ứng dụng lượng giác trong tam giác bs

Chương V: GÓC LƯỢNG GIÁC, CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁCCĐ4: ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TAM GIÁC 1.. Cho tam giác ABC vuông tại C, hệ thức nào sau đây sai: A.. Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây sai: A

Chương V: GÓC LƯỢNG GIÁC, CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

CĐ4: ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TAM GIÁC

1. Cho tam giác ABC vuông tại A, khi đó sin B bẳng:

2. Cho tam giác ABC vuông tại C, hệ thức nào sau đây sai:

A sinA cos B B cosAsin B

C tanA cot B D cotAtan B

3. Tam giác ABC vuông ở A và có � 30 B o Khẳng định nào sau đây là sai?

3

2

2

2 sinB

4. Cho tam giác ABC có BC a CA b AB c ,  ,  Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Nếu b c2   thì góc A nhọn.2 a2 0

B Nếu b c2    thì góc A tù.2 a2 0

C Nếu b c2    thì góc A nhọn.2 a2 0

D Nếu b c2   thì góc A vuông.2 a2 0

5. Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây sai:

A SinA Sin2A B C   B os3

2

A B C SinA c  

C cosC sin 3

2

A B  C

HDG: chọn D

Ta có sin A  B 2C sin( C 2 ) sin(C  C) sinC

6. Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây đúng:

A SinA Sin B C   B. SinA Sin B C   

C SinA c osB C  D. cos A Sin B C   

7. Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây sai:

A cos

C S

A B

in





B cos(A+B+2C) =cosC

C Sin A C(  ) sinB D cosA cosB C 

8. Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây đúng:

A cosA cos B C   B cosA cos B C   

C cosAsinB C  D sinAcosB C 

HDG:

Ta có A B C  1800 �B C 1800A

0 sin(B C ) sin(180 A)sinA ;

0 cos(B C ) cos(180 A) cosA�cosA cos BC

9. Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây sai:

A

A C

Sin

 

C SinCsinB A  D cos(A B ) cos C

10. Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây đúng:

A B   C

A B   C

11. Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây đúng:

A B  C

A B   C

12. Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây đúng:

A B   C

A B   C

13. Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây đúng:

A B   C

A B  C

14. Cho tam giác ABC và các mệnh đề:

(II) tan tan 1

A B C 

(III) cos A B C(   )cos C2 0

Mệnh đề đúng là:

HDG:

Ta có

A B C   suy ra  sin

cos   nên (I) đúng

Và tan cot

A B  C nên tan tan tan cot 1

A B C  C C  nên (II) đúng

15. Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây sai:

A 3

Sin   c

B cos(A B C  ) cos 2C

A B  C  C

A B  C  C

HDG: ta có

2

A B  C  A B C C     C   C

16. Tam giác đều ABC có đường cao AH Khẳng định nào sau đây là đúng?

2

3 cosBAH 

2

2 sinAHC

17. Cho tam giác ABC có AB8cm AC, 18cm và có diện tích 2

64cm Góc A của tam giác có giá trị sin A là:

A 3

2 B 3

5 D 8

9

18. Cho tam giác ABC có AB3, AC4, BC  Tính cosB ?5

A 3

3

4

Hướng dẫn giải:

 Ta có BC2AB2AC2� góc A vuông nên cosB BC AB35

19. Cho ABC có �A60 ,0 AC 8 cm AB, 5  cm Góc � B là góc

HDG: Ta có

0

2 osA

= 5 8 2.5.8 os60

79

79

ˆ ˆ

ˆ 60

c

BC

BC AC

A B

B

 





�



�



�



�

20. Tam giác ABC có cosA = 4

5 và cosB =

5

13 Lúc đó cosC bằng:

65

16

36 65

HDG:

cosA= 4

5 nên suy ra

3 sin

5

A

cosB = 5

13 nên suy ra

12 sin

13

B

vậy

0

( osA cosB - sinA.sinB)

4 5 3 12 16

5 13 5 13 65

c

 

21. Cho tam giác ABC có AB cm,4 BC cm, 7 CA  cm Giá trị cos A là:9

A 2

1

2 3

2.

22. Với mọi tam giác ABC ta luôn có sinAsinBsinC bằng:

A. 4cos cos cos

2 2 2

B 1 4cos cos cos

C. 4sin sin sin

D 1 4sin sin sin

2 2 2



HDG:

Ta có: sinAsinBsinC

2 os os 2sin os

2 os ( os sin )

4 os os os







23. Với mọi tam giác ABC ta luôn có sin 2Asin 2Bsin 2C bằng:

A. 4cos cos cosA B C B 1 4cos cos cos A B C

C. 4sin sin sinA B C D 1 4sin sin sin A B C

HDG:

sin 2 sin 2 sin 2 2sin( ) os(A-B)+2sinC cosC

=2sinC os(A-B)+2sinC cosC 2sin ( os(A-B) os(A+B))

=2sinC.2sinA sinB=4sinAsinBsinC

24. Với mọi tam giác ABC ta luôn có cos2Acos2Bcos2C bằng:1

A. 2cos cos cosA B C B 4cos cos cosA B c

C. 1

cosA.cosB.cosC

2 D 4 osA osB osCc c c

HDG:

Ta có: cos2Acos2Bcos2C1

=

2 2

2cos( ) os(A-B) 2 os 1 1 2.cos os(A-B) 2 os

2 osC.( os(A-B) osC)

2 osC( os( ) os( ))

4 cos cos cos

 

25. Cho tam giác ABC có tan A cm, tan2 B  cm cm Giá trị tan C là:1

2

HDG:

1 tan tan





26. Cho ABC thoả mãn sin 2cos

sin

C

A

B  Khi đó tam giác ABC sẽ có tính chất gì ?

sin

2cos sin 2sin cos

sin

C

B

�

�

� ABC cân tại C

NX: Từ (1) nếu thay góc C bằng góc B thì ta được 2 bài toán:

sin

2cos sin

B

A

C 

sin

2cos sin

B

C

A

Tương tự nếu thay góc � C bằng góc � A thì ta được 2 bài toán:

sin 2cos

sin

A

C

B 

sin 2cos

sin

A

B

C 

Như vậy trong bài toán chứng minh ABC cân, nếu ta hoán đổi vị trí các góc thì ta sẽ thu được 

ABC cân tại các vị trí khác nhau.

27. Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A cot cot cot cot cot cot

B cot cot cot  cot cot cot

C cot cot cot cot cot cot

D cot cot cot  cot cot cot

HDG: chọn A

đều cho ABC cân tại B

đều cho  ABC cân tại A

    

cot cot cot (cot cot ) cot

2

cos cos cos

sin sin sin

C

28. Cho tam giác ABC Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A cos cos cos  1 4sin sin sin

B cos cos cos  1 4sin sin sin

C cos cos cos  1 4cos cos cos

D cos cos cos  1 4cos cos cos

HDG:chọn B

Ta có:







 

2

cos 2cos cos

1 2sin 2sin cos

1 2sin ( sin cos )

1 4sin sin sin

A

29. Cho tam giác ABC Tìm câu sai:

A cos cosB Csin sinB CcosA0

B sin cos sin cos cos

C.cos cosB Csin sinB C sinA

D cos2Acos2Bcos2C 2cos cos cosA B C1

HDG:

cos( ) cos cos cos cos sin sin nên

�

30. Cho tam giác ABC Tìm câu sai:

A cos cos sin sin sin

B tanAtanBtanCtan tan tanA B C

C.cotAcotBcotCcot cot cot A B C

D tan tanA Btan tanB Ctan tanA C1

HDG:

Ta có

B C   nên cos A os( ) cos cos sin sin sin

c 

Vậy A đúng

B ta có

tan( ) tan( )

tan tan

tan

1 tan tan

tan tan tan tan tan tan

C





  

�

�



�

( B đúng)

 cotAcotBcotCcot cot cot là sai A B C

Vậy C sai

D B C  2 2 A2 nên

tan tan

tan tan tan tan tan tan 1



� Vậy D đúng

31. Cho tam giác ABC Tìm câu sai:

A cot cotB Acot cotB Ccot cotA C1

B cos2Acos2Bcos2C 1 2cos cos cosA B C

C.cosBcosCcosA4cosAcosBcos C

cos cos cos( ).cos( ) cot

HDG:

Ta có: A B C   �A B   C

Do đó :

cot( ) cot cot cot 1

cot cot cot

cot cot cot cot cot cot 1

C

  

  

�



� Suy ra A đúng

B 2  2  2 1 cos2  1 2  1 cos2

2

 

2

1 cos( ).cos( ) cos

1 cos (cos cos( ))

1 cos (cos( ) cos( ))

1 2cos cos cos

Nên B sai

C B C A A B A B  A B





cos

cos cos cos( ).cos( ) cos (cos cos( )) cot cos sin sin( ).cos( ) sin (cos cos( ))

32. Cho tam giác ABC thỏa mãn B B

2 2

tan sin tan sin thì :

A Tam giác ABC cân

B Tam giác ABC vuông

C Tam giác ABC đều

D Tam giác ABC vuông hoặc cân

33. Cho tam giác ABC thỏa mãn 



cosB+cosC sin

sin sin

A

B C thì :

A Tam giác ABC cân

B Tam giác ABC vuông

C Tam giác ABC đều

D Tam giác ABC vuông hoặc cân

HDG:

Vì sin 2sin os







2

cosB+cosC

A

Vậy góc A là góc vuông

34. Cho tam giác ABC thỏa mãn 



sin cosB+cosC sin cosC cosA

A

A Tam giác ABC cân

B Tam giác ABC vuông

C Tam giác ABC đều

D Tam giác ABC vuơng hoặc cân

HDG:



�

�

sin cosB+cosC

sin cosA-sin cosB cosC.(sin sin ) sin cosC cosA

1

(sin2 sin2 ) cosC.(sin sin ) 2

cos( ).sin( ) 2cos cos sin

A

B

�

�

 

�

�

�

0

cos sin sin sin 0

90

2

C

C C

C

A B

A B

35. Nếu hai gĩc B và C của tam giác ABC thoả mãn: tan sinB 2Ctan sinC 2B thì tam giác này:

A.Vuơng tại A B.Cân tại A

C.Vuơng tại B D.Cân tại C

HDG Câu 19 và 20

Thay tan sin ; tan sin



�

sin sin sin cosC sin cosB cosB cosC

sin2 sin2

Suy ra gĩc B và gĩc C bằng nhau

36. Cho ABC cĩ 1 cos 2 2 2

Ta thấy trong (1) chứa cả 2 yếu tố gĩc và cạnh Đối với bài tốn này ta cĩ thể CM  ABC cân theo 2

cách: A B  hoặc a b

Tuỳ vào biểu thức của bài tốn mà ta chọn biến đổi về gĩc hay về cạnh sao cho thuận lợi hơn

Cách 1:



�



2



�

Aùp dụng định lý hàm Sin ta được:

1 cos 2sin sin

1 cos 2sin sin

2sinAsinC2sin cosA B sínC cosB2sinAsinC2sin cosA Bsin cosC B

�

4sin cosA B2sinC

�

2 sin(A B ) sin( A B ) 2sinC

�

2 sinCsin(A B ) 2sinC

�

� ABC cân tại C

Cách 2:

(1)

2

2

2 2

2

4 2sin cos

B

a c





�



2 2

a c

tg





�

 2

2 2

2 2

tg

� a = b � ABC cân tại C

37. Cho ABC thoả sin cos3 sin cos3

A Vuông tại A B Đều C Cân tại C D Cân tại B

Hướng dẫn

Chứng minh tam giác ABC cân

sin sin

�

�

tg tg  � 

A B ABC

38. Cho ABC thỏa: sin( ) sin( ) cos( ) 3

2

B C  C A  A B 

chất gì?

A � 0

120

60

C

Hướng dẫn

(1) sin sin cos 3

2

A B C 

�

3

C

�

2 3

C A B � C  � 

C C A B  

C C A B  A B  A B 

�

2

2

1

2

A B



�

�

1 cos

C

A B

�

� �

� 

�

0 0

120 30

C

A B

� 

�

� �

 

�

39. Cho ABC thỏa mãn hệ thức ( )

2

A B atgB btgA  a b tg 

và C �900 (1) Khi đó tam giác ABC

sẽ có tính chất gì?

A �C600 B Đều C cân tại C D � �A B 500

sin (sin cos sin cos ) 0

2

sin (sin 2 sin 2 ) 0

2

B A

B A

�



�

�

Có 2 khả năng sau:

1) Nếu sin 0

2

B A

B A

2) Nếu sin2A – sin2B =0 �sin 2Asin 2B (2)

Do  C 90� 0 � A B 90� 0 � 2A2 180  B � 0 và hiển nhiên

0

0 2 A2 360 ,B  nên từ (2) suy ra 2 2A  B hay A  B

Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có  ABC cân tại C

40. Tam giác ABC có tính chất đặc biệt gì nếu ta có: 2 a cosA b cosC c cosB    1 

A �A600 B Đều C vuông tại C D �C600

Hướng dẫn

RsinA cosA RsinB cosC RsinC cosB sinAcosA sinBcosC cosBsinC

�

�

1 2  0

sinAcosA sin B C

sinAcosA sinA

cosA vì sinA

A tam giác ABC có góc A

�



�

