Tính artin và noether của môdun đối đồng điều địa phương

Tính artin và noether của môdun đối đồng điều địa phương

TÍNH ARTIN VÀ NOETHER CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG

ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

Lớp K35, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh

Tp Hồ Chí Minh, 21/05/2013

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Lời nói đầu

Môđun đối đồng điều địa phương là một trong những công cụ quan trọng

việc nghiên cứu Đại số giao hoán Trong luận văn này chúng ta sẽ nghiên

cứu một số vấn đề sau đây

Xây dựng môđun đối đồng điều địa phương thông qua hàm tử xoắn.Trình bày tính chất Artin và Noether của môđun đối đồng điều địaphương

Luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1 Một số kiến thức liên quan

Chương 2 Các hàm tử đối đồng điều địa phương

Chương 3 Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địaphương

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Lời nói đầu

Môđun đối đồng điều địa phương là một trong những công cụ quan trọng

việc nghiên cứu Đại số giao hoán Trong luận văn này chúng ta sẽ nghiên

cứu một số vấn đề sau đây

Xây dựng môđun đối đồng điều địa phương thông qua hàm tử xoắn

Trình bày tính chất Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa

phương

Luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1 Một số kiến thức liên quan

Chương 2 Các hàm tử đối đồng điều địa phương

Chương 3 Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địaphương

Lời nói đầu

Môđun đối đồng điều địa phương là một trong những công cụ quan trọngviệc nghiên cứu Đại số giao hoán Trong luận văn này chúng ta sẽ nghiêncứu một số vấn đề sau đây

Xây dựng môđun đối đồng điều địa phương thông qua hàm tử xoắn.Trình bày tính chất Artin và Noether của môđun đối đồng điều địaphương

Luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1 Một số kiến thức liên quan

Chương 2 Các hàm tử đối đồng điều địa phương

Chương 3 Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa

phương

Hàm tử xoắn

Định nghĩa

Cho f : M −→ N là một R - đồng cấu khi đó ta có đồng cấu cảm sinh:

ΓI(f ) : ΓI(M) −→ ΓI(N)Khi đó ta có:

chính nó

Dãy 0 //ΓI(L) Γ I (f ) //ΓI(M) Γ I (g ) //ΓI(N) là khớp.

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Môđun đối đồng điều địa phương

Cho M là R - môđun, ta sẽ tính môđun đối đồng điều địa phương như sau:

• Xây dựng một phép giải nội xạ của M:

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Môđun đối đồng điều địa phương

Cho M là R - môđun, ta sẽ tính môđun đối đồng điều địa phương như sau:

• Xây dựng một phép giải nội xạ của M:

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Môđun đối đồng điều địa phương

Cho M là R - môđun, ta sẽ tính môđun đối đồng điều địa phương như sau:

• Xây dựng một phép giải nội xạ của M:

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Môđun đối đồng điều địa phương

Cho M là R - môđun, ta sẽ tính môđun đối đồng điều địa phương như sau:

• Xây dựng một phép giải nội xạ của M:

Môđun đối đồng điều địa phương

Cho M là R - môđun, ta sẽ tính môđun đối đồng điều địa phương như sau:

• Xây dựng một phép giải nội xạ của M:

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

• Vậy khi tính Hi

• Nếu M hữu hạn sinh nữa thì tồn tại phần tử r thuộc I và M sao cho rkhông là ước của không

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

• Nếu M hữu hạn sinh nữa thì tồn tại phần tử r thuộc I và M sao cho rkhông là ước của không

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

chứa một phần tử không là ước của 0 đối với M

• Vậy khi tính Hi

• Nếu M hữu hạn sinh nữa thì tồn tại phần tử r thuộc I và M sao cho rkhông là ước của không

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

chứa một phần tử không là ước của 0 đối với M

• Vậy khi tính Hi

• Nếu M hữu hạn sinh nữa thì tồn tại phần tử r thuộc I và M sao cho rkhông là ước của không

• Vậy khi tính Hi

• Nếu M hữu hạn sinh nữa thì tồn tại phần tử r thuộc I và M sao cho rkhông là ước của không

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Giả sử (R, m) là vành địa phương, M là R -môđun hữu hạn sinh Khi đó R

Định lí 3.1.3

Giả sử (R, m) là vành địa phương,M là môđun hữu hạn sinh có số chiều là

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Giả sử (R, m) là vành địa phương, M là R -môđun hữu hạn sinh Khi đó R

Định lí 3.1.3

Giả sử (R, m) là vành địa phương,M là môđun hữu hạn sinh có số chiều là

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Giả sử (R, m) là vành địa phương, M là R -môđun hữu hạn sinh Khi đó R

Định lí 3.1.3

Giả sử (R, m) là vành địa phương,M là môđun hữu hạn sinh có số chiều là

Giả sử (R, m) là vành địa phương, M là R -môđun hữu hạn sinh Khi đó R

Định lí 3.1.3

Giả sử (R, m) là vành địa phương,M là môđun hữu hạn sinh có số chiều là

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Định lí

Giả sử (R, m) là vành địa phương, M là R - môđun hữu hạn sinh Khi đó

Hướng chứng minh: Phương pháp quy nạp và dùng định lý 3.1.1

• Chứng minh mệnh đề đúng với n = 0

• Giả sử M là m - xoắn tự do + M hữu hạn sinh

=⇒ tồn tại r ∈ M và r ∈ m thỏa r không là ước của không

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Định lí

Giả sử (R, m) là vành địa phương, M là R - môđun hữu hạn sinh Khi đó

Hướng chứng minh: Phương pháp quy nạp và dùng định lý 3.1.1

• Chứng minh mệnh đề đúng với n = 0

• Giả sử M là m - xoắn tự do + M hữu hạn sinh

=⇒ tồn tại r ∈ M và r ∈ m thỏa r không là ước của không

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Định lí

Giả sử (R, m) là vành địa phương, M là R - môđun hữu hạn sinh Khi đó

Hướng chứng minh: Phương pháp quy nạp và dùng định lý 3.1.1

• Chứng minh mệnh đề đúng với n = 0

• Giả sử M là m - xoắn tự do + M hữu hạn sinh

=⇒ tồn tại r ∈ M và r ∈ m thỏa r không là ước của không

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Định lí

Giả sử (R, m) là vành địa phương, M là R - môđun hữu hạn sinh Khi đó

Hướng chứng minh: Phương pháp quy nạp và dùng định lý 3.1.1

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Định lí

Giả sử (R, m) là vành địa phương, M là R - môđun hữu hạn sinh Khi đó

Hướng chứng minh: Phương pháp quy nạp và dùng định lý 3.1.1

• Chứng minh mệnh đề đúng với n = 0

• Giả sử M là m - xoắn tự do + M hữu hạn sinh

=⇒ tồn tại r ∈ M và r ∈ m thỏa r không là ước của không

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Định lí

Giả sử (R, m) là vành địa phương, M là R - môđun hữu hạn sinh Khi đó

Hướng chứng minh: Phương pháp quy nạp và dùng định lý 3.1.1

• Chứng minh mệnh đề đúng với n = 0

• Giả sử M là m - xoắn tự do + M hữu hạn sinh

=⇒ tồn tại r ∈ M và r ∈ m thỏa r không là ước của không

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Định lí

Giả sử (R, m) là vành địa phương, M là R - môđun hữu hạn sinh Khi đó

Hướng chứng minh: Phương pháp quy nạp và dùng định lý 3.1.1

• Chứng minh mệnh đề đúng với n = 0

• Giả sử M là m - xoắn tự do + M hữu hạn sinh

=⇒ tồn tại r ∈ M và r ∈ m thỏa r không là ước của không

Định lí

Giả sử (R, m) là vành địa phương, M là R - môđun hữu hạn sinh Khi đó

Hướng chứng minh: Phương pháp quy nạp và dùng định lý 3.1.1

• Chứng minh mệnh đề đúng với n = 0

• Giả sử M là m - xoắn tự do + M hữu hạn sinh

=⇒ tồn tại r ∈ M và r ∈ m thỏa r không là ước của không

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Định lí 3.1.1

Artin

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Tính Noether

Định lí 3.2.1

Cho M là R - môđun hữu hạn sinh và cho số tự nhiên t Khi đó các mệnh

đề sau tương đương

i) HIi(M) là môđun Noether với mọi i<t

ii) I ⊂

q(0 : HIi(M)) mọi i<t

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Kết luận

Luận văn trên đã trình bày các điều kiện để một môđun đối đồng điều địa

phương là môđun Artin hay Noether Kết quả khác mở rộng điều kiện để

môđun đối đồng điều địa phương là môđun Artin

Định lí

Giả sử M là môđun hữu hạn sinh có số chiều là n Chứng minh rằng R

Kết luận

Luận văn trên đã trình bày các điều kiện để một môđun đối đồng điều địaphương là môđun Artin hay Noether Kết quả khác mở rộng điều kiện đểmôđun đối đồng điều địa phương là môđun Artin

Định lí

Giả sử M là môđun hữu hạn sinh có số chiều là n Chứng minh rằng R

Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương Tính Artin và Noether của môđun đối đồng điều địa phương Kết luận

Kết luận

Các kết quả mở rộng

Bài toán 1

Cho R/I là vành Artin, M là R môđun hữu hạn sinh Chứng minh R

Bài toán 2

Cho m là idean tối đại của của vành R, q là idean m - nguyên sơ, M là R

mọi i ∈ N

Kết luận

Các kết quả mở rộng

Bài toán 1

Cho R/I là vành Artin, M là R môđun hữu hạn sinh Chứng minh R

Bài toán 2

Cho m là idean tối đại của của vành R, q là idean m - nguyên sơ, M là R

mọi i ∈ N

THANK YOU FOR YOUR LISTENING!