Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng hàm số chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 5 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 SỬ DỤNG HÀM SỐ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 5

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 SỬ DỤNG HÀM SỐ

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA BIỂU THỨC CHỨA NHIỀU BIẾN

Người thực hiện: Phạm Khắc Quảng Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực : Toán học

1 Mở đầu……… 1

1.1 Lí do chọn đề tài………1

1.2 Mục đích nghiên cứu……….2

1.3 Đối tượng nghiên cứu………2

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……… 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm……… 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm… 4 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề……… 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường……… 17

3 Kết luận, kiến nghị……… 18

3.1 Kết luận………18

3.2 Kiến nghị……… 18

Tài liệu tham khảo……… 20

Danh mục chữ cái viết tắt

Ký hiệu viết tắt Ý nghĩa

1 Mở đầu 1.1.Lí do chon đề tài

Sự phát triển kinh tế - xã hội trong bối cảnh toàn cầu hoá đặt ra nhiều yêucầu mới đối với người lao động, do đó cũng đặt ra nhiều yêu cầu mới cho sựnghiệp giáo dục thế hệ trẻ và đào tạo nguồn nhân lực Giáo dục cần đào tạo độingũ nhân lực đáp ứng những đòi hỏi mới của xã hội Đổi mới phương pháp dạyhọc (PPDH) là một trong những nhiệm vụ quan trọng của cải cách giáo dục nóichung cũng như cải cách cấp trung học phổ thông Mục tiêu chương trình dạyhọc mới đòi hỏi việc cải tiến PPDH và sữ dụng PPDH mới Trong một số nămgần đây các trường THPT đã có những cố gắng trong việc đổi mới PPDH và đãđạt được những tiến bộ trong việc phát huy tính tích cực của học sinh Để thựchiện có hiệu quả việc đổi mới PPDH ở trường THPT thì việc tìm ra những sángkiến, đúc kết trong quá trình dạy học là khâu rất quan trọng

Nghị quyết 29 của Ban chấp hành Trung ương Đảng lần thứ 8 (khóa XI) đãnêu rõ yêu cầu đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục Việt Nam Trong đó,việc đổi mới giáo dục phổ thông được xem là khâu đột phá Nội dung trọng tâmcủa việc đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục phổ thông là sự phát triển năng lựccủa người học, từ đó nâng cao chất lượng của nguồn nhân lực trong chiến lượcphát triển đất nước Đây cũng chính là vấn đề đặt ra đối với việc đổi mới dạyhọc môn Toán

Trong quá trình giảng dạy tại tổ Toán trường THPT Triệu sơn 5 tôi được nhàtrường tin tưởng giao cho dạy lớp mũi nhọn đối tượng chủ yếu là các học sinhkhá, giỏi Chính vì vậy ngoài việc giúp các em nắm chắc các kiến thức cơ bảnTôi còn phải bồi dưỡng các em tham gia các kỳ thi học sinh giỏi cấp Tỉnh và ônthi cho các em thi vào các trường Đại học.Trong các nội dung thi học sinh giỏicũng như trong đề thi Đại học phần bất đẳng thức đóng vai trò hết sức quantrọng Từ thực tiễn giảng dạy, tôi đã tổng hợp khai thác thành chuyên đề:

Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng hàm số chứng minh bất đẳng thức

và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến"

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Học sinh có học lực từ khá trở lên của lớp 12 trường THPT Triệu sơn 5

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Hệ thống các kiến thức cơ bản về lý thuyết

Phân dạng bài tập và giải các ví dụ minh họa

Hệ thống các bài tập tương tự

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2 1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Cơ sở giải quyết bài toán bằng phương pháp hàm số

Khi giải quyết bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN - GTNN củamột biểu thức chứa nhiều biến bằng phương pháp hàm số, thường có bốn cáchtiếp cận:

Cách thứ nhất: Đưa bài toán nhiều biến về bài toán một biến bằng cách

đặt ẩn phụ t = h (x,y,z ) và khảo sát hàm số tương ứng liên quan

Cách thứ hai: Sử dụng kĩ thuật đồng bậc đưa về xét hàm số.

Cách thứ ba: Đưa dần về một biến

Cách thứ tư: Xem một biến là x, y hoặc z

Trong bốn cách tiếp cận trên việc xác định hàm số với một biến số nào đóđược khảo sát trên một tập cụ thể là tối quan trọng

Ngoài ra, việc phân chia bài toán thành các cách nêu trên còn giúp ta cónhiều cách tiếp cận khác nhau với cùng một bài toán, đồng thời có thể biết đượcbài toán đó có thể giải được bằng phương pháp hàm số hay không, cũng như tạo

sự thuận lợi trong phát triển tư duy hàm cho học sinh đặc biệt là học sinh khágiỏi

2.1.2 Các đơn vị kiến thức liên quan

i) Hàm số f(x) đồng biến trên D nếu f x '( ) 0  x D ( f x '( ) 0chỉ tại một sốhữu hạn điểm trên D)

ii) Hàm số f(x) nghịch biến trên D nếu f x '( ) 0  x D ( f x '( ) 0chỉ tại một

số hữu hạn điểm trên D)

iii) Các bất đẳng thức cơ bản : Bất đẳng thức Cauchy cho 2, 3 số không âm: +) “ Cho a b , 0 ta có :

iiii) GTLN - GTNN của hàm số trên một tập:

2 2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Hàm số và ứng dụng của hàm số cũng như chứng minh bất đẳng thức, tìmGTLN - GTNN của một biểu thức là những nội dung quan trọng của chươngtrình Toán THPT, vì đây là phần thể hiện rõ việc rèn luyện khả năng tư duylogic của học sinh khi thực hiện giải quyết bài toán

Việc giải bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN - GTNN của mộtbiểu thức bằng phương pháp hàm số giúp cho học sinh rèn luyện kỹ năng phântích bài toán, đảm bảo phát triển tối đa khả năng tư duy sáng tạo của học sinh,giúp học sinh hình thành kỹ năng làm việc tập thể, khả năng tư duy logic, kỹnăng xem xét một vấn đề dưới các góc độ khác nhau, v,v Tuy nhiên, do đặcthù của bộ môn Toán, tính trừu tượng của khái niệm hàm số, tính phức tạp củabất đẳng thức cũng như biểu thức chứa nhiều biến, niềm đam mê của học sinh,

mà việc áp dụng để giải các bài toán bằng phương pháp hàm số gặp nhiều khókhăn Có thể kể ra một số khó khăn khi thực hiện giảng dạy phần này như sau:

+ Khả năng phân tích và nhìn nhận bài toán dưới dạng tổng quát củahọc sinh gặp nhiều hạn chế do năng lực, hiểu biết và tư duy của học sinh

+ Việc lựa chọn cách tiếp cận bài toán không có chuẩn nhất định,thường phụ thuộc vào chủ quan của giáo viên khi hướng dẫn học sinh, do đó sẽ

có nhiều cách tiếp cận khác nhau đối với cùng một bài toán, dẫn tới sự khôngnhất quán

+ Sự đa dạng của các bài toán, dẫn đến sự khó khăn khi thực hiện, đòihỏi học sinh phải có khả năng tư duy và phân tích vấn đề tốt mới có thể giảiđược

+ Sức ỳ của học sinh khi gặp các vấn đề khó : Tâm lí ngại làm, ngại suynghĩ động não

2 3 Giải pháp và tổ chức thực hiện

2 3.1 Các bước thực hiện : Để giải quyết các khó khăn còn tồn tại ở trên,

đồng thời vẫn đảm bảo tính liên tục và nhất quán trong quá trình tiếp thu kiếnthức của học sinh theo mạch kiến thức của PPCT môn Toán, việc tiến hành giảiquyết bài toán được tiến hành theo trình tự sau đây :

B 1 Phân tích bài toán, lựa chọn cách tiếp cận theo thứ tự ưu tiên :

Kĩ thuật đồng bậc => Xem một biến là x, y hoặc z => Đưa dần về một

biến => Đặt ẩn phụ t = h (x, y, z )

Cần lưu ý nếu đặt ẩn phụ t = h (x, y, z ) thì phải tìm điều kiện chính xác cho ẩn phụ t

B 2 Xác định hàm số cần khảo sát và tập khảo sát D của nó Sau đó khảo

sát sự biến thiên và tìm GTLN - GTNN của hàm số trên D

B 3 Căn cứ vào kết quả khi khảo sát hàm số để kết luận bài toán.

Ví dụ 2 : Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn ab a b   3

3 3

1 4

1 4 4

4

t t

c b a

c b a

a t

Suy ra, f( t) 254 Dấu “=” xảy ra khi t 51

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là 254 khi 2a b c.

Ví dụ 4 (Đề thi ĐH khối B năm 2010) :

t 0 1

5 1f’(t) - 0 +f(t

)

4

25

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b c   1 Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức : M  3(a b2 2 b c2 2 c a2 2 ) 3(  ab bc ca  ) 2  a2 b2 c2

bộ số :(1;0;0), (0;1;0),(0;0;1).Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 2

Ví dụ 5 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

c b a

abc bc

ab b

a P

0

0

1 2

 

Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN của P bằng 14

Ví dụ 7: Cho các số thực x, y, z không âm thoả mãn zxy;xyyzzx 0

Do đó

6

1;2

( ) 3

Ví dụ 3: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện :xy y 1.

2 6( ) 3

x y x y P

Ví dụ 4: Cho hai số thực x,y thay đổi thỏa mãn : x2 y2  1

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

f t   t t  ,

2 2

2

12 2

0 + 0

-f(t)

2 3

-6 2

Hay : 5 xyz 2(xy yz zx  ) Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1

Ví dụ 3: Cho các số thực x,y,z nằm trong đoạn 1; 2 CMR:x3 y3 z3  5xyz

Hướng dẫn: Đặt f x y z( , , ) x3 y3 z3  5xyz

Ta chứng minh f x y z( , , ) 0  x y z, , 1; 2

Không mất tính tổng quát giả sử 1    z y x 2

t 0 1 2f'(t

)

- 0 +

f(t)

 13

0

Chú ý : Khi đưa biểu thức 3 biến về 2 biến hay 1 biến thường xét hiệu biểu

thức của bất đẳng và biểu thức đó với x (hoặc y hoặc z) thay bởi trung bình nhân hoặc trung bình cộng.

Dạng 2: Đánh giá một biến qua các biến còn lại bằng sử dụng các bất đẳng thức cơ bản hoặc qua min - max của các biến.

Ví dụ 1: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn các điều kiện : x y z   0 và

Do đó : x2 y2 z2 xyz 4 dấu bằng xảy ra khi x  y z 1

Ví dụ 3: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi = 3

f(a) 7

Vậy f a( ) 7   a 0;1  P 7

Hay 3(a2 b2 c2 ) 4  abc 13 dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1

2.3.2.4 Xem một biến là x hoặc y hoăc z.

Ví dụ 1: (Tạp chí toán học tuổi trẻ ) Cho các số thực : x y z , , 0 Chứng minhrằng :

Nên f x'( ) f y'( ) z y z2  3 z y z2 (  ) 0  vậy f(x) là hàm số đồng biến

Ta có : f x( ) f y( ) z4  2z y y z3  2 2 z z y2 (  ) 2  0 => điều phải chứng minh

Ví dụ 2 : Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

Bài 3 : Chứng minh BĐT Cauchy bằng phương pháp đưa dần về một biến :

Cho x,y,z là các số thực không âm CMR : x3 y3 z3  3xyz

Bài 4: (BĐT Nesbit) Cho x,y,z là các số dương

CMR : y z x  z x y  x y z 32

Bài 5 : Cho x, y, z là các số dương CMR : xyz 2(x2 y2 z2 ) 8 5(   x y z  )

Bài 6: Cho y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện: x2 y2  1

x xy P

Bài 8: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: abc 1

1 )

1 (

1 )

1 (

1

c b

8 3

Bài 9: (Tạp chí toán học tuổi trẻ ) Cho a, b, c là các số thực dương Tìm

- Đảm bảo tính hệ thống của môn học theo đúng PPCT, đồng thời đáp ứngđược yêu cầu của môn Toán

- Thuận lợi trong việc dạy học phân hóa đối với các nhóm đối tượng họcsinh khác nhau, đảm bảo phát triển tối đa khả năng tư duy sáng tạo của học sinhthông qua môn học và các bài toán cụ thể

Đối với HS, cách giải quyết này có thể giúp các em tận dụng tối đa các bàitoán đã được học hoặc những kết quả từ các bạn khác, kết quả từ các sách, cáctài liệu tham khảo khác

So sánh kết quả học tập của các em trong hai năm học vừa qua ở các lớp có

và không sử dụng kỹ thuật trên, tôi nhận thấy rằng ở các lớp có áp dụng kỹ thuậtphân tích bài toán như trên vào giảng dạy thì khả năng tiếp cận và giải quyết bàitoán của các em là tốt hơn so với các lớp còn lại Tuy đây không phải là tiêu chíduy nhất để đánh giá năng lực học tập của các em, nhưng nhìn chung các em

tiếp thu và phát triển tư duy tốt hơn khi được tiếp cận theo kỹ thuật phân tích bài

toán mà tôi đã trình bày Từ đó cho thấy dấu hiệu khả quan của việc áp dụng kỹ

thuật phân tích bài toán ở trên trong việc giảng dạy cho các em, đồng thời hứa

hẹn tính khả thi của cách tiếp cận bài toán theo hướng này

Kết quả cụ thể như sau :

a Kết quả khảo sát ở lớp chưa áp dụng

Việc áp dụng SKKN này trong giảng dạy môn toán ở Trường THPT Triệu

sơn 5 đã cho những kết quả khả quan trong việc tạo cho học sinh niềm say mê

môn học và khả năng tư duy lô-gic, khả năng phân tích vấn đề

3.2 Kiến nghị

Tuy nhiên, do đặc thù của môn học và hạn chế của bản thân, việc áp dụng

kỹ thuật này trong giảng dạy Toán vẫn còn tồn tại nhiều thiếu sót, nhất là khi

triển khai giảng dạy cho các nhóm học sinh có năng lực học tập từ mức trung

bình trở xuống, vì các em rất hạn chế trong khả năng tư duy trừu tượng và phân

tích vấn đề Rất mong được sự đóng góp của đồng nghiệp và các nhà quản lí

giáo dục để tôi tiếp tục hoàn thiện SKKN này và áp dụng vào thực tế một cách

hiệu quả hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Triệu sơn, ngày 24 tháng 05 năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình

viết, không sao chép nội dung của người khác.

Người viết sáng kiến

Phạm Khắc Quảng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] SGK, sách giáo viên và sách bài tập giải tích 12, NXB GD.

[2].Tạp chí Toán học và tuổi trẻ

[3].Các đề thi tuyển sinh đại học,cao đẳng môn toán của Bộ GD.

DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ

Họ và tên tác giả: Phạm Khắc Quảng.

Chức vụ và đơn vị công tác:Trường THPT Triệu Sơn 5

TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại(Ngành GD cấp huyện/tỉnh;

Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

phụ bài toán khảo sát

Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ khi tác giả được tuyển dụng vàoNgành cho đến thời điểm hiện tại