BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TIM GIÁ TRỊ NHỎ RẤT LỚN NHẤT ĐẶNG THÀNH NAM 1.. Bất đẳng thức Cô – si... II BÀI TẬP VẬN DỤNG... - Nếu là học sinh THCS thì Chứng minh tương đương rồi về nhân tử t-3.
Trang 1BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TIM GIÁ TRỊ NHỎ RẤT LỚN NHẤT
ĐẶNG THÀNH NAM
1 Bất đẳng thức Cô – si
Cho 2 số không âm ta có: √
Dấu “=” xảy ra khi a = b
Cho 3 số không âm ta có: √
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
2 Bất đẳng thức BunhiaCopsky
Cho x, y, a, b là các số thực ta luôn có: (x2 + y2)(a2 + b2) ≥ (ax + by)2
Dấu “=” xảy ra khi { ( k R)
Một số biến dạng của hai BĐT trên
Cho a, b dương ta luôn có: (a + b)( + ) ≥ 4 ⇒ + ≥
Chứng minh: Theo BĐT Cô – si: { √
√
⇒(a + b)( + ) ≥ 4
Mở rộng tương tự cho 3 số a, b, c dương ta luôn có: + + ≥
Cho x, y, a, b là các số thực ta luôn có: ( + )(x2 + y2) ≥ (a + b)2
⇒ + ≥ ( )
Đặt u = x2
, v = y2 ta có BĐT: + ≥ ( )
Mở rộng BĐT cho 3 số: +
+ ≥ ( )
Trang 2
II) BÀI TẬP VẬN DỤNG
Ví dụ 1 Cho x, y > 0 thỏa mãn x2 + y2 = 2 Chứng minh: +
≥ 4
Lời giải Ta có: ( +
)( ) ≥ ( + 3y)2
Mặt khác: + 3y =
+ 3y = ( ) ≥ 4
Ta có: x + x + 2y = 2(x + y) ≤ 2√ ( ) = 4
⇒ +
(
) ( ) ≥ = 4 Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1
Cách 2: BĐT ⇔ x3
(x + 2y) + 9y4 ≥ 4y2(x + 2y)
Chia cả hai vế cho y3 đặt t x
y
trở thành phương trình bậc 4 ẩn t Chứng minh tương đương rồi về nhân tử (t – 1)
Cách 3: 2y ≤ y2 + 1 = 3 – x2
⇒ +
≥ +
=
+ ( )
≥ 4, ( √ ) Tới đây rồi khảo sát hàm số hoặc chứng minh tương đương dồi về nhân tử (x -1)
Ví dụ 2 (*) Bất đẳng thức phụ: + ≥
( ) ,
Áp dụng:
Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x2 + y2 + z2 ≤ 3y Tìm GTNN của biểu thức: P =
( )
+
( ) +
( )
Lời giải
C/m BĐT phụ, ta có: + ≥
Mặt khác: ab ≤ ( )
⇒ + ≥ ( )
( ) (đpcm) Dấu “=” xảy ra khi a = b
Trang 3P =
( ) +
( )
+
( ) ≥
( )
+
( ) ≥
( )
Ta có: (x2 + 1) + (y2 + 4) + (z2 + 1) ≥ 2x + 4y + 2z ⇒ 2x + 4y + 2z ≤ 3y + 6
⇔ 2x + y + 2z ≤ 6 ⇔ x + + z ≤ 3 Vậy P ≥
( ) = 1 Vậy MinP = 1 khi x = 1, y = 2, z = 1
Cách 2:
Ta có: (x + 1)2 ≤ 2(x2 + 1); (z + 3)2 ≤ 4(z2 + 3)
P ≥
( ) +
( ) +
=
( ) +
+
+
( )
≥
( ) +
( ) ≥
( ) +
( ) Tới đây ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số, học sinh THCS thì dùng biến đổi tương đương bằng cách rồi về nhân tử (y – 2)
Ví dụ:
Bài toán phụ , cho x, y thỏa mãn xy ≥ 1 Ta có:
+
≥
Với – 1< xy ≤ 1 bất đẳng thức đổi chiều
Lời giải
BĐT⇔
( )( ) ≥
⇔ (2 + x2 + y2)(1 + xy) ≥ 2(1 + x2)(1 + y2)
⇔ x2 + y2 + xy(x2 + y2) + 2xy + 2 ≥ 2 + 2(x2
+ y2) + 2x2y2
⇔ (x – y)2(xy – 1) ≥ 0 (luôn đúng )
Chứng minh BĐT đổi chiều làm tương tự
Trang 4Ví dụ
Cho a, b, c ≥ 1 Chứng minh:
+
+
≥
Lời giải
Ta có:
+
≥
√ ;
+
≥
√
(Trong đó d là số thực bất kì và d ≥ 1)
VT +
≥ 2(
√ +
√ ) ≥
√
Chọn d3 = √ ⇔ d = ⇒ VT +
≥
⇔ VT ≥
(đpcm)
Áp dụng Cho x, y, z > 2, thỏa mãn: + + = 1
Chứng minh: (x – 1)(y – 1)(z – 1) ≥ 8
Lời giải Ta có:
( ) +
( ) +
( ) ≥
√( )( )( )
⇔ 1 ≥
√( )( )( ) ⇔ (x – 1)(y – 1)(z – 1) ≥ 8
Ví dụ:
Cho x, y > 0 thỏa mãn 2(x2 + y2) +
= 5
Tìm GTLN của P =
+
-
Lời giải
5 = 2(x2 + y2) +
≥
+ 4xy ⇔ 4x2y2 – 5xy + 1 ≤ 0
⇔ (xy – 1)(4xy – 1) ≤ 0 ⇔ ≤ xy ≤ 1
Áp dụng:
Trang 5P ≤ f(t) =
-
Đặt t = xy, t [ ; 1] ⇒ P =
-
f’(t) =
( ) +
( ) =
( ) ( ) < 0 t [ ; 1]
Vậy MaxP = f( )
- Nếu là học sinh THCS thì chứng minh tương đương rồi về nhân tử (t – ¼)
Ví dụ 1
Cho x, y, z [ ; 3] Tìm GTNN của biểu thức:
P =
+
+
Lời giải
Không mất tính tổng quát, giả sử: z = max{x, y, z}
Ta có: P =
+
+
≥
√
+
Đặt t = √ (1 ≤ t ≤ 3) P ≥ f(t) =
+
=
+
P ≥ f(t) ≥ f(3) =
- Nếu là học sinh THCS thì Chứng minh tương đương rồi về nhân tử (t-3)