80 bai bat dang thuc hay

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh... Chứng minh rằng: Đẳng thức xảy ra khi nào.. Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức *.. Do vai trò của các a,b, c trong

Lời giải Giải sử a = max(a, b, c) ; c = min(a, b, c)

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh

Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki trở thành đẳng thức khi a2 = bc , b2 = ac, c2 = ab , suy ra a = b = c

Vậy dấu “=” của Bất đẳng thức xảy ra khi a = b = c

3) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn các điều kiện sau: x + y + z = 0,

3) (Trích đề Chuyên sư phạm Hà Nội năm 2014)

Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 1 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 3

5 khi a = b = c

Giả sử x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện

1

1

z  ta thu được bài toán sau:

“Với x, y, t là các số dương thỏa mãn: 2 2 2

3.

xy yt tx  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 4 14 4



  ” Theo BĐT Cô – si Cô – si cho 4 số dương ta có:

x y Mặt khác: 2 2 2

(xy) x y  2xy  1 2xy 1 Suy ra: x y 1.

Đẳng thức xảy ra khi x = 0 hoặc y = 0

2 2 2 1 2 0 4 2 3.

Vậy Pmin  4 2 3  đạt được khi x 0 hoặc y 0

9) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T  2ac bd cd , trong đó các số thực

a, b, c, d thỏa mãn điểu kiện 2 2

4a b  2 va c + d = 4.

Lời giải Với mọi a, b , c, d  R ta có:

2 2 2

2

2 4 (1) (2 ) 0

4 2

a b c d Vậy giá trị lớn nhất của T là 8

10) (Trích đề vào Chuyên Lê Quý Đôn Bình Định năm học 2005 – 2006)

Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nữa chu vu tam giác Chứng minh rằng:

Hay P  3 Vậy MinP = 3 đạt được khi x = y = z = 1

13) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điểu kiện x + y + z = 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy Qmin= 6 khi x = y = z = 2

13) (Trích đề Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm học 2005-2006)

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2

y x   x x  x 2) Cho ba số thực x, y, z đề lớn hơn 2 và thỏa mãn điều kiện:

1 1 1

1

x  y z Chứng minh rằng: (x – 2)(y – 2)(z – 2)  1

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải 1) Tập xác định của hàm số y là R Nhận thấy y > 0 với mọi giá trị của

x nên để tìm giá trị nhỏ nhất của y ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của y2

Dấu “=” xảy ra khi x = 0

Vậy ymin= 4 khi x = 0

2) Đặt a = x – 2, b = y – 2, c = z – 2 Ta phải chứng minh: abc ≤ 1

x   y z a b c 

Nhân (1), (2) và (3) theo vế ta được điều cần chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hay x = y = z = 3

14) Cho a, b là các số lớn hơn 1 và thỏa mãn điều kiện a + b  4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải Do a  1 , b  1 nên (a – 1) > 0 và (b – 1) > 0 Áp dụng bất đẳng thức

Cô – si cho hai số không âm ta có:

2 2 2

(1) ( 1)( 1) ( 1)( 10

a b A

Vậy GTNN của A là 32 đạt được khi a = b = 2

15) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: 2 2 2

3

a b c  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

ab bc ca M

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2 chẳng hạn khi ( ; ; )x y z  ( 2 1;1;1) 

17) Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Dấu “=” xảy ra ở (1), (2) và (3) khi và chỉ khi x = y = z

Áp dụng các bất đẳng thức (1), (2), (3) vào bài toán ta có:

 , hoặc cả 3 số bằng 4

8

 19) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 1 Chứng minh rằng: 2 3 3 3 1

Đẳng thức xảy ra khi x, y, z bằng bao nhiêu?

Lời giải a) Ta thấy: 2 2 2 2

9

Suy ra: 4x  1 4y  1 4z  1 21.

Đẳng thức xảy ra khi x  y z 13

21) (Trích đề vào Chuyên đại học Vinh năm 2006-2007)

Cho các số thực x, y thỏa mãn x2y2 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Vậy Pmin= - 6 và Pmax= 6

22) (Trích đề vào Chuyên đại học Vinh năm 2006-2007)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6 Chứng minh rằng:

Đẳng thức xảy ra khi nào

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp – xki ta có:

abbcca   a   b   c 

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải Bất đẳng thức tương đương với:

3

x     y z a b c 26) Cho a, b, c là số dương Chứng minh rằng:

11

Từ đó áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba số dương:

2b   1 3b ; 3(a b )  3(a b ab ); a b a a  3a b a b; a b b  3a b . Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức (*)

27) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 (1)

28) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên Phan Bội Châu 2007-2008)

Cho x, y là các số dương thỏa mãn x 1 1.

29) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên Phan Bội Châu 2007-2008)

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a b c   3. Chứng minh rằng:

3

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải Đặt A là biểu thức cần chứng minh Ta có:

a b c  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2

.

Pab bc ca abc

Lời giải Do vai trò của các a,b, c trong biểu thức có tính hoán vị vòng quanh,

nên không mất tính tổng quát giả sử b là số nằm giữa a và c

2 2 2

2 2

3

1 ( )( ) 0

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2

33) Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải Do vế trái của BĐT không thay đổi trong phép hoán vị a, b, c nên

không mất tính tổng quát giả sử a  b c 0 Khi đó 2 2 2 2

Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh đẳng thức xảy ra khi a = b = c

34) (Trích đề thi Chuyên Ams năm học 2008-2009)

Cho a là số thay đổi thỏa mãn    1 a 1 Tìm giá trị lớn nhất của b để bất đẳng

Suy ra M b,   t  0; 2   khi và chỉ khi b2 2 1.

Vậy giá trị lớn nhất của b thỏa mãn bài toán là b 2 2 1 

35) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương)

Do a, b, c là các số không âm nên từ (1) và (2) suy ra: 3

37) (Trích đề thi vào lớp 10 Chuyên Phan Bội Châu năm 2008-2009)

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyyzzxxyz Chứng minh rằng:

39) (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh)

Cho các số thực a thỏa mãn 0  a 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu

40) (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Vĩnh Phúc)

Cho a, b là số dương thỏa mãn a b  1. Chứng minh rằng: 2 23 2 14.

41) (Trích đề thi vào lớp 10 Chuyên đại học Vinh 2008-2009)

Cho a, b là số thực dương Chứng minh rằng: 2 2

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:

16

42) (Trích đề thi vào lớp 10 Chuyên đại học Vinh 2008-2009-Chuyên toán)

Cho a, b, c, d đều thuộc đoạn  0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a b c d abcd     

  Do đó với a b c d, , ,  0;1 ta có:

0     a b c d 4, 0       4 a b c d 4, Suy ra:

4 3

43) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên Sư phạm Hà Nội 2008 – 2009)

Các số thực x, y, z khác nhau và thỏa mãn (zx z)( y) 1  Chứng minh bất đẳng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

45) (Trích đề thi vào Chuyên Trần Phú Hải Phòng)

1) Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng: (a b c) 1 1 1 9.

46) (Trích Chuyên Đại học Vinh năm 2009 – 2010)

Cho các số thực x, y thỏa mãn: x 8y 0. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

47) (Trích Chuyên Đại học Vinh năm 2009 – 2010)

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x 2y 3z 18. Chứng minh rằng:

18

Cho x > 0 Tìm giá trị của x để biểu thức 2

( 2010)

x N

50) (Trích đề thi vào lớp 10 Chuyên Vĩnh Phúc năm học 2009-2010)

Cho ba số thực a, b, c đôi một khác nhau Chứng minh rằng:

Vậy giá trị lớn nhất của P là 1 đạt được khi x = 0

52) (Trích vào 10 Chuyên Phan Bội Châu năm 2009-2010)

Vậy MinP = 4 khi và chỉ khi a = b = c = 1

53) (Trích vào lớp 10 Chuyên Quang Trung – Bình Phước)

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải Biến đổi vế trái BĐT cần chứng minh và áp dụng BĐT Cauchy ta có:

2 4

55) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:

670

x  y z

Lời giải Trước hết ta chứng minh kết quả sau:

56) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên đại học Vinh năm 2010-2011-Chuyên toán)

Giả sử x, y, z là các số dương thỏa mãn hệ thức: a b c   18 2. Chứng minh

Đẳng tức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 6 2.

57) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên đại học Vinh năm 2010-2011)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 hoặc x = y = 0

57) Cho a, b, là các số thực dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

Từ (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh

59) Chứng minh rằng với mọi số dương x, y, z thỏa mãn xyyzzx 3, ta có bất

( )( )( ) 2

Suy ra điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra khi a = b = c

61) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2

3 1 2 2 40 9 ,

Trong đó x, y là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y = 1

Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai bộ số không âm ta có:

62) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An)

Cho a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện a b c   3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Pa bb cc a abc.

Vậy giá trị lớn nhất của P là 2

63) (Trích đề tuyển sinh Lớp 10 Chuyên Lam Sơn 2010-2011)

Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b c   1.

(b c )  4bc  b c 16abc.

Đẳng thức xảy ra khi 1; 1.

a b c 64) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 6 4 6 4

P x  y  y  x Trong đó x, y là các số dương thỏa mãn 1 1 2.

2 6 6

66) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên Lê Quý Đôn Bình Định năm 2010-2011)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c ≤ 1 Chứng minh rằng:

70) (Trích đề thi vào Chuyên KHTN-ĐHQG Hà nội năm 2011-2012)

Với x, y là số thực dương tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y Vậy Pmin=1

71) (Trích đề thi Chuyên KHTN-ĐHQG Hà nội năm 2011-2012- Chuyên toán)

Cho x, y, z là số thực dương thỏa mãn đẳng thức: xyyzzx 5 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 2

6( 5) 6( 5) ( 5)

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải Cách 1 Gọi vế trái BĐT (1) là A ta có:

Cách 2 Do vai trò bình đẳng khi hoán vị vòng quanh x, y, z nên không mất tính

tổng quát, Giả sử: x = maxx y z; ;  Ta có:

73) (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Hà Tĩnh năm 2011-2012)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy MinF= -2 khi và chỉ khi x = 1

74) Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2 2

Từ (1) và (2) suy ra P 3 Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

76) Cho a, b, c là các số không âm Chứng minh rằng:

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải Cách 1 Xét hiệu: ( )

27

Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng:

3

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

79) (Trích đề thi HSG tỉnh Thái Bình năm 2010-2011)

Lời giải Áp dụng BĐT

2 2 2

Cách 1:

82) Cho a, b, c là số thực dương có tổng bằng 3 Chứng minh rằng: