Sử dụng đạo hàm nhằm giúp học sinh lớp 12 chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số

MỞ ĐẦU* Lý do chọn đề tài Các bài toán về bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn gây khó khăn cho không ít học sinh trong quá trình học tập.. Tuy nhiên để nhìn nhận

1 MỞ ĐẦU

* Lý do chọn đề tài

Các bài toán về bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn gây khó khăn cho không ít học sinh trong quá trình học tập Các bài toán dạng này cũng thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi và thi THPT Quốc gia

Nó thường là các bài toán hay và khó nhất trong đề thi Phần lớn các em học sinh nếu gặp bài toán loại này thì thường bỏ qua và chỉ có một số ít học sinh làm được trọn vẹn nó

Trong các kì thi học sinh giỏi và thi THPT Quốc gia những năm gần đây thường xuất hiện bài toán về bất đẳng thức và về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Trong số các bài toán đó thì phần lớn ta có thể giải quyết được trọn vẹn bài toán bằng cách sử dụng đạo hàm một cách khéo léo Tuy nhiên để nhìn nhận ra các bài toán về bất đẳng thức, hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà sử dụng được đạo hàm để giải là một điều không hề đơn giản chút nào Vậy có cách nào

để nhìn ra được một bài toán về bất đẳng thức, hay về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà sử dụng đạo hàm để giải hay không? Và nếu có thì phải giải bài toán đó như thế nào?

Đề tài “Sử dụng đạo hàm nhằm giúp học sinh lớp 12 chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số” được viết nhằm giúp các em học sinh có thêm kĩ năng biến đổi, giải các bài toán bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất để bước vào kì thi THPT Quốc gia năm 2016 đạt kết quả tốt nhất

* Mục đích nghiên cứu

- Trang bị cho học sinh về một phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số mang lại hiệu quả rõ nét trong việc giải đề thi THPT Quốc gia

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo và hình thành nhiều cách giải khác nhau

* Đối tượng nghiên cứu

- Các dạng toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nằm trong chương trình toán phổ thông

- Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng

* Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết

- Phương pháp phân loại và hệ thống hóa

- Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2 1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số

2.1.1.1 Định nghĩa: Cho hàm số f x( ) xác định trên khoảng K Khi đó

*) f x( ) gọi là đồng biến trên K nếu với mọi x x1 , 2 K mà x1 x2 ta đều có

( ) ( ).

f x  f x

*) f x( ) gọi là nghịch biến trên K nếu với mọi x x1 , 2 K mà x1 x2 ta đều có

( ) ( ).

f x  f x

Các hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng còn được gọi chung là các hàm đơn điệu trên khoảng đó

2.1.1.2 Định lý ( Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng)

Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên khoảng (a;b) Khi đó

*) Nếu f x( ) 0   x ( ; )a b (và dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì f x( ) đồng biến trên ( ; )a b

*) Nếu f x( ) 0   x ( ; )a b (và dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì f x( ) nghịch biến trên ( ; )a b

2.1.1.3 Điểm tới hạn của hàm số

Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số f x( ) nếu nó thuộc tập xác định của f x( ) và f x '( ) 0 0 hoặc f x'( ) 0 không xác định

Chú ý: Trên mỗi khoảng phân chia bởi hai điểm tới hạn kề nhau, đạo hàm của

hàm số giữ nguyên một dấu.

2.1.2 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và biểu thức

2.1.2.1 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

<1>Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập D Khi đó

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu thỏa mãn hai điều

kiện sau:

( )

| ( )







Kí hiệu: max ( ) ( ) 0

D

M  f x f x

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D nếu thỏa mãn hai điều

kiện sau:

( )

| ( )

m f x x D







Kí hiệu: min ( ) ( ) 0

D

m f x f x

<2>Các bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng:

- Tính đạo hàm

- Lập Bảng biến thiên

- Dựa vào Bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

<3> Các bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]:

- Tính đạo hàm

- Tìm các điểm tới hạn x i và tính các giá trị f a f b f x( ), ( ), ( ).i

- Kết luận max ( ) max[ ; ]  ( ); ( ); ( ) ; min ( ) mini  [ ; ]  ( ); ( ); ( )i 

a b

a b f x  f a f b f x f x  f a f b f x

2.1.2.2 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Cho biểu thức n biến Pf x x( ; ; ; ) 1 2 x n xác định trên D D D 1  2   D n, tức là

, 1,

x D  i n Khi đó

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của P trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

1 2

, 1, sao cho ( ; ; ; )







Kí hiệu: max max ( ; ; ; ) 1 2 n ( ; ; ; ) 10 20 0n

D

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của P trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

1 2

, 1, sao cho ( ; ; ; )







Kí hiệu: min min ( ; ; ; ) 1 2 n ( ; ; ; ) 10 20 n0

D

P m f x x x f x x x

2.1.3 Một số Bất đẳng thức áp dụng trong đề tài

2.1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy

- Trường hợp 2 số: Với mọi x, y không âm, ta đều có: x y  2 xy. Dấu bằng xảy

ra khi và chỉ khi x = y.

- Trường hợp 3 số: Với mọi x, y, z không âm, ta đều có: x y z   3 3 xyz.

Bất đẳng thức Cauchy được vận dụng nhiều trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cũng như các bài toán chứng minh bất đẳng thức Ta có thể khai thác, sử dụng các dạng thức khác nhau của bất đẳng thức này, chẳng hạn trường hợp ba số dương, ta có các dạng khác như:

3

3 3 3

3

3

x y z

x y z xyz x y z

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.

2.1.3.2 Bất đẳng thức Bunhia-copxki Với 6 số thực bất kì: a a a b b b1 , , ; , , 2 3 1 2 3 ta

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3

a b a b a b a b a b a b  a a a b b b

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a a a1 : 2 : 3 b b b1 : 2 : 3.

2.1.3.3 Các bất đẳng thức suy ra từ bình phương một biểu thức

*) (x y ) 2   0 x2 y2  2 xy Dấu bằng xảy ra khi x = y.

*) (x y ) 2  (y z ) 2  (z x ) 2   0 x2 y2 z2 xy yz zx 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.

*) (x y ) 2  (y z ) 2  (z x ) 2   0 (x y z  ) 2  3(xy yz zx  )

2.1.4 Các bước lập Bảng biến thiên của hàm số

- Tìm tập xác định;

- Tính đạo hàm;

- Tìm các điểm tới hạn, các giới hạn;

- Lập Bảng biến thiên

2.1.5 Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức:

- Đánh giá, biến đổi biểu thức, bất đẳng thức đưa về xét một hàm số

- Tìm khoảng đánh giá của hàm số

- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng vừa tìm được

- Giải quyết bài toán ban đầu

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Từ thực tế giảng dạy học sinh ở trên lớp, qua một số năm dạy ôn thi Đại học, THPT Quốc gia của trường THPT Hậu Lộc 4, tôi nhận thấy đa số học sinh đều coi bài tập về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức là bài tập khó, chỉ vận dụng các bất đẳng thức để suy nghĩ nên dẫn tới “không có

hướng giải” Có thực trạng đó theo tôi là do một số nguyên nhân sau:

- Do phân phối của chương trình của phần này cả lí thuyết và bài tập ôn tập

có giới hạn và nằm cả ở lớp 10, lớp 12 nên khi dạy trên lớp các giáo viên không thể đi sâu vào phân tích một cách chi tiết, khai thác nhiều phương pháp, đặc biệt

là phương pháp đạo hàm Trong khi đó các đề thi TSĐH, THPT Quốc gia, HSG trong các năm gần đây luôn có dạng toán này với mức độ yêu cầu khó

- Các tài liệu tham khảo hiện nay về phương pháp đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức chưa có tài liệu trình bày một cách có hệ thống, chuẩn mực Vì vậy đa số học sinh sẽ không thể tự phân tích, tổng hợp để hình thành phương pháp đạo hàm khi giải các bài toán này

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Giải pháp 1: Khảo sát trực tiếp hàm số theo một biến.

Phương pháp giải:

 Bước 1: Xác định được ẩn và miền giá trị của ẩn

 Bước 2: Lựa chọn hàm số cho phù hợp

 Bước 3: Tính đạo hàm và khảo sát hàm số trên miền giá trị của ẩn

 Bước 4: Suy ra kết quả bài toán

Chú ý: Kỹ thuật này thường áp dụng cho bài toán có 1 biến số

Ví dụ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y x2   x 1 x2  x 1 trên 

Giải:

Xét hàm số f x( ) x2  x 1 x2 x1 trên 

Ta có:   22 1 22 1

f x

  0 2 1 2 1 1 2  2 1

f x   x x  x   x x  x

2x 12x2 x 1 1 2x2x2 x 1 x 0

Thử lại x 0 thỏa mãn f x  0

Bảng biến thiên:

x   0 

 

f x - 0 +

 

f x

 

2

Từ bảng biến thiên suy ra min min   2 0

x





Nhận xét: Sử dụng đạo hàm đối với bài này là không khó Tuy nhiên học sinh

lại khá lung túng trong việc giải phương trình f x  0

Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: 12

P



  

Phân tích:

Biểu thức P xác định khi 0  x 4

Cách 1: Đạo hàm trực tiếp rồi suy ra kết luận của bài toán.

Cách 2: Vẫn dùng đạo hàm, nhưng ta nhân lượng liên hợp sau đó mới đạo hàm.

Cách 2 dễ làm hơn cách 1

Cả hai cách làm trên khi đạo hàm cần phải tỉ mỉ chính xác, đôi khi không cẩn thận thì sẽ rất dễ bị nhầm lẫn, nói chung là tương đối phức tạp Vậy có cách nào

đơn giản hơn mà tránh được sự nhầm lẫn không? Chúng ta xem xét cách làm sau đây:

Giải.

f x



   trên đoạn 0; 4 Đặt g x x x x 12 0,   x 0; 4 và h x  5  x 4  x 0,  x 0; 4

Ta có:

x



2 5 2 4

Do đó ta thấy g x   0 và tăng trên đoạn 0; 4 ; h x   0 và giảm trên đoạn 0; 4 nên h x 1 tăng trên đoạn 0; 4 Từ đó suy ra    

 

g x

f x

h x

 tăng trên đoạn 0; 4

12



5 2

 ; MaxP 12  x 4

Nhận xét: Đây là cách giải khá độc đáo nhưng không phải học sinh nào cũng nhìn ra được Cách giải này chưa được đề cập nhiều nên học sinh sẽ thấy rất lạ và khó có thể làm theo cách này.

Ví dụ 3 Chứng minh rằng: cos 2 2,

2

e  x  x   x

Giải Xét hàm số ( ) cos 2 2,

2

f x e  x  x x 

f x e  x x  f x e  x    x

'( )

f x

 là hàm số đồng biến và f x '( ) 0 có tối đa một nghiệm Kiểm tra thấy 0

x  là nghiệm duy nhất của f x '( ) 0

Bảng biến thiên:

2

Ví dụ 4 Cho số thực dương x Chứng minh rằng: 1 2

2

e   x

Giải:

e   x  e   x 

Xét hàm số:  

2 1 2

f x e   x trên khoảng 0; 

Ta có:

  x 1,   x 1 0, 0; 

f x e  x f x e    x 

Suy ra f x  đồng biến trên khoảng 0;   f x  f 0    0, x 0; 

 

f x

 đồng biến trên khoảng 0; , do đó f x   f  0    0, x 0; 

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Nhận xét: Thông thường học sinh chỉ đạo hàm đến cấp 1 do đó khi giải bài toán

này sẽ rất lúng túng Và vì thế mà học sinh lầm tưởng rằng bài toán trên là rất khó Tuy nhiên nếu học sinh mà tinh ý, biết đạo hàm tiếp đến cấp 2 thì bài toán trên lại được giải một cách rất nhẹ nhàng mà không cần phải đao to, búa lớn gì cả

Ví dụ 5 Cho x, y,z  0;2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :  

A= 2(x + y + z) - (xy + yz + zx)

Giải.

Ta có nhận xét sau:

+) Cố định y,z thì A chỉ phụ thuộc vào một biến x

+) Biểu thức A có thể viết lại như sau :

A= f(x)= (2 - y - z)x + 2(y + z) - yz

+) Hàm số y = f(x)là hàm hằng hoặc hàm số bậc nhất theo biến x và

x  0;2

f(0)= 4 - yz4, do y,z0;2

f(2)= 2 y + z - yz = 4 - 2 - y 2 - z      4, do y,z0;2

Suy ra Max f(x)= max f(0); f(2)0;2   4

Ta nhận thấy khi x=0, y=0, z=2 thì A=4

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 2

Nhận xét: Như vậy kỹ thuật khảo sát trực tiếp theo một biến có thể áp dụng cho

một hàm nhiều biến bằng cách cố định các biến còn lại

2.3.2 Giải pháp 2: Dùng phương pháp thế để đưa về hàm số 1 biến.

Phương pháp giải

 Bước 1: Biến đổi giả thiết để tìm ra cách thế một ẩn theo ẩn còn lại

 Bước 2: Từ điều kiện của bài toán tìm miền giá trị của ẩn

 Bước 3: Lựa chọn hàm số cho phù hợp

 Bước 4: Khảo sát hàm số theo biến, sau đó suy ra kết quả bài toán

Chú ý: Kỹ thuật này thường áp dụng cho bài toán có 2 biến số và giả thiết cho bằng một đẳng thức.

Ví dụ 6 Cho x y, là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 4(x y ) 5 0  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 1

4

S

 

Phân tích: Dễ dàng nhận thấy từ giả thiết ta có thể rút một ẩn theo ẩn còn lại,

khi đó biểu thức S chỉ phụ thuộc vào 1 ẩn và ta có thể khảo sát hàm só theo ẩn này

 với 0 5

4

x

 

Đặt ( ) 20 15

(5 4 )

x

f x





 với 0 5

4

x

 

3 (5 4 )

 Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT  minS = 5 đạt được khi x1,y 4

Nhận xét. Đây là một bài toán giải bằng phương pháp hàm số rất hay vì ta có thể đưa về hàm số một biến bằng phương pháp thế.

Ví dụ 7 Đề thi tuyển sinh Đại học khối D – năm 2009

Cho x, y 0 và x + y = 1.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

S = 4x + 3y 4y + 3x + 25xy

Giải Từ x + y = 1 y = 1 - x

Suy ra : S = 16x - 32x +18x - 2x +12 4 3 2

Xét hàm số: f(x)= 16x - 32x +18x - 2x +12 với 4 3 2 x  0;1 

f'(x)= 64x - 96x + 36x - 2 3 2

1

x = 2

2 + 3 f'(x)= 0 x =

4

2 - 3

x =

4









 









Từ đó suy ra được :

191

MinS

16



2 - 3

x =

4

2 + 3

y =

4













2 + 3

x =

4

2 - 3

y =

4











 25

MaxS

2

 x = y = 1

2

khi

Nhận xét: Qua ví dụ trên ta thấy được sử dụng phương pháp hàm số sẽ cho ta

một lời giải ngắn gọn hơn rất nhiều so với phương pháp truyền thống

Ví dụ 8. Cho các số thực x, y thỏa mãn 2

0

12

y







  

 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P xy x   2y 17

Giải.

Theo giả thiết, ta có y x 2  x 12 0   x  [ 4;3]. Khi đó, P x 3  3x2  9x 7,

'( ) 3 6 9 '( ) 0

1

x

x







Từ đó suy ra max

min

3; 6 20

3; 0

P



Ví dụ 9 Chứng minh rằng với 4 4 1

1 thì

8

x y  x  y 

Giải Từ x y  1 y  1 x nên x4 y4 x4 1 x4

Xét hàm số: f x  x4 1 x4 '  4 3 4 1 3; '  0 1

2

Bảng biến thiên:

Từ đó suy ra:   1

8

f x    x

Dấu “=” xảy ra khi 1

2

x y 

2.3.3 Giải pháp 3: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hàm số 1 biến.

Phương pháp giải:

 Bước 1: Biến đổi bài toán để tìm ra cách đặt ẩn phụ

 Bước 2: Từ điều kiện của bài toán tìm miền giá trị của ẩn phụ

 Bước 3: Lựa chọn hàm số cho phù hợp

 Bước 4: Khảo sát hàm số theo biến mới, sau đó suy ra kết quả bài toán

Chú ý: Giải pháp này thường áp dụng cho những bài toán có nhiều ẩn, đây là phương pháp chính để giải các bài toán tìm GTLN, GTNN trong đề thi THPTQG hiện nay

Ví dụ 10 Cho x y, là những số thực không âm thỏa mãn x2  xy y 2  3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A x y 2  1 xy1  x y 2

Phân tích: Ta có thể biến đổi

A x y  xy x y xy   xy x y  A x y  xy

nên giúp ta liên tưởng đến ẩn mới txy

Giải:

Từ giả thiết ta có: 2 2

3 x  xy y xy Do đó: 0 xy 3 Mặt khác: A x 2y2 xy x y xy 2  2   3 xy x y   A 32x y2 23  xy

Đặt t xy t , 0;3 Khi đó A 32 t23  t

Xét hàm số:   2   

3 , 0;3

f t t  t t Ta có:   32 6 ,   0 0

2

t

t





 Bảng biến thiên:

x 0 2 3

 

f x 0 + 0

- 

f x

4

0 0

Từ bảng biến thiên       

0;3

Do đó maxA 5 khi x 2 và y 1

Nhận xét: Như vậy nếu bằng biến đổi đại số mà có thể đưa về cùng một biến mới thì ta lựa chọn hàm số với biến mới đó Vấn đề quan trọng tiếp theo là tìm điều kiện chính xác của biến.

Ta thử vận dụng kỹ thuật trên với ví dụ sau:

Ví dụ 11 Cho x y, là hai số thực thỏa mãn: x2 y2  2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  3 3

P x y  xy

Phân tích: Tương tự ví dụ 10 ta có biến đổi P 2x y  2  xy 3xy nên dẫn tới lựa chọn một trong hai ẩn mới là txy hoặc t x y Căn cứ giả thiết bài toán ta

có thể biểu diễn ( )2 2

2

x y

xy   nên ta lựa chọn ẩn là t x y

Giải:

2

2

x y

x y x  xy y   xy xy  

x y 2  2x2y2 x y 2    4 2  x y 2

Ta có: P 2x y  2  xy 3xy

Đặt t x y    2  t 2

Khi đó

P t     t  t  t

Xét hàm số:   3 3 2  

6 3, 2; 2 2

f t t  t  t t 

Ta có: f t   3t2  3t 6,   t  2;2; f t    0 t 1 hoặc t 2 (loại)

Có:  2 7;  1 13;  2 1

2

Vậy:

2;2

13

2

t

 

   khi  ;  1 3 1; 3 , 1 3 1; 3

x y         

min min 2;2    2 7

t

 

    khi x y   ;   1; 1

Nhận xét: Trên đây là kỹ thuật biến đổi để đưa biểu thức về theo một biến Đôi

khi trong nhiều bài chúng ta còn phải dùng các bất đẳng thức để đưa về một biểu thức trung gian, sau đó mới biến đổi đề đưa về một biến:

Ví dụ 12 Cho a b , 0 và a b  1 Chứng minh rằng: a b 1 1 5

a b

   