ÔN THI Lượng Giác-logarit-bpt

DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC III.. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC ĐẶC BIỆT IV.. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT V.. + Khai triển các hàm số lượng giác theo tg góc ch

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

LƯỢNG GIÁC 1

HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT 19

CÁC BÀI TOÁN VỀ GIẢI VÀ BIỆN LUẬN 26

CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 28

CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH 30

LƯỢNG GIÁC

A - CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT.

I ĐỊNH NGHĨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 Đường tròn lượng giác.

2 Cung lượng giác và góc lượng giác.

3 Định nghĩa các hàm số lượng giác.

II DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

III HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC ĐẶC BIỆT

IV HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT

V MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

VI CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LỰONG GIÁC

1 Công thức cộng.

2 Công thức góc nhân đôi

+) Công thức hạ bậc

+) Khai triển các hàm số lượng giác theo tg góc chia đôi

+) Công thức góc nhân 3

3 Công thức biến đổi tích thành tổng.

4 Công thức biến đổi tổng thành tích.

VII ĐỊNH LÍ HÀM SỐ SIN VÀ COSIN.

VIII CÁC CÔNG THỨC TRONG TAM GIÁC.

B BÀI TẬP.

DẠNG 1 CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC.

1 Tính hàm số lượng giác của cung a sau.

1) sina =

5

3

với 0 < a <

2

π

2) tga = - 2 với

2

π < a < π

3) cosa =

5

1 với -2

π < a < 0 4) sina =

3

1 với a ∈ (

2

π, π )

5) tga = 2 với a ∈ (π,

2

3π

)

2 Chứng minh các đẳng thức sau:

1) sin2x + tg2x =

x cos

1

2 - cos2x 2) tg2x - sin2x = tg2xsin2x

3)

x tg x

g

cot

x sin

x

cos

2 2

2 2

−

−

= sin2xcos2x 4)

x tg 1

) 1 x cos

1 )(

x g cot 1 (

2 2 2

+

− +

= 1

5) cosx + cos(2π/3 - x) + cos(2π/3 - x) = 0

6) sin(a + b)sin(a - b) = sin2a -sin2b = cos2b - cos2a

7)

b atg

tg

1

b tg

a

tg

2 2

2 2

−

−

= tg(a +b)tg(a - b)

8) cos3xsinx - sin3xcosx =

4

1sin4x 9)

xsinxcos

xsinxcos

+

−

=

x2cos

1

- tg2x

10)

xsin2x

2

sin

xsin2x

12) sinx - sin2x +sin3x = 4cos

2

x3cosxsin

(

2

xcosxcosx

sin

2

2 4

xtg3tgx

x3tg

3) cos(π/2 + a) + cos(2π - a) + sin(π - a) + cos(π + a)

4) 2cosa - 3cos(π + a) - 5sin(π/2 - a) + cotg(

4 Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a.

1) A = cos4a + cos2asin2a +sin2a 2) B = cos4a - sin4a + 2sin2a

3) C = 2(sin6a + cos6a) - 3(sin4a + cos4a) 4) D =

gacot1

gacot1

−

+

-

1tga

2

−

5) E = sin4a +4cos2a + cos4a +4sin2a 6) F = cos2a + sin(300 + a)sin(300- a)

7) G = sin6a + cos6a + 3sin2acos2a 8) H =

1acosasin

1acosasin

6 6

4 4

−+

−+

9) m là mọt số cho trước, chứng minh rằng nếu: m.sin(a + b) = cos(a - b)

Trong đó a - b ≠kπ và m ≠ ±1 thì biểu thức:

A =

a2sinm1

1) Tính sin3a -cos3a biết sina -cosa = m

2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A =

2

atg2

agcot

a2cos1

−+

3) Biết

)bacos(

)bacos(

−

+

= q

p Tính tga.tgb

4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b) ≠k2π tính tg

2

a.tg2b

6 Tính giá trị các biểu thức mà không tra bảng.

1) A = cos200cos400cos600cos800 2) B = cos

7

π

.cos7

4π

.cos7

5π

3) C = sin60.sin420.sin660.sin780

4) Với a ≠kπ chứng minh rằng: cosa.cos2a.cos4a cos2na =

asin2

a2sin1 n

1 n

+ +

, từ đó tính :

D = cos

65

π

cos65

3π

.sin18

5π

.sin18

7π

sin18

9π

7) A = sin370.cos530 + sin1270.cos3970 8) A = tg1100 + cotg200

9) Tính sin150 và cos150 10) Tính tgx.tgy biết :

)yxcos(

)yxcos(

−

+

= 2

a.2sin1 n

1 n

+ +

5) để tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) + +(-1)n cos(a +nx)

thì nhân 2 vế với 2cos

2

x nếu cos

15sin15

cos

15sin15

75sin75

cos

75cos75

xcos

1+

[1 +

xsin

)xcos1(2

a32sin

b) cosa.cos2a.cos4a cos2na =

asin2

a2sin1 n

1 n

+ +

5 Tính: A = cos20o.cos40o.cos60o 6 Tính: A = sin6o.sin42o.sin66o.sin78o

7 Tính: A = cos

7

π

cos7

4π

cos7

5π

8 Tính: cos

65

π

cos65

2π

cos65

4π

cos65

8π

cos65

16π

cos65

3π

sin18

5π

sin18

7π

sin18

2π

cos15

3π

cos15

π

cos24

13 Tính: 16.sin10o.sin30o.sin50o.sin70o 14 Tính: sin10o.sin20o.sin30o sin80o

15 Tính: cos9o.cos27o.cos45o.cos63o.cos81o cos99o cos117o.cos135o cos153o.cos171o

Áp dụng tính: A = sin20o.sin40o.sin80o

B = cos10o.cos20o.cos30o cos80o C = tg20o.tg40o.tg60o.tg80o

18 Chứng minh rằng :

a) sin6x + cos6

x = 8

5 + 8

3cos2x b) tgx = sin2x

x2cos

18

764

35

++

75cos75

sin

75cos75

sin

+

31

DẠNG 2 CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC.

cBsin

bAsin

abcC

sin.ab2

1h.a2

1

a

a = = = = − = p(p−a)(p −b)(p−c) Trong đó: p =

2

cb

a+ +

r: bán kính đường tròn nội tiếp

ra: bán kính đường tròn ngoại tiếp góc A

+ Định lý hàm tang:

2

batg

)2

ba(tgba

−

.;

)2

cb(tg

)2

cb(tgcb

−

;

)2

ca(tg

)2

ca(tgca

−

+ Các công thức tính bán kính:

R =

Csin2

cB

sin2

bA

sin2

2

B = (p - c)tg

2C

2

C 2

B 2cos

sin.sina

2

C 2

A 2cos

sin.sinb

2

A 2

B 2cos

sin.sinc

ra = p.tg

2

A = p.tg

2

B = p.tg

2

C

2

C 2

B 2cos

cos.cosa

= B

2

C 2

A 2cos

cos.cosb

2

A 2

B 2cos

cos.cosc

+ Đường trung tuyến :

ma2 =

4

a2

c

b2 + 2 − 2 mb2 =

4

b2

c

a2 + 2 − 2 mc2 =

4

c2

Acos.bc2

+

lb =

ca2

Bcos.ac2

+

la =

ba2

Ccos.ab2

+

+ Mở rộng định lí hàm sin và cosin:

CotgA =

s4

ac

b2 + 2 − 2 CotgB =

s4

bc

a2 + 2 − 2 CotgC =

s4

cb

a2 + 2 − 2

II CÁC ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC.

1 sinA + sinB + sinC = 4cos

2

A cos2

B cos2

C

2 sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC.

3 sin3A + sin3B + sin3C = -4cos

2

A3 cos2

B3 cos2

C3

4 sin4A + sin4B + sin4C = -4sin2A.sin2B.sin2C.

5 cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin

2

A.4sin2

B.4sin2

C

6 cos2A + cos2B + cos2C = -1 -4cosA.cosB.cosC.

7 cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4sin

2

A3 sin2

B3 sin2

C3

8 cos4A + cos4B + cos4C = -1 + 4cos2A.cos2B.cos2C.

B + tg2

B tg2

C + tg2

C tg2

A = 1

13 cotg

2

A + cotg

2

B + cotg

2

C = cotg

2

A cotg

2

B cotg

2

C

14 cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2cosA.cosB.cosC

15 cos22A + cos22B + cos22C = 1 + 2cos2A.cos2B.cos2C

17 la =

cb2

Acos.bc2

+

= bc

2

)ap.(

p.c

18 r = p.tg

2

A tg2

B tg2

C =

2

Acos

2

Csin2

Bsina

19 R =

2

Ccos.2

Bcos.2

Acos.4

B cos2

C

ap

2

Ccos.2

Bcos

2

Asin.p

)ap.(

)cp)(

bp(

a

1 + c

1)lb +(c

1 + b

1)la = 2(cos

2

A + cos

2

B + +cos

2

C)

III CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.

1 Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính theo các công thức sau:

S =

)BAsin(

2

Bsin.Asin)

1(a2sin2B + b2sin2A) =

C = 2R2.sinA.sinB.sinC

2

B + (a - b)cotg

2

C = 0

c) (b2 - c2)cotgA + (c2 - a2)cotgB + (a2 - b2)cotgC = 0

d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB + (a + b)cosC e) sin

A

A g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C)

r

1 = ah

1 + bh

1 + ch

1

3 Tam giác ABC có 2a = b + c chứng minh rằng:

a) 2sinA = sinB + sinC b) tg

2

B tg2

C = 3

1

4 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC R, r là bán kính đường tròn ngoại

tiếp, nội tiếp của tam giác Chứng minh rằng:

a) r = 4R.cos

2

A cos2

B cos2

C b) IA.IB.IC = 4Rr2

c) cosA + cosB + cosC = 1 +

R

r

5 Các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh rằng công sai

của cấp số cộng đó được xác định theo công thức sau: d =

2

3r(tg2

C

- tg2

A)

6 Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc Chứng minh

rằng: b2 + c2 = 5a2

7 Chứng minh rằng:

al2

Acos

+

bl2

Bcos

cl2

Ccos

= a

1+ b

1 + c

1

8 Chứng minh rằng các trung tuyến Â' và BB' vuông góc với nhau khi: cotgC =

m

≠ 1 chứng minh rằng : 2cotgA = cotgB + cotgC

10 Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến gọi α = AMB Chứng minh rằng:a) cotgα =

s4

c

b2 − 2 b) cotgα = cotgC - cotgB c) cotgα =

CsinBsin2

)cBsin(

12 Tam giác có 3 cạnh lần lượt là: (x2 +2); (x2 - 2x +2);

(x2 + 2x + 2) Với giá trị nào của x(dương) thì tam giác đó tồn tại

13 Cho ma = c Chứng minh rằng:

a) bcosC = 3cosB b) tgB = 3tgC c) sinA = 2sin(B - C).

14 Gọi H là trực tâm tam giác ABC H chia đường cao xuất phất từ A theo tỉ số k

cho trước Chứng minh rằng :

a) tgB.tgC = 1 + k b) tgB + tgC = ktgA c) cos(B - C) = ( 1 +

k

2)cosA

15 Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng

minh rằng : cotg

2

A cotg2

C = 3

16 Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tgA.tgB = 6;

tgC

tgA

=3 Chứng tỏ rằng: tgA, tgB, tgC theo thứ tự đó lập 1 cấp số cộng

17 Tam giác ABC có cotg

2

A, cotg

2

B, cotg

2

C theo thứ tự lập một cấp số cộng Chứng minh rằng : a, b, c theo thứ tự cũng lập một cấp số cộng

18 Tam giác ABC có: cotgA, cotgB, cotgC hteo thứ tự lập một cấp số cộng Chứng

minh rằng a2, b2, c2 theo thứ tự đó cũng lập một cấp số cộng

19 Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tgA = tgB + tgC Chứng minh rằng

a) tgB.tgC = 3 b) cos(B- C) = 2cosA

IV - NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN.

A Chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi:

cos

BsinA

BcosA

2 2

2 2

+

=+

+

5

Csin

Bsin.Asin22

Cg

2

Acos.2

Bsin2

Bcos.2

C

ca4

ca2B

sin

Bcos1

−

+

=+

9 a2sin2B +b2sin2A=c2cotg

Bsin2

Bcos.2

A 3 = 3 12 a = 2b.cosC Chứng minh ∆ ABC cân tại A

B.Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :

1

tgC

tgBC

sin

Bsin

)CBcos(

1.2b

)cb

a

c

b −

V NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG.

A Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là:

1 cos2a + cos2B + cos2C = -1 2 tg2A + tg2B + tg2C = 0

3 sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC

B Chứng minh tam giác vuông khi:

1

Csin.Bsin

aC

cos

cB

cos

b

=+ 2 cotg

2

B = bc

a +

3 (c b)

bc

agAcotA

Asin

)CBcos(

=

−+

−

AcosB

sin

BcosA

a2

c

a −

9 cos

a2

ac2

10 tg

ac

ac2

1B

cos

1

CsinBsin

=+

+

14 1 + cotg(450 - B) =

gAcot1

2

−

15 sin4C + 2sin4A + 2sin4B = 2sin2C(sin2A + sin2B)

16 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15

17 (ĐHCĐ - 99) cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0

C Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn các điều kiện sau.

1 sin3A + sin3B + sin3C = 0 2 sin4A + sin4B + sin4C = 0

3 sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB

4 a3 = b3 + c3 5 c = Ccos2B + Bsin2B 6 (1+cotgA)(1 + cotgB) = 2

7 sin2A + sin2B =5sin2C 8

al

1c

1b

1 + =

9 sin2A + sin2B + sin2C ≤ 2 10 cos2A + cos2B + cos2C ≤ 1

11 Chứng minh nếu trong tam giác ABC có:

C thì tg

2

B tg2

C = 2

C = lb c2

a4

l

15 Cho tam giác vuông ABC tại A Gọi I là góc giữa đường cao và đường trung

tuyến ứng với cạnh huyền Chứng minh rằng: tg

2

I = tg

17 (ĐHBK - 99) Cho A, B, C là 3 góc nhọn của một tam giác Chứng minh rằng

điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức

(cotgA cotgB cotgC) 3

Csin

1Bsin

1a

sin

1

=+

+

−+

+

18 (ĐHSP II - A99) Cho tam giác ABC với 3 góc đều nhọn Chứng minh rằng:

(sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA > 2

Bất đẳng thức trên có đúng không nếu tam giác ABC vuông, vì sao?

VI BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.

A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.

a Hàm lồi lõm.

2

yx(f2

)x(f)x(

f 1 + 2 ≤ + ∀x, y ∈ R

2

yx(f2

)x(f)x(

Ứng dụng 1: Xét hàm số y = sinx có y" = -sinx Nếu x ∈ [0, π]

2 1 < sin

2

A + sin

2

B + sin

2

C

≤

23

3 1 < cosA + cosB + cosC ≤

2

3

4 Sin2A + Sin2B + Sin2C ≥

49

5 2 < cos2

2

A + cos2

2

B + cos2

2

B + sin2

2

C < 1

7 sin

2

A

sin2

B sin2

9 cosA.cosB.cosC ≤ 81 10 cos

2

A cos2

B cos2

C

≤

3

33

11 1 + cosA.cosB.cosC ≥ 3 sinA.sinB.sinC 12

Acos

1 +

Bcos

1 +

Ccos

1 ≥ 6

1 +

2

Csin

1

≥ 6 14

CsinBsinAsin

Csin.Bsin.Asin.2

1) + (1 +

Bsin

1) + (1 +

Csin

1) ≥ 5 +

9

326

16 (1+

Asin

1).(1+

Bsin

1).(1+

Csin

1).(1 +

Acos

1)(1+

Bcos

1)(1+

ccos

1) ≥ 135 + 78 3

17 tg

2

A

+ tg2

B + tg2

C

≥ 3 18 tg2

2

A + tg2

2

B + tg2

2

C ≥ 1

19 tgA + tgB + tgC ≥ 3 3 Với ∆ABC nhọn

20 tg2A + tg2A + tg2A ≥ 9 Với ∆ABC nhọn 21 tg

2

A tg2

B tg2

C ≥ 331

22 cos3A + cos3A + cos3A ≤

4

9 + 4

1(cos3A + cos3B + cos3C)

23 36r2≤ ab + bc + ca ≤ 9R2 24 (a + b + c)(ha + hb + hc) ≥ 18S

25 ha + hb + hc ≥ 9r (

r

1 = ah

1 + bh

1 + ch

1

) 26 (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) ≤ abc

27 a2(b + c - a) + b2(a + c - b) + c2(a + b - c) ≤ 3abc

28 a(b2 + c2 - a2) + b(a2 + c2 - b2) + c2(a2 + b2 - c2) ≤ 3abc

29 a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 4abc ≥ a3 + b3 + c3

bc + blac

≤ 6R

1 + cr

1 ≥ 33

2

abc)cba(

R4

++ 32

2 a

m + m + 2b m ≥ 2c

3s

33 tg

2

A

+ tg2

B + tg2

C + cotg

2

A + cotg

2

B + cotg

2

C ≥ 4 3

34 a4 + b4 + c4 ≥ 16S2 35 a2 + b2 + c2 ≥ 4S 3 36 a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ 16S2.Chứng minh ∆ABC đều khi thỏa mãn các điều kiện sau:

a

Ccos.cBcosbA

cos

a

++

++

= R9

p2

−+

Ccosb2

a

aacb

acb

4

2 3 3 3

cba

cba

cbaa

4

1Ccos.Bcos

3 3 3 2

7 A, B, C là nghiệm của phương trình: tgx - tg

2

x = 3

32

8 2(acosA + bcosB + c.cosC) = a + b + c

9 sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C.

10 cosA + cosB + cos2C + cos2A + cos2b + cos2C = 0

11 cotg2A + cotg2B + cotg2C = 1 12

cba

Ccos.cBcosbAcosa

++

++

= 21

13

CsinBsinA

sin

CcosBcosA

cos

++

++

= 3.cotgA.cotgB.cotgC Với ∆ABC nhọn <TBS>

≥+

Ccos2BcosAcos

Csin2BsinAsin

15 3tg2A + tg2B + tg2C = tg2A tg2B tg2C

16

Asin

1

2 +

Bsin

1

2 +

Csin

1

2 =

2

Csin2

Bsin2

Asin2

1

17 cotg

2

A + cotg

2

B + cotg

2

C = tgA + tgB + tgC

18 Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn: cotg

2

A + cotg

2

B cotg

2

C = 9 Chứng minh tam giấc ABC là tam giác đều

19 (ĐH Dược - 99) Cho tam giác ABC thỏa mãn:

2

1c

ba

Ccos.cBcos.bAcos.a

=+

+

++

(A, B, C là các góc của tam giác a = BC, b = CA, c = AB)

Chứng minh tamgiác ABC là tam giác đều

20 (HVKTQS - 99) Chứng minh để tam giác đều, điều kiện cần và đủ là:

p + R = (2 + 3 3 ).r

21 (ĐH Thủy Lợi - 99) Cho tam giác ABC thỏa mãn:

2cosA.sinB.sinC + 3 (sinA + cosB + cosC) =

417 Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh

22 (ĐHNT - 99) Các góc của tam giác ABC thỏa mãn:

cotgA + cotgB + cotgC = tg

2

A + tg2

B + tg2

C Chứng minh tam giác ABC đều

23 (HVKKTMM - 99) CM rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn điều kiện:

sinA + sinB + sinC =sin2A + sin2B + sin2C thì tam giác ABC là tam giác đều

24 (Sỹ Quan - 99) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:

3 3 3 a3

cba

cba

25 (ĐHAN - 99) Tam giác nhọn ABC có các góc thỏa mãn:

2

Csin

12

Bsin

12

Asin

1C

cos

1B

cos

1A

cos

Chứng minh ∆ABC là tam giác đều

26 (CĐSP Bắc Ninh - 99) Chứng minh nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:

sin2A + sin2B + sin2C thì tam giác ABC đều

27 ĐHSPHN - A - 01Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn:

Ccos.Bcos.Acos.2

1C

2sin

1B

2sin

1A

2

sin

1

2 2

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều

28 ĐHSPHN - B – 01 Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A, B, C của

tam giác đó thỏa mãn hệ thức: cos2A + 3 (cos2B + cos2C) +

2

5 = 0

29 ĐHSP VINH - D – 01

Cho tam giác ABC thỏa mãn: sin(A + B).cos(A - B) = 2sinA.sinB

Chứng minh rằng tam giác ABC vuông

30 ĐHBK - A – 01 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1

Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi:

3m

Csinm

Bsinm

A

sin

c b

a

=+

+

31 ĐH MỎ - 01 Chứng minh rằng không tồn tại tam giác mà cả 3 góc trong của nó

2

1xsin7)(

1xcos4

DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

I CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

1 Phương trình lượng giác cơ bản.

a) sinx = m

+) Nếu m >1 hoặc m < -1 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu -1 ≤ m ≤ 1 đặt m = sinα khi đó phương trình đã cho có hai họ nghiệm:







π+α

−

π

=

π+

α

=

2nx

2kx

.(k, n∈ Z)+) Chú ý: Các trường hợp đặc biệt: m = 0, 1, -1

• Các giá trị đặc biệt: m = ±

2

1, ±

2

2, ±

2

3

• Sau khi giải phải biết kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác

• Không được áp dụng công thức một cách máy móc Ví dụ giải : sinx = cosx

b) cosx = m

+) Nếu m >1 hoặc m < -1 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu -1 ≤ m ≤ 1 đặt m = cosα khi đó phương trình đã cho có hai họ nghiệm:







π+α

−

=

π+

α

=

2nx

2kx

.(k, n ∈ Z) +) Chú ý: (giống ý a))

c) Điều kiện có nghiệm: -1 ≤

3) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

a) Phương trình đưa về sin b) Phương trình đưa về cos

c) Phương trình có thể đưa về tg

+) Phương trình có thể khai triển theo tg góc chia đôi

+) Phương trình đẳng cấp với sin và cos

d) Phương trình đối xứng với sin và cosin e) Phương trình đối xứng với tg và cotg

` f) Phương pháp đặt ẩn phụ trong góc

4) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đánh giá.

5) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đại số.

II BÀI TẬP.

1 sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = 1 2 cosx + 3 sinx = 3

3 sinx + sin2x = 3 + sin3x 4 tgx + 3 cõtg = 1 + 3

5 3cotg2x + 2 2 sin2x = (2 + 3 2 )cosx 6 sin2x + 2sinxcosx + 2cos2x =

2

1

7 sinxcossx - 2 (sinx + cosx) = -1 8 sin2x(sinx + cosx) = ± 2

9 sin2x + 4(cosx - sinx) = 4 10

)4x(tg)

4x(tg

xcosx

π+

π

−

+

= 41

-11 sin2x + tgx = 2 12 sin2x + tgx + cos2x = 2 13

xsin

1

2 + sin2x = sinx +

xsin1

14 2(cos2x +

xcos

4

2 )= 9(cosx

-xcos

2

) +1 15.

xcos

1

2 + cotg2x +

2

5(tgx + cotgx) + 2 = 0

4

3π +

2x

) 18 sin2x + sin22x = 1

19 sin2x + sin22x + sin23x =

22 cosx + cos2x + cos3x = 1

23 cos2x + cos22x + cos23x = 1 24 cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =

23

25 sinx.cos2x = sin2x.cos3x

-2

1

sin5x 26 sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x

27 sinx.sin2x.sin5x = 1 28 sin4x + (1 - sinx)4 =

32 sin3x + cos3x = 1 33 sin3x + cos7x = 1 34 sin3x + cos7x =

xcosxsin

16

6 +

35 sin3x +cos3x =

xcosxsin

14

2 - 4y +5 40 sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = cos34x

41 sin3x.cos3x + cos3x.cos3x = a.(a =

-4

3, 8

33, 8

3)

42 2+ 3.cosx + 2 3sinx = m.(m = 1, 2) 43 cosx + 2cos2x =

6

17 + cos3x

44 2tg2x + 2 cos2x = (1 + 2 2 )sinx 45 3sin2x + cosx =

31tgx1

tgx1)

31

311(x2

sin

1

xsin

2

1

+

−++

−+

−+

−+

−

= 0 47 4cos2x + sinx.cosx + 3sin2x = 3

48 sin2x - 4 3 sinx.cosx + 5cos2x =5 49 (1- 2)sin x.cos x 1(sin x cos x) 1 0

50 sin2x(sinx - cosx) = m.(m = ± 2 ) 51 x)

6(gcot)

3x(gcot

xcosx

−ππ

+

+

= 8

7

52 cotgx - 2sinx = 1 53 sinx + cotg

4

2 = - 2(3cosx -

xcos

2

) + 15 56.sin2x +

xcos

4

2 = - (sinx + )

xsin

2

- 2

57 3tg2x +

xsin

61 sin2x + sin22x + sin23x = 2 62 sin2x + sin22x + sin23x +sin24x =

2

5

63 cos2x + cos22x = a (a = 0, 1, 2) 64 cos2x + cos22x + cos23x = a (a =

2

3, 3)

65 cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 66 2.sin3x + cos22x = sinx

67 sin(x +

4

π) = sin3x + cos3x 68 tgx - sinx = 1 - tgx.sinx

69 2sin3x = cosx? 70 6tg2x - 2cos2x = cos2x 71 sin3x + cos7x = 1

74 cos2x + cosx.cosy + cos2y = 0 75 2 2 (sinx +cosx)cosy = 3 +cos2y

80 cos3x + sin3x = sinx – cosx 81 2cos3x = sin3x

82 sin22x - cos28x = sin 

xcos1

−+

84 cosx = -sin3x 85 cosx = cos2 4

x3

86 cos2x = 2 - cos 4

x3

x3

x3

88 (ĐHQG-D 99): sinx−cosx + sinx+cosx = 2

1xcosxcos

x2 = cosx 92 (KTQD -99): sin2x + sin23x = cos22x + cos24x

93 (ĐHTDTT-99): cos2x - 3cosx - 2 = 0 94 (ĐH MỞ -99): sin3x = 3sin - 2sin2x

95 (ĐH DƯỢC -99): sin24x - cos26x = sin(10,5π + 10x)

96 (ĐHTCKT -99):π sin x

= cox 97 (ĐHCĐ -99): 1+sinx+cosx+sin2x + cos2x = 0

98 (HVKTQS -99): ) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x

99 (ĐHY - HN -99): ) sinx - 4sin3x + cosx = 0

100.(HVBCVT -99): sin3x− π4 =sin2x.sinx+ π4

cotgx 105 (ĐHTS - 99):(sinx +cosx)3 - 4sinx = 0

106 (ĐHKT - 99): 3tg3x - tgx + cos x

)xsin1(32

107 (ĐHNT - A - 99): sin3x.cos3x + sin3x.cos3x = sin34x

108 (ĐHNN - B - 99): cos6x + sin6x = cos22x +

16

1

109 (ĐHNN - A - 99): 2sin3x - cos2x + cosx = 0

110 (ĐH LUẬT - HN - 99): 4(sin3x - cos2x) = 5(sinx - 1).

111 (HVKTMM - 99): sin8x + cos8x =

32

17

112 (ĐH MỎ - 99): tgx.sin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinx.cosx)

113 (ĐHAN - 99): cotg2 = tgx 2 + 2tgx 2x+1.

114 (ĐHQG B - 99): sin6x + cos6x = 2(sin8x + cos8x)

115 ĐHQGHN - A - 01: 2sin2x-cos2x = 7sinx + 2cosx - 4

2x

sin(

2

1)2

x10

3

122 ĐHNNI - B: sin2x - cos2x = 3sinx +cosx - 2

123 ĐH Dược - 01: tg2x.cotg2x.cotg3x=tg2x−cotg22x+cotg3x

124 ĐHKTẾ - 01: 3+4 6−(16 3−8 2)cosx =4cosx− 3

125 ĐHTCKT - 01: sin2x+sin23x−3cos22x=0

126 ĐHTM - 01: 2tg x 5tgx 5cotgx 4 0

xsin

xsin4 + 4 = −

128 ĐH HÀNG HẢI - 01: ) 4sinx 2 2(1 sinx)

4x2cos(

)4x2

129 ĐHAN - D - 01: sin2x = 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx

130 HVKTQS - 01: 3cotg2x+2 2sin2x=(2+3 2)cosx

131 HV QUÂN Y - 01: 3sinx + 2cosx = 2+ 3tgx

)x3cos(

xsin43)8x(cos2)8xcos(

)8x

1) Giải phương trình: 2cosx+ 2s n10x=3 2 +2cos28xsinx

2) Tính giá trị biểu thức: P = sin250o +sin270o −cos50ocos70o

135 ĐHQGHN - A - 01 Chứng minh rằng :