H lythuyet12

Bước 4: Tĩm tắt 3 bước trên qua bảng biến thiên.. Kết luận về tính tăng giảm và cực trị của hàm số Bước 5: Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung, trục hồnh nếu cĩ, tìm thêm điểm phụ nếu

KIẾN THỨC CƠ BẢN 12 – HỌC KỲ 1

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

1) Tính tăng giảm và cực trị:Cho hàm số y=f(x) xác định trên D

* y = C ⇔ y’= 0 ∀x ∈ D

* Hàm số tăng trên D ⇔ y’ ≥ 0, ∀x∈D

* Hàm số giảm trên D ⇔ y’ ≤ 0, ∀x∈D

* Hàm số cĩ cực trị ⇔ y’= 0 hoặc khơng xác định tại xo & đổi dấu

khi x qua xo

* Hàm số cĩ cực trị tại x0 ⇔ "( ) 0'( ) 0=≠



o o

y x

y x

* Hàm số đạt CĐ (CT) tại x0 ⇔ '( ) 0

"( ) 0( 0)

o o

y x

y x

=



 < >

 Chú ý:

 Đối với hàm nhất biến : Hàm số tăng ⇔ y’ > 0 ;

Hàm số giảm ⇔ y’ < 0

 Nếu y’ cĩ dạng tam thức bậc hai thì: Hàm số cĩ cực trị

⇔ y’ đổi dấu hai lần ⇔ y’= 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt ⇔∆ > 0

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của y = f (x) trên

Khoảng (a ; b ) Đoạn [a;b]

 Tính y’

 Lập BBT trên (a ; b )

 Kết luận :

( ) ;

maxa b y= y hoặc CD

( ) ;

mina b y=y CT

 Tính y’

 Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm ( )

x a b

 Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn nhất M , nhỏ nhất

m kết luận [ ] ;

max =

a b y M , min[ ]; =

3)Khảo sát hàm số Gồm các bước:

Bước 1: Tập xác định

Bước 2: Tính và xét dấu y’ ( y’=0 ⇔ x=? ⇒ y=?)

Bước 3: giới hạn bên phải, giới hạn bên trái tại điểm gián đoạn

(hàm nhất biến), giới hạn khi x dần đến +∞, −∞ đồng thời chỉ ra

tiệm cận (nếu cĩ)

Bước 4: Tĩm tắt 3 bước trên qua bảng biến thiên

Kết luận về tính tăng giảm và cực trị của hàm số

Bước 5: Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung, trục hồnh (nếu

cĩ), tìm thêm điểm phụ (nếu cần) rồi vẽ đồ thị hàm số

a) Hàm bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0)

* D =  * y’ = 3ax2 – 2bx + c

* Cĩ 2 cực trị (∆’ > 0) hoặc khơng cĩ cực trị (∆’≤ 0) Lúc đĩ

Hàm số luơn đồng biến (nghịch biến) trên R khi a > 0 (a < 0)

Đồ thị đối xứng qua điểm uốn

b) Hàm trùng phương: y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0)

* D =  * y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)

* Cĩ 3 cực trị (a.b < 0 hoặc chỉ cĩ 1 cực trị(a.b ≥ 0)

* Đồ thị cĩ trục đối xứng là trục tung

c) Hàm nhất biến: y =ax b

cx d

+ + ( c ≠ 0 & ad – bc ≠ 0)

* D = \ d

c

− 

 ;

* y' (ad bc)2

cx d

−

=

+ y’ luơn dương hoặc luơn âm Khơng cĩ cực trị.

* Cĩ một TCĐ: x = − d/c và một TCN: y = a/c

CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ Vấn đề 1: Sự tương giao của hai đường

y = f(x): (C) ; y = g(x): (C’)

 Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) & (C’): f(x) = g(x)

Số nghiệm của phương trình là số điểm chung

Vấn đề 2: Biện luận số nghiệm của 1 phương trình bằng đồ thị

 Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = m hay f(x) = h(m) (1)

Đây là phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và đường thẳng

y = m (h(m)) cùng phương Ox.

 Số điểm chung là số nghiệm của phương trình (1)

Vấn đề 3: Điều kiện tiếp xúc giữa hai đường

y = f(x): (C); y = g(x): (C’)

 Điều kiện (C) và (C’) tiếp xúc nhau ⇔ Hệ phương trình sau cĩ nghiệm: ( ) ( )

'( ) '( )

f x g x

f x g x

=



 ( Nghiệm của hệ phương trình chính là hồnh độ tiếp điểm)

Vấn đề 4: Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C):y=f(x)

Phương trình tiếp tuyến với (C) của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm M (x0 ;y0 ) là: y – y 0 = y’ (x 0 ) ( x – x 0 )

Trong phương trình trên cĩ ba tham số x 0 ; y 0 ; y’(x 0 ) Nếu biết một trong ba số đĩ ta cĩ thể tìm 2 số cịn lại nhờ hệ thức : y 0 = f (x 0 ) ; y’(x 0 )= f ’(x 0 ).

Chú ý :

 k = y’(x0 ) là hệ số gĩc của tiếp tuyến của ( C ) tại M ( x0 ; y0 )

 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì k = a

 Tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng y = ax + b thì k = 1

a

−

Các dạng thường gặp Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm

M0(x0 ; y0)∈( )C cĩ pttt y = y’(x0)(x – x0) + y0

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) biết tiếp

tuyến cĩ hệ số gĩc k

Gọi M0(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là: y = y’(x0)(x – x0) + y0

Giải phương trình y’(x0) = k tìm x0 và y0

*Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) y = f(x) , biết tiếp

tuyến đi qua A(xA ; yA) Gọi M0(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là: y = y’(x0)(x – x0) + y0

tiếp tuyến đi qua A(xA ; yA) nên yA = y’(x0)(xA– x0) + y0

giải pt này tìm được x0, trở về dạng 1

Vấn đề 5: Điểm cố định của họ đường (C m ): y=f(x,m)

(dồn m, rút m, khử m)

A(x0,y0) là điểm cố định của (Cm)⇔ A(x0,y0) ∈ (Cm), ∀m

⇔ y0 = f(x0,m), ∀m

⇔ Am2 + Bm + C = 0,∀m hoặc Am + B = 0, ∀m

Giải hệ phương trình trên để tìm điểm cố định

Vấn đề 6: Tập hợp điểm M(x;y)

 Tính x và y theo tham số

 Khử tham số để tìm hệ thức giữa x và y

A 0

B 0

=







A 0

B 0 hoặc

C 0

 Giới hạn quỹ tích (nếu có).

Vấn đề 7: CMR điểm I(x 0 ;y 0 ) là tâm đối xứng của (C):y=f(x)

Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo uurOI=(x y 0; 0)

Công thức đổi trục: 0

0

= +



 = +



x X x

y Y y

Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X)

Chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ

Suy ra I(x0;y0) là tâm đối xứng của (C)

Vấn đề 8: CMR đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C)

Dời trục bằng phép tịnh tiến OIuur=(x0;0)

Công thức đổi trục  = + 0

 =



x X x

y Y

Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X)

C minh hàm số Y = f(X) là hàm số chẵn

Suy ra đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C)

HÀM LUỸ THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

Hàm số mũ y = a x ; TXĐ D = 

Hàm số lgarit y = log a x, ĐK: 0

x a

>

< ≠





 ; TXĐ D = (0; +∞)

Các công thức

 Công thức lũy thừa: Với a > 0, b > 0; m, n ∈ ta có:

1n

a = a

−n ; ao = 1; a− 1 =1

a ;

m

n

a = a

 an a m = a n+m ;  (an)m = a nm ;  (ab) n = a n b n;

 n n m

m

a

a

a

−

m

  =

 ÷

 Công thức logarit: loga b = c ⇔ a c = b (0 < a ≠ 1; b > 0)

Với 0 < a ≠ 1, 0 < b ≠ 1; x, x1, x2 > 0; α∈ ta có:

 logaa = 1 ;  loga`1 = 0 ; aloga x=x ;  alog

b x = xlog

b

 loga (x1x2)=loga x1+loga x2 ;  loga

1 2

x

x = log a x1−loga x2;

 logaxα = α.logax logaα x 1loga x

α

= ;(loga a x =x);

 logb a.log a x=log b x;  log a x=log

log

b b

x

a;(loga b=

1 logb a)

Phương trình và bất phương trình mũ− logarit

1/ Phương trình mũ - logarít cơ bản :

Dạng a x = b (0 < a ≠ 1 )

 b≤0 : pt vô nghiệm

 b > 0 : x log

a

Dạng loga x b= ( 0 < a ≠ 1)

 Điều kiện : x > 0

a x b= ⇔ =x a

2/Bất phương trình mũ- lôgarít cơ bản :

Dạng a x > b (0 < a ≠ 1)

 b≤0 : Bpt có tập nghiệm R

 b > 0 :

khi a > 1: x log

a

a > ⇔ >b x b

khi 0 < a < 1:

log

x

a

a > ⇔ <b x b

Dạng loga x b> ( 0 < a ≠ 1)

 Điều kiện : x > 0 Khi a > 1

a x b> ⇔ >x a

khi 0 < a < 1

a x b> ⇔ <x a

3/ Cách giải :Đưa về cùng cơ số – Đặt ẩn phụ

HÌNH HỌC

Nhắc lại Các công thức tính diện tích.

a/ Công thức tính diện tích tam giác:

1 2

S= a.ha = 1 sin .

a b c

a b C

R

= = p r = p p a p b p c.( − )( − )( − )với

2

a b c

p= + +

Đặc biệt : ∆ABC vuông ở A : 1

2

S= AB AC,  ∆ABC đều cạnh a: 2 3

4

a

S= b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diên tích hình thoi : S = 1

2(chéo dài x chéo ngắn)

d/ Diện tích hình thang : 1

2

S= (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao

f/ Diện tích hình tròn : S=π.R2

Chú ý:

 Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 ,

 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,

 Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là

d = a2+ +b2 c2 ,  Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 3

2

a

 Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông, …) và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là

đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy)

 Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

THỂ TÍCH

1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V = B.h

(B diện tích đáy, h chiều cao)

Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c

( a,b,c là ba kích thước)

Thể tích khối lập phương: V = a3

( a là độ dài cạnh)

2 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: V =1

3Bh

3 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:

Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có:

SABC

SA B C

4 KHỐI NÓN:  V = 1

3πr

2h ;  Sxq = πrl

5 KHỐI TRỤ:  V = π r2h ;  Sxq = 2πrl

6 KHỐI CẦU :  V = 4 3

3

r

π ;  S = 4 πr2

Nắm chắc, hiểu lý thuyết, phương pháp +