài là 5 Tương tự với graph khi ta chỉ giữ lại các cạnh được tô xanh

Ta có điều phải chứng minh

Quay lại bài toán

Xét 10 đỉnh của graph là v v1, , ,2 v10

9

Theo bổ đề 1, tồn tại tam giác đơn sắc, giả sử là v v v1 2 3

Tiếp tục bổ đề 1 với graph con K10   v v v1, ,2 3 , ta có tam giác đơn sắc, giả sử là v v v4 5 6 Nếu 2 tam giác này cùng màu ta có điều phải chứng minh

Ngược lại, giả sử v v v1 2 3 màu xanh và v v v4 5 6 màu đỏ

Xét 9 cạnh v vi j,1   i 3,4   , theo nguyên lí Dirichle có 5 cạnh trong số chúng cùng j 6 màu, giả sử là màu xanh Khi đó tồn tại j0,4  j0  6 sao cho 2 trong 3 cạnh

Nếu graph này có tam giác đơn sắc thì có điều chứng minh

Ngược lại, theo bổ đề 2 thì tồn tại 1 chu trình đơn sắc có độ dài 5

Chu trình này cùng với 1 trong 2 tam giác ở trên thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy bài toán được chứng minh

Bài 3 Một viện hàn lâm có 999 viện sĩ, mỗi đề tài khoa học có đúng 3 viện sĩ nghiên cứu và 2 viện sĩ bất kì có chung nhau đúng 1 đề tài cùng nghiên cứu Chứng minh trong

số các đề tài nghiên cứu, tồn tại 250 đề tài mà mỗi viện sĩ chỉ nghiên cứu tối đa 1 đề tài trong số 250 đề tài đó

Giải

Giả sử các đề tài là 1, 2, …, n tương ứng với các màu 1, 2, …, n

Xây dựng đồ thị G có 999 đỉnh, 2 đỉnh nối với nhau nếu 2 viện sĩ tương ứng nghiên cứu cùng 1 đề tài, đồng thời tô màu cạnh này tương ứng với đề tài đó

Khi đó ta được G là đầy đủ, hơn nữa với mỗi màu có đúng 3 cạnh được tô màu này và 3 cạnh này tạo thành 1 tam giác đơn sắc

Cần chứng minh tồn tại 250 tam giác đơn sắc đôi một rời nhau

Gọi k là số lớn nhất các tam giác đơn sắc đôi một không có điểm chung

Nếu k  250 ta chọn k đề tài ứng với k màu của k tam giác trên thì bài toán được chứng minh

10

Nếu k  250 , trong  999 3k   đỉnh còn lại không thể tìm được 1 tam giác đơn sắc nào nữa (nếu có thì k không lớn nhất)

Gọi S là tập chứa  999 3k   đỉnh này, T là tập các đỉnh không thuộc S

Suy ra với 2 điểm X, Y bất kì trong S, tồn tại duy nhất điểm Z trong T sao cho  XYZ

  cặp điểm trong S mà mỗi cặp

điểm này đều kề với 1 đỉnh của tam giác ABC trong T

Do S  252 nên số cặp điểm  X Y ,  trong S cùng kề với 1 điểm trong T không vượt quá 126 (vì nếu có quá 126 cặp điểm cùng nối với 1 điểm M trong T thì có 3 điểm N, P,

Q cùng nối với M nên có 4 điểm M, N, P, Q cùng làm 1 đề tài, mâu thuẫn)

Suy ra tồn tại 2 cặp điểm  X Y1, 1 và  X Y2, 2 trong S tương ứng kề với 2 điểm Z Z1, 2 là

2 đỉnh của tam giác Z Z Z1 2 3 đơn sắc trong T

Khi đó nếu bỏ đi tam giác Z Z Z1 2 3 và thay bởi 2 tam giác đơn sắc X Y Z1 1 1 và X Y Z2 2 2 thì

số tam giác đơn sắc nhiều hơn k, trái với tính lớn nhất của k Vậy k  250 không thỏa mãn

Khi đó tạo được m  nhóm mà trong mỗi nhóm các đỉnh được tô cùng màu, hay chúng 1 không kề với nhau Ta có điều chứng minh

11

Bài 5 (IMO 1992, P3) Cho G là graph đầy đủ với 9 đỉnh Mỗi cạnh được tô bởi 1 trong

2 màu xanh, đỏ hoặc không tô màu Tìm n nhỏ nhất sao cho nếu tô màu n cạnh bất kì thì tồn tại ít nhất 1 tam giác đơn sắc (tam giác có 3 cạnh không được tô không được gọi là đơn sắc)

Giải

Số cạnh của graph là 2

9 9.4 36

C   +) Chứng minh tồn tại cách tô 32 cạnh mà không có tam giác đơn sắc

Xét đỉnh V và tô 4 cạnh xanh nối tới các đỉnh B B B B1, , ,2 3 4 và 4 cạnh đỏ nối tới các đỉnh

1, , ,2 3 4

R R R R Các cạnh B Bi i1 tô đỏ, R Ri i1 tô xanh với mọi i  1,2,3,4 Các cạnh B Ri j

tô xanh nếu i  lẻ, cạnh j B Ri j tô đỏ nếu i  chẵn j

Khi đó ta tô màu 32 cạnh và không có tam giác đơn sắc Suy ra n  33

+) Chứng minh n  33 thỏa mãn

Giả sử phản chứng, có thể tô 33 cạnh mà không có tam giác đơn sắc

Xét đỉnh X bất kì, nếu X là đầu mút của 5 cạnh được tô xanh, giả sử được nối với các đỉnh A A A A A1, , , ,2 3 4 5 Nếu có cạnh nối 2 trong 5 đỉnh trên được tô màu thì đó là màu đỏ

Chú ý: Nếu có nhiều hơn

4  cạnh đỏ, nghĩa là

có ít nhất 2 cạnh không được tô màu Tương tự với các cạnh R Ri j có ít nhất 2 cạnh không được tô màu Suy ra có ít nhất 4 cạnh của G không được tô màu, nghĩa là tô màu nhiều nhất 32 cạnh, mâu thuẫn

12

Suy ra, nếu chỉ xét những cạnh được tô màu thì không có đỉnh nào có bậc 8, suy ra bậc mỗi đỉnh nhiều nhất là 7, suy ra tổng bậc của 9 đỉnh nhiều nhất là 9.7 63 2.33 69    , mâu thuẫn

Vậy giả sử sai, ta có điều chứng minh

Bài 6 Cho graph G đơn, vô hướng, hữu hạn Chứng minh có thể tô tất cả các đỉnh của

G, mỗi đỉnh bởi 1 trong 2 màu sao cho 2 đỉnh kề nhau được tô màu khác nhau khi và chỉ khi mọi chu trình đơn trong G đều có độ dài chẵn

Giải

1) Giả sử có thể tô tất cả các đỉnh của G, mỗi đỉnh bởi 1 trong 2 màu xanh, đỏ sao cho 2 đỉnh kề nhau được tô màu khác nhau

Nếu G không có chu trình ta có điều chứng minh

Nếu G có chu trình, xét chu trình bất kì v v v v v1 2 n 1, n i  v ii  1,2, , n  , giả sử v1 được

tô xanh, suy ra tất cả các đỉnh vi với i lẻ được tô xanh và vi với i chẵn được tô đỏ Do v1

và vn kề nhau nên vn được tô đỏ, hay n chẵn Ta có điều chứng minh

2) Giả sử mọi chu trình đơn trong G đều có độ dài chẵn

Ta chỉ ra cách tô màu thỏa mãn điều kiện

Chia G thành các thành phần liên thông rời nhau, và tô màu từng thành phần liên thông Xét thành phần liên thông P có tập đỉnh là V

Chọn đỉnh u trong V và tô xanh cho u Xét đỉnh v khác u bất kì trong V Do mọi chu trình đều có độ dài chẵn nên mọi đường đi từ v đến u có độ dài cùng tính chẵn lẻ Nếu

độ dài các đường đi là chẵn thì tô v bởi màu xanh, ngược lại tô v bởi màu đỏ Ta được cách tô thỏa mãn điều kiện

Ta có điều chứng minh

Bài 7 (TOT 1986) Có 20 đội bóng tham gia giải thi đấu Trong ngày đầu tiên tất cả các đội thi đấu với 1 đội khác Ngày thứ 2 tất cả các đội thi đấu với 1 đội khác ngày hôm trước Chứng minh sau ngày thi đấu thứ 2 có thể chọn được 10 đội sao cho không có 2 đội trong số chúng đã thi đấu với nhau

Giải

Xây dựng đồ thị 20 đỉnh ứng với 20 đội bóng, cạnh nối hai đỉnh khi 2 đội thi đấu với nhau Tô màu đỏ cho cạnh ứng với trận đấu của ngày thứ nhất và màu xanh ứng với trận đấu của ngày thứ 2

13

Khi đó tại mỗi đỉnh đều có bậc 2 và là đầu mút của 1 canh đỏ, 1 cạnh xanh, suy ra các thành phần của đồ thị là các chu trình chẵn rời nhau Trong mỗi chu trình chọn được 1 nửa đỉnh trong số chúng không kề nhau Ta có điều chứng minh

Bài 8 (Belarus 2010) Cho n  điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho không có 3 3 điểm thẳng hàng Nối tất cả các đoạn thẳng tạo bởi 2 điểm trong n điểm trên Mỗi đoạn được tô bởi 1 trong 4 màu sao cho nếu với 1 tam giác có 2 cạnh được tô cùng màu thì cạnh còn lại cũng được tô màu này Biết rằng mỗi màu được dùng ít nhất 1 lần Tìm giá trị lớn nhất của n

Giải

Xét mô hình đồ thị như bài toán Giả sử các màu được dùng là 1, 2, 3, 4

Xét các đồ thị con đầy đủ mà các cạnh được tô cùng màu (ta gọi là đồ thị đơn sắc) Nhận thấy luôn tồn tại những đồ thị như vậy, ít nhất 1 cạnh được tô màu là 1 đồ thị thỏa mãn

Xét đồ thị G nhiều đỉnh nhất thỏa mãn điều trên và các cạnh của nó được tô màu 1

Do mỗi màu được dùng ít nhất 1 màu nên có đỉnh v không thuộc G

Xét các cạnh nối v với các đỉnh trong G, nếu có cạnh được tô màu 1 thì tất cả các cạnh đều được tô đỏ, khi đó G    v đầy đủ, đơn sắc nhưng nhiều đỉnh hơn G Nếu có 2 cạnh cùng được tô màu khác thì cạnh còn lại phải được tô màu này, mâu thuẫn do nó đang được tô màu 1

Suy ra tại mỗi đỉnh v không thuộc G thì các cạnh được tô màu đôi một khác nhau và khác mà 1, suy ra G có nhiều nhất 3 đỉnh Khi đó tại mỗi đỉnh, chỉ có nhiều nhất 2 cạnh cùng màu (vì nếu có 3 cạnh cùng màu thì có 3 đỉnh cùng với đỉnh này tạo thành 1 đồ thị đầy đủ đơn sắc)

Có 4 màu được dùng nên bậc của mỗi đỉnh không vượt quá 8, hay số đỉnh không vượt quá 9

Với 9 đỉnh a a a b b b c c c1, , , , , , , ,2 3 1 2 3 1 2 3 thực hiện việc tô màu như sau: tô màu 1 cho các cạnh của các đồ thị đầy đủ  a a a1, ,2 3  , b b b1, ,2 3  , c c c1, ,2 3

Tô màu 2 cho các cạnh của các đồ thị đầy đủ  a b c ii, ,i i ,  1,2,3

Tô màu 3 cho các cạnh của các đồ thị đầy đủ  a b ci, i1, i2 , i  1,2,3

Tô màu 4 cho các cạnh của các đồ thị đầy đủ  a bi, i2, ci4 , i  1,2,3

Ta có điều chứng minh

14

Bài 9 Cho một tam giác ABC Chia nó ra thành nhiều tam giác

con một cách tùy ý Tô màu các đỉnh của các tam giác con bằng

3 màu xanh, vàng, đỏ, sao cho: A tô màu xanh, B tô màu vàng, C

tô màu đỏ, các đỉnh trên cạnh AB thì phải có màu là xanh hoặc

vàng (giống như màu A hoặc B), các đỉnh trên cạnh BC thì phải

có màu là vàng hoặc đỏ (giống màu của B hoặc C), và các đỉnh

trên cạnh CA thì phải có màu là đỏ hoặc xanh (giống như màu

của C hoặc A) Xem hình vẽ minh họa Chứng minh rằng: Khi

đó luôn tồn tại ít nhất 1 tam giác con có 3 đỉnh được tô bằng đủ 3 màu xanh, vàng, đỏ

Bài toán trên được biết đến với tên gọi Bổ đề Sperner (Sperner’s lemma), do nhà toán học người Đức Emanuel Sperner (1905-1980) nghĩ ra trong một bài báo từ năm 1928

Có cách chứng minh bài toán

Vẽ một đồ thị, trong đó có một đỉnh ứng với miền bên ngoài của tam giác ABC và mỗi đỉnh còn lại ứng với một tam giác con bên trong tam giác ABC Mỗi cạnh của đồ thị ứng với hai miền (tam giác con hoặc miền bên ngoài) có chung nhau một cạnh có một đầu được tô màu xanh và một đầu được tô màu vàng Số cạnh xuất phát từ đỉnh “ngoài” (tức là đỉnh ứng với miền nằm bên ngoài tam giác ABC) là một số lẻ Suy ra có ít nhất một đỉnh “trong” có số cạnh cũng là số lẻ (vì tổng tất cả các số cạnh của tất cả các đỉnh là số chẵn, bằng 2 lần tổng số cạnh của đồ thị) Nhưng mỗi đỉnh trong ứng với một tam giác con, và số cạnh của nó chỉ có thể là 0,

1 hoặc 2 tùy theo các màu trên các đỉnh của tam giác con đó, và số đó là 1 khi và chỉ khi ba đỉnh có ba màu khác nhau xanh-vàng-đỏ Vậy có ít nhất một tam giác con có ba đỉnh xanh-vàng-đỏ Hơn thế nữa, số tam giác con như vậy phải là một số lẻ!

Bồ đề Sperner không những chỉ đúng trong trường hợp tam giác 2 chiều, mà còn đúng trong trường hợp n chiều trong đó n là một số tự nhiên bất kỳ Khi n=1 thì nó phát biểu như sau:

Đánh dấu một số hữu hạn điểm trên một đoạn thẳng AB, chia nó thành một số đoạn thẳng con

Tô màu các điểm đó và A, B bằng hai màu xanh, đỏ sao cho a có màu xanh, B có màu đỏ Khi

đó có ít nhất một đoạn thẳng con có hai đầu có màu khác nhau xanh và đỏ (Hơn thế nữa, số đoạn thẳng thẳng con như vậy là số lẻ)

Trường hợp 1 chiều phía trên của bổ đề Sperner khá là hiển nhiên và có thể chứng minh dễ dàng bằng quy nạp theo số điểm: cứ mỗi lần thêm 1 điểm thì số đoạn thẳng con có hai đầu có màu khác nhau hoặc là giữ nguyên hoặc là thêm 2, nên số lượng của chúng luôn là số lẻ Trong lúc chứng minh bổ đề Sperner cho trường hợp 2 chiều, chúng ta đã dùng đến bổ đề 1 chiều này khi nói rằng số cạnh của đỉnh “ngoài” trong đồ thị mà ta xây dựng là một số lẻ

Trong trường hợp 3 chiều, ta phải thay hình tam giác bằng một hình tứ diện ABCD, chia nó thành các hình tứ diện con, và tô các đỉnh bằng 4 màu (sao cho các đỉnh nằm trên mỗi mặt của ABCD phải có màu trùng với màu của một trong 3 đỉnh của mặt tam giác đó) Khẳng định vẫn là: số tứ diện con mà 4 đỉnh được tô bằng 4 màu khác nhau là số lẻ Chứng minh vẫn hệt như

15

cũ: xây dựng đồ thị với một đỉnh “ngoài” (ứng với miền nằm ngoài tứ diện) và các đỉnh

“trong” (mỗi đỉnh ứng với một tứ diện con) Một cạnh nối hai đỉnh sẽ ứng với một mặt tam giác chung của hai miền mà có 3 đỉnh được tô bởi đủ 3 màu cho trước nào đó Khi đó số cạnh của đỉnh “ngoài” là số lẻ (theo bổ đề Sperner hai chiều), suy ra có một số lẻ các đỉnh trong có

số cạnh là số lẻ Những đỉnh đó sẽ là những đỉnh có đúng 1 cạnh, và ứng với tứ diện con có 4 đỉnh được tô 4 màu khác nhau

Cứ tiếp tục như vậy, bằng cách quy nạp theo số chiều, ta chứng minh được bổ đề Sperner trong trường hợp tổng quát với số chiều tùy ý

Bài 10 Cho số nguyên dương n  và đồ thị đơn vô hướng có n đỉnh thỏa mãn điều 3 kiện: Với mỗi 2 k n   , số cạnh của 1 đồ thị con bất kì k đỉnh của G không vượt quá

2 k  Chứng minh có thể tô màu tất cả các cạnh, mỗi cạnh bởi 1 trong 2 màu xanh đỏ 2

mà không tồn tại chu trình mà các cạnh được tô cùng màu

Phần 3 Bài toán tô màu ô vuông

Bài 1 Chứng minh hình chữ nhật m n được phủ chỉ bởi các L – tetramino nếu và chỉ nếu 8

Suy ra tổng số ô vuông của hình chữ nhật là m n chia hết cho 8

Ta cần chỉ ra cách phủ với các hình thỏa mãn điều kiện trên

Nhận xét 2: Hình chữ nhật m n với m chẵn và 4n sẽ được phủ bởi các L – tetramino

Bài 2 Cho hình chữ L như hình vẽ Chứng minh rằng không thể phủ

hình này bởi các trimino thẳng

Muốn phủ được thì phải có điều kiện S1S2 S3mod3 *  

Ta tính cụ thể các giá trị từ hình vẽ S130;S2 20; S3 25, mâu thẫu với điều kiện  * Suy ra giả sử sai, ta có điều chứng minh

Bài 3 Ở hai góc trên cùng của một mảnh đất hình vuông có

kích thước m m 2 m  (được chia thành  m ô vuông 2

đơn vị), người ta trồng hai cột trụ, mỗi cột lấy đi 1 phần đất

hình chữ nhật có kích thước 2 1 Cần lát gạch toàn bộ phần

đất còn lại của nền đất, được phép sử dụng các viên gạch hình

L – tetramino (có thể xoay nhưng không được lật) Với các giá

trị nào của m thì có thể thực hiện được việc lát

Giải

Giả sử phủ được

17

Nhận thấy m24 4 m chẵn

Với cách tô màu đen và trắng như hình vẽ

Bằng cách chứng minh như bài 1, ta được số lượng L –

Suy ra số ô đen và ô trắng được phủ có hiệu chia hết cho 3, hay n chia hết cho 3

Khi n chia hết cho 3 thì phủ bởi 3x3

Bài 5 (VMO – 2006) Xét bảng ô vuông m n m n   ,  3  Thực hiện trò chơi sau: mỗi lần đặt 4 viên bi vào 4 ô của bảng, mỗi ô một viên bi, sao cho 4 ô đó tạo thành một trong các hình dưới đây:

Hỏi sau một số lần ta có thể nhận được bảng mà số bi trong các ô bằng nhau được

không nếu:

Giải

18

a) Bảng đã cho có thể chia thành các hình chữ nhật 4 2  nên có thể nhận được trạng thái mà số bi trong các ô bằng nhau

b) Tô màu các ô như hình vẽ

Dễ thấy, mỗi lần đặt bi có 2 viên được đặt vào các ô màu đen và 2

viên được đặt vào ô màu trắng Do đó, nếu gọi S n là số bi trong  

các ô màu đen và T n là số bi trong các ô màu trắng sau lần đặt bi thứ n thì  

   

S n  T n là đại lượng bất biến Ta có S n      T n  S     0  T 0    0, n 0.

Vì m  2005 là số lẻ nên nếu nhận được trạng thái mà số bi trong các ô bằng nhau thì

Nhận thấy mỗi lần đặt bi có nhiều nhất 1 ô trong số

các ô được đánh dấu sẽ có bi

Giả sử mỗi ô của hình chữ nhật được đặt đúng k viên

bi, suy ra số lượng bi tối thiểu là 1003.1003.4k

Giải

Tô màu các ô của bảng như hình vẽ

Nhận thấy khi thay đổi dấu thì thay đổi chẵn ô được tô đen, suy ra nếu ban đầu đặt số - 1 vào ô được tô đen thì tại mọi thời điểm số ô đen chứa số - 1 luôn là lẻ, nghĩa là không thu được bảng gồm tất cả các ô ghi số 1, hay số - 1 ban đầu phải đặt vào ô được tô trắng

Thực hiện việc tô màu theo cách thứ 2, với lập luận tương tự như trên ta vẫn

thu được kết luận số - 1 phải được đặt vào ô được tô trắng

19

Suy ra số - 1 phải được đặt vào ô trung tâm

Ta chứng minh khi đó tồn tại cách thay dấu để thu được trạng thái mỗi ô đều điền số + 1 Bước 1: Thay đổi dấu của tất cả các ô đơn vị trong hình vuông 3 3 trên cùng bên trái

Bước 2: Thay đổi dấu của tất cả các ô đơn vị trong hình vuông 3 3 dưới cùng bên phải

Bước 3: Thay đổi dấu của tất cả các ô đơn vị trong hình vuông 2 2 trên cùng bên phải

Bước 4: Thay đổi dấu của tất cả các ô đơn vị trong hình vuông 2 2 dưới cùng bên trái

Bài 7 Mỗi cạnh của một hình vuông đơn vị 1 1 được tô bởi 1 trong 4 màu sao cho mỗi hình vuông có 4 cạnh được tô đủ 4 màu Có thể dán 2 hình vuông với nhau ở cạnh được tô cùng màu Tìm điều kiện của m, n sao cho có thể dán các hình vuông đơn vị với nhau để tạo ra hình chữ nhật m n mà mỗi cạnh được tô cùng 1 màu và 4 cạnh có đủ 4 màu Giả sử mỗi loại hình vuông đơn vị sinh ra là rất nhiều

Ta xây dựng hình chữ nhật m   như trường hợp trên 1 n 1

Sau đó ghép thêm 3 hình chữ nhật như hình 3 để được hình thỏa mãn

Hình chữ nhật 1  n 1

Hình chữ nhật m  1 1

1 2 3 4

Hình vuông 1 1

Hình vẽ 3 Nếu m và n khác tính chẵn lẻ, giả sử m lẻ và n chẵn

Giả sử có thể dán các hình vuông đơn vị để được hình chữ nhật thỏa mãn

Tồn tại 1 cạnh của hình chữ nhật có độ dài lẻ, giả sử cạnh đó được tô màu 1

Ngoài những cạnh của hình vuông đơn vị nằm trên cạnh được tô màu 1 của hình chữ nhật

m n , mỗi cạnh được tô màu 1 đều được dán với 1 cạnh của hình vuông khác cũng được tô màu 1, suy ra tổng số cạnh được tô màu 1 của tất cả các hình vuông đơn vị là lẻ

Hơn nữa, mỗi hình vuông đơn vị có đúng 1 cạnh được tô màu 1, suy ra số hình vuông đơn vị ta dùng cũng là số lẻ

Tuy nhiên m n là số chẵn nên phải có chẵn hình vuông đơn vị

Suy ra mâu thuẫn, hay giả sử sai Ta có điều phải chứng minh

2 3 1

4 4 2

3

1

3 R B J T Allenby, A Slomson, How to Count: An Introduction to Combinatorics, CRC Press, 2011 (2nd edition)

4 A Soifer, Geometric Etudes in Combinatorial Mathematics, Springer, 2010 (2nd, expanded edition)

5 Arthur Engel, Problem-Solving Strategies, Springer 1998, 25 – 38

TÔ MÀU TRÊN ĐƯỜNG TRÒN

Nguyễn Quang Tân Trường THPT Chuyên Lào Cai

Tóm tắt nội dung

Trong bài báo về định lý Fermat nhỏ trên tạp chí Kvant tháng 1/2000, có bài toán đếm số cách tô màu các đỉnh của một đa giác đều có p đỉnh bằng a màu Biết rằng p là số nguyên tố và hai cách tô màu được xem là như nhau nếu chúng

là ảnh của nhau qua một phép quay quanh tâm của đa giác Câu hỏi tự nhiên đặt ra nếu p không phải là số nguyên tố thì kết quả bài toán sẽ thay đổi như thế nào?

Hơn nữa các bài toán về tô màu các đỉnh của một đa giác đều, hay chính là các điểm chia đều một đường tròn cũng xuất hiện trong các kì thi VMO 1995,

2010, 2014 và Vietnam TST 2014 Vì vậy bài viết này phân tích phương pháp giải, cách tư duy và đồng thời cũng tìm lời giải tổng quát cho một số bài toán.

Để giải các bài toán này, trước hết ta không tô màu trên đường tròn mà tô màu trên đường thẳng rồi tính xem những cách tô màu nào trên đường thẳng

bị đồng nhất trên đường tròn.

Hai cách tô màu trên đường thẳng được coi là tương đương nếu chúng cùng

là một cách tô màu trên đường tròn, và quan hệ này đúng là một quan hệ tương đương Vì vậy ý tưởng của cách đếm ở đây là chia một tập hợp thành các lớp tương đương rồi đi đếm số lớp tương đương.

Bài tập 1. Cho n là một số nguyên dương, hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp n ngườingồi quanh một chiếc bàn tròn Biết rằng hai cách sắp xếp được coi là một nếu chúng

là ảnh của nhau qua một phép quay quanh tâm của mặt bàn?

Lời giải. Giả sử n người ngồi quanh bàn là a1, a2, , an Nếu những người này ngồitrên một chiếc ghế băng thì mỗi cách sắp xếp người vào ghế là n! (số hoán vị của cácphần tử)

Giả sử b1b2 bn là một hoán vị của n phần tử a1, a2, , an Từ hoán vị này ta

NGUYỄN QUANG TÂN Tô màu trên đường tròn

Và nếu bạn cố tính thực hiện thêm phép hoán vị vòng quanh thì cũng không thêm

được hoán vị mới Nhưng tất cả n hoán vị trên chỉ được tính là một khi xếp quanh

n = (n−1)!.

Với cách suy luận trên ta giải được một bài toán thú vị hơn

Bài tập 2. Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên dương lớn hơn 1 Có baonhiêu cách tô màu các đỉnh của một p - giác đều bằng a màu Biết rằng, hai cách tômàu được xem là như nhau nếu chúng là ảnh của nhau qua một phép quay quanhtâm của đa giác

Lời giải. Ta đặt tên a màu là m1, m2, , ma

Nếu ta không tô màu các p đỉnh của đa giác mà trước hết ta xét cách tô màu p

Trong đó có a cách tô màu đặc biệt, tất cả các điểm được tô cùng một màu.Xét một cách tô màu các điểm (không phải là một trong a trường hợp đặc biệt ởtrên), tính từ trái qua phải là

Trong quá trình thực hiện phép hoán vị vòng tròn ở trên nếu sau k lần thực hiện mà

lý vì các điểm ở trên không được tô cùng bởi một màu

Khi tô màu p đỉnh của đa giác thì p cách tô màu ở trên chỉ được tính là một Vậyđáp số bài toán là app−a+a

Chú ý bảng trên của ta có đúng p dòng bởi vì p nguyên tố Bây giờ ta sẽ giải mộtbài toán tương tự nhưng khó hơn

Bài tập 3. Cho p, q là hai số nguyên tố phân biệt Có bao nhiêu cách tô màu đỉnhcủa một đa giác đều có pq đỉnh, bằng đúng a màu Biết rằng, hai cách tô màu đượcxem là như nhau nếu chúng là ảnh của nhau qua một phép quay quanh tâm đườngtròn ngoại tiếp đa giác

Lời giải. Chúng ta vẫn bắt đầu lời giải như, tức là xét cách tô màu pq điểm trên mộtđường thẳng

2

NGUYỄN QUANG TÂN Tô màu trên đường tròn

Ta đánh thứ tự các điểm này từ 1 tới pq Ta chia các cách tô màu pq điểm trênđường thẳng thành 3 loại

Loại 1 Các điểm được tô cùng một màu Có a cách

điểm thứ j được tô cùng một màu Để tô màu kiểu này ta chỉ cần tô màu một chu kỳ

Cách tô màu này khi thực hiện phép vòng quanh tới lần thứ p thì sẽ lặp lại Vì

p−a

q−a

aq+acách

Mỗi cách tô màu loại này khi thực hiện phép hoán vị vòng quanh thì sẽ chỉ lặp

Bài tập 4. Cho p là một số nguyên tố Có bao nhiêu cách tô màu đỉnh của một đa

nhau nếu chúng là ảnh của nhau qua một phép quay quanh tâm đường tròn ngoạitiếp đa giác

Lời giải. Với lập luận tương tự và đơn giản hơn trường hợp trên ta có đáp số bài toánlà: a

p2 −ap

Từ kết quả trên ta có một lời giải mới cho bài VMO 2010

Bài tập 5 (VMO 2010). Cho bảng 3×3 và n là một số nguyên dương cho trước Tìm

số các cách tô màu không như nhau khi tô mỗi ô bởi một trong n màu (Hai cách tômàu gọi là như nhau nếu một cách nhận được từ cách kia bởi một phép quay quanhtâm hình vuông.)

Lời giải. Trước hết ta thấy có n cách tô màu ô trung tâm O

3

NGUYỄN QUANG TÂN Tô màu trên đường tròn

tô màu 4 đỉnh A, B, C, D của một hình vuông (nằm trên một đường tròn) trong đó

Lời giải. Vẫn với cách giải như trên

Từ các bài toán trên chúng ta đề xuất bài toán tô màu tổng quát

Bài tập 7 (Bài toán tô màu tổng quát). Cho n là một số nguyên dương Có bao nhiêucách tô màu đỉnh của một đa giác đều có n đỉnh, bằng đúng a màu Biết rằng, haicách tô màu được xem là như nhau nếu chúng là ảnh của nhau qua một phép quayquanh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác

Trước giải bài toán này chúng ta cần một chút kiến thức về số học

Hàm M ¨obius Với mỗi số nguyên dương n giá trị của hàm µ(n)thuộc tập{−1, 0, 1}

và phụ thuộc vào phân tích nguyên tố của n như sau:

• µ(1) = 1;

• µ(n) = (−1)k nếu n = p1 pk trong đó p1, , pk là các số nguyên tố phânbiệt;

4

NGUYỄN QUANG TÂN Tô màu trên đường tròn

trong đó µ là hàm M ¨obius và các tổng trên được lấy theo tất cả các ước nguyêndương d của n

Phi hàm Euler ϕ(n) là số các số nguyên dương không vượt quá n và nguyên tốvới n

Tính chất của Gauss: P

d | n

ϕ(d) =n

Các chứng minh cho các kết quả trên về số học có thể xem tại tài liệu [2]

Áp dụng tính chất Gauss và công thức nghịc đảo M ¨obius ta có:

d | n

µ(d)ndSuy ra

Lời giải. Ta đặt tên a màu là m1, m2, , ma

Nếu ta không tô màu các n đỉnh của đa giác mà trước hết ta xét cách tô màu n

Xét một cách tô màu các điểm, tính từ trái qua phải là

mi1mi2mi3 mip−2mip−1mi n

thu được cách tô màu sau: