Sự phân bố số nguyên tố

Vì vậy, người ta ra sức nghiên cứu qui luật của các số nguyên tố; cho đến nay, các số nguyên tố được phân bố như thế nào trong tự nhiên từ lâu luôn là câu hỏi dành được nhiều sự quan tâm

Trang 1

GVHD: Đỗ Văn Kiên SVTH: Dương Mỹ Ngọc

Trang 2

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này em nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của thầy giáo Th.S Đỗ Văn Kiên, nhận được những ý kiến quý báu của thầy cô khoa Toán, nhận được sự quan tâm, động viên, khích lệ của gia đình và các bạn sinh viên K36A Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu

sắc đối với thầy giáo Th.S Đỗ Văn Kiên _ người đã tận tình hướng dẫn

em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành khóa luận này, em xin chân thành cảm ơn gia đình, các thầy cô và các bạn

Tuy nhiên, với khoảng thời gian không nhiều và năng lực, trình độ của bản thân còn hạn chế nên những vấn đề mà em trình bày trong khóa luận này sẽ không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Dương Mỹ Ngọc

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Sự phân bố số nguyên tố”

em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận của

mình Danh sách tài liệu tham khảo em đã đưa vào mục tài liệu tham

khảo của khóa luận

Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành bởi sự cố gắng, nỗ

lực của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo

Th.s Đỗ Văn Kiên cũng như các thầy cô trong tổ Đại số Đây là đề tài

không trùng với đề tài của các tác giả khác

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các

bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Dương Mỹ Ngọc

Trang 4

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 5

CHƯƠNG 1 SỐ NGUYÊN TỐ 7

1.1 Số nguyên tố và một số tính chất 7

1.2 Định lý cơ bản của số học 11

1.3 Một số ứng dụng của định lý cơ bản 13

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ HÀM SỐ HỌC 16

2.1 Định nghĩa hàm số học 16

2.2 Một số tính chất của hàm số học 16

2.3 Một số hàm số học 20

CHƯƠNG 3 SỰ PHÂN BỐ CÁC SỐ NGUYÊN TỐ 23

3.1 Công thức tổng Abel 24

3.2 Các hàm Chebyshev 25

3.3 Hàm Zeta của Riemann 31

3.4 Định lý Mertens 36

3.5 Định lý số nguyên tố 39

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

Trang 5

GVHD: Đỗ Văn Kiên SVTH: Dương Mỹ Ngọc 5

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Số nguyên tố có vị trí rất quan trọng trong tập số tự nhiên, là một nội dung quan trọng của Lý thuyết số Các số nguyên tố từ lâu đã thu hút các nhà toán học chuyên nghiệp cũng như nghiệp dư Nếu đưa các số nguyên tố đã tìm được xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thì thấy chúng phân bố không theo quy luật nào cả Số nguyên tố giống như đứa trẻ tinh nghịch: trốn phía đông, nấp phía tây Chẳng hạn các số 7, 17, 37, 47, 67, 107,… là các số nguyên tố nhưng 27, 57, 77, 87, 97,… lại là hợp số Hoặc các số có 2 chữ số 1, 19 chữ số 1, 23 chữ số 1, 317 chữ số 1, …là những số nguyên tố nhưng những số có 8 chữ số 1, 11 chữ số 1, 13 chữ

số 1, 17 chữ số 1,… lại là hợp số Vì vậy, người ta ra sức nghiên cứu qui luật của các số nguyên tố; cho đến nay, các số nguyên tố được phân bố như thế nào trong tự nhiên từ lâu luôn là câu hỏi dành được nhiều sự quan tâm Kết quả sớm nhất là định lý cổ điển được giới thiệu bởi Euclid

về sự vô hạn của các số nguyên tố và được xem như là một trong những định lý đẹp nhất của Toán học Tuy nhiên, thời gian này vấn đề số nguyên tố được phân bố theo quy luật nào trong toàn bộ dãy số tự nhiên, mức độ đều đặn và thường xuyên thế nào vẫn chưa được trả lời, mặc dù nhiều nhà toán học vĩ đại của thế giới kể cả Euler và Gauss đều đã nghiên cứu Người đặt cơ sở vững chắc cho một lý thuyết chặt chẽ về phân bố số nguyên tố là Chebyshev Năm 1896, định lý số nguyên tố đã được chứng minh bởi Hadamard và Dela Vallee Poussin bằng cách sử dụng phương pháp giải tích phức Năm 1949, Selberg đã chứng minh được định lý số nguyên tố bằng phương pháp sơ cấp, không sử dụng giải tích phức Với mục đích nghiên cứu sự phân bố các số nguyên tố trong

tập số tự nhiên, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Sự phân bố số nguyên tố”

Trang 6

Luận văn được chia làm ba chương cùng với phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 1 Số nguyên tố Trình bày định nghĩa số nguyên tố,

những tính chất cơ bản của số nguyên tố và định lý cơ bản của số học

Chương 2 Một số hàm số học Nêu định nghĩa và tính chất của

hàm số học và giới thiệu một số hàm số học

Chương 3 Sự phân bố số nguyên tố Nêu định lý Chebyshev về sự

phân bố số nguyên tố, hàm Zeta của Riemann và định lý số nguyên tố

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về số nguyên tố, các bài tập về số nguyên tố, tìm hiểu

sự phân bố số nguyên tố

3 Đối tượng nghiên cứu

Số nguyên tố và sự phân bố số nguyên tố

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp

Trang 7

CHƯƠNG 1

SỐ NGUYÊN TỐ 1.1 Số nguyên tố và một số tính chất

Định nghĩa 1.1.1 Số tự nhiên lớn hơn 1, không có ước tự nhiên nào

khác ngoài 1 và chính nó được gọi là số nguyên tố

Tập hợp các số nguyên tố được kí hiệu là 

Định nghĩa 1.1.2 Số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước số tự

nhiên được gọi là hợp số

Ước của số tự nhiên khác 1 và khác chính nó được gọi là ước thực sự Ta

có thể định nghĩa số nguyên tố như sau: Số tự nhiên lớn hơn 1 được gọi

là số nguyên tố nếu nó không có ước thực sự

Chứng minh Giả sử a là một số tự nhiên, a > 1 và p > 1 là ước nhỏ

nhất của a Ta chứng minh p là số nguyên tố

Thật vậy, giả sử p không là số nguyên tố thì p phải là hợp số vì p1,

nghĩa là nó có một ước thực sự p1,1< p1< p

Suy ra p1 cũng là ước của a (mâu thuẫn với giả thiết p là ước nhỏ nhất

khác 1 của a)

Vậy p phải là số nguyên tố

Hệ quả 1.1.1(Bổ đề Euclid) Mọi số nguyên lớn hơn 1 đều chia hết cho

ít nhất một số nguyên tố

Trang 8

Chứng minh Thật vậy, nếu n là một số tự nhiên lớn hơn 1 thì tập các

ước dương của n là khác rỗng nên theo mệnh đề 1.1.1, số nhỏ nhất trong các ước đó là số nguyên tố

Mệnh đề 1.1.2 Có vô số số nguyên tố hay tập số nguyên tố là vô hạn Chứng minh Giả sử có hữu hạn số nguyên tố là p1, p2,…, p n

Đặt số a = p1 p 2 …p n + 1 > 1 Theo mệnh đề 1.1.1 thì a có ít nhất một ước nguyên tố q Nhưng vì có hữu hạn số nguyên tố kể trên nên q phải trùng với một trong các số p1, p2,…,p n Do đó q | p 1 p 2 …p n Mà q | a suy

ra q | a – p 1 p 2 …p n = 1 (vô lý).Vậy điều giả sử là sai

Do đó tập số nguyên tố là vô hạn

Nhận xét 1.1.1 Mọi số nguyên tố khác 2 đều có dạng 4 k1 hoặc

4k1 với k nguyên dương

Hệ quả 1.1.2 Có vô hạn số nguyên tố có dạng 4 k1 với k nguyên dương

Chứng minh Giả sử các số nguyên tố có dạng 4k1 là hữu hạn

q q q q Suy ra q N| 4 ,q q1 2, q n  1, điều này mâu thuẫn

Vậy các số nguyên tố có dạng 4k1 nhiều vô hạn

Hệ quả 1.1.3 Có vô hạn số nguyên tố có dạng 4 k1 với k nguyên dương

Chứng minh Gọi N là số nguyên tùy ý lớn hơn 2

Đặt  2

a  N  , a1 Theo mệnh đề 1.1.1, tồn tại ước nguyên tố p của a Vì a là số lẻ nên p2 và pN Ta có

Trang 9

Chứng minh Gọi p là ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của n Theo mệnh

đề 1.1.1, ta có p là số nguyên tố Giử sử n = pq, khi đó do n là hợp số

nên n  p, suy ra q > 1 Vậy q cũng là một ước lớn hơn 1 của n Theo

giả thiết ta có p  q  p 2 pq = n Từ đó ta được p n

Vậy định lý được chứng minh

Từ mệnh đề 1.1.3, ta có thuật toán sau đây để tìm ra các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng số n cho trước

Sàng Eratosthenes Trước tiên, ta viết dãy các số tự nhiên từ 1 đến n

Trong dãy đó gạch đi số 1, vì nó không phải là số nguyên tố Số nguyên

tố đầu tiên của dãy là 2 Tiếp theo đó ta gạch khỏi dãy số tất cả những số chia hết cho 2 Số đầu tiên không chia hết cho 2 là 3: đó chính là số nguyên tố Ta lại phải gạch khỏi dãy còn lại những số nào chia hết cho 3 Tiếp tục như thế, ta gạch khỏi dãy những số chia hết cho mọi số nguyên

Trang 10

tố bé hơn n Theo mệnh đề 1.1.3, những số còn lại của dãy là tất cả các

số nguyên tố không vượt quá n Thật vậy, các hợp số không vượt quá n, theo mệnh đề trên, đều phải có ước nguyên tố nhỏ hơn n , và do đó đã

bị gạch khỏi dãy số trong một bước nào đó của thuật toán Và chúng ta

có bảng sau đây

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

………

Hệ quả 1.1.4 Nếu số tự nhiên a > 1 không có ước nguyên tố nào trong

khoảng từ 1 đến a thì a là số nguyên tố

Chứng minh Theo mệnh đề 1.1.3, nếu a là hợp số thì phải có ước nguyên tố trong khoảng từ 1 đến a , điều này mâu thuẫn với giả thiết

Vậy a là số nguyên tố

Mệnh đề 1.1.4 Cho p là số nguyên tố Khi đó mọi số tự nhiên a thì p

chia hết a hoặc (a, p) = 1

Chứng minh Gọi d = (a , p)  d | p Mà p là số nguyên tố nên d = 1

hoặc d = p

+ Nếu d = 1 thì (a , p) = 1

+ Nếu d = p thì p | a

Vậy định lý được chứng minh

Mệnh đề 1.1.5 Cho p là số nguyên tố và a1 , a 2 ,…, a n là các số tự nhiên Khi đó nếu p chia hết a1a2…a n thì tồn tại i  {1, 2,…, n} để p chia hết ai

Trang 11

Chứng minh Nếu p không là ước của a i với mọi i1,n thì theo mệnh

đề 1.1.4 ta có a p i, 1, với mọi i1,n Suy ra (a1 a 2 …a n , p) = 1 Điều

này mâu thuẫn với giả thiết p | a 1 a 2 …a n

Vậy tồn tại i1,2, n để p chia hết ai

Hệ quả 1.1.5 Nếu số nguyên tố p chia hết tích của nhiều số nguyên tố

thì nó phải trùng với một trong các số nguyên tố đó

số tự nhiên Các ứng dụng của định lý này rất nhiều, vì vậy nó được gọi

là định lý cơ bản của số học

Định lý 1.2.1 Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được thành tích

các thừa số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến

thứ tự các thừa số

Chứng minh

 Tính phân tích được

Trước hết, mỗi số nguyên tố là tích của một thừa số, là chính nó

Giả sử có các số nguyên dương lớn hơn 1 không biểu diễn được thành

tích các số nguyên tố Khi đó, gọi n là số nhỏ nhất trong các số đó Số n này khác 1 và là hợp số Do đó, n= ab, trong đó , a b , 1< a, b < n Vì

n là số nhỏ nhất không thể phân tích thành tích các số nguyên tố nên cả a

Trang 12

và b phân tích được thành tích các số nguyên tố Nhưng khi đó n=ab lại

phân tích được Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Vậy mọi số nguyên dương lớn hơn 1 đều phân tích được thành tích những thừa số nguyên tố

 Tính duy nhất

Giả sử ta có a = p1 p2…pn = q1 q2…qm là hai dạng phân tích của số tự

nhiên a thành tích các số nguyên tố

Đẳng thức trên chứng tỏ p1 chia hết q1 q2…qm nên p1 là ước một qj nào

đó  j1,m Vì không kể đến thứ tự các thừa số nên có thể coi p1 = q 1

và ta được p2 p3…pn = q2 q3…qm Lặp lại lý luận trên với p2, p3,… cho tới

khi đã ước lượng hết các thừa số nguyên tố của một vế đẳng thức trên

Vì không thể xảy ra 1 = q n+1 …q m hay p m+1 …p n = 1 nên ta nhận được

mn và p i = q j,  i 1,n

Vậy mỗi số nguyên tố lớn hơn 1 chỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng tích các thừa số nguyên tố ( không kể đến thứ tự các thừa số)

Định nghĩa 1.2.1 Nếu trong sự phân tích thành tích các thừa số nguyên

tố của a mà các thừa số pi được lặp lại i lần Khi đó ta viết

a p p  p với p là các số nguyên tố khác nhau và i i 0 i1,k

gọi là sự phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên a

Chẳng hạn, sự phân tích tiêu chuẩn của 1992 = 23

Trang 13

1.3 Một số ứng dụng của định lý cơ bản

1.3.1 Tiêu chuẩn chia hết

Định lý 1.3.1 Cho a là một số tự nhiên với dạng phân tích tiêu chuẩn

 Trường hợp 2 Nếu d > 1, theo định lý cơ bản, đẳng thức a = dq chứng

tỏ mọi ước nguyên tố của d là ước nguyên tố của a và số mũ của ước

nguyên tố ấy trong dạng phân tích tiêu chuẩn của d không lớn hơn số mũ

của nó trong dạng phân tích tiêu chuẩn a Bởi vậy 1 2

Mệnh đề 1.3.1 Cho a và b là hai số tự nhiên khác 0 nguyên tố cùng

nhau Khi ấy số tự nhiên d là ước của tích ab khi và chỉ khi d = rs trong

đó r là ước của a, s là ước của b, với r và s nguyên tố cùng nhau

1.3.2 Tìm ƣớc chung lớn nhất (ƢCLN) – Bội chung nhỏ nhất

Trang 14

1 2

n

a b  p p  p (ii) Từ giả thiết với i1,n ta có  i  i và i  i Suy ra 1 2

Trang 15

2k 2k 1

n   với k  2 và p2k 1 là số nguyên tố Khi ấy

p,21 nên n2k1p là dạng phân tích tiêu chuẩn của n

Theo giả thiết n là số hoàn chỉnh nghĩa là  n 2n2k b

Suy ra 2k 1 b 2k b Chứng tỏ 2k  1 2 k b nhưng do ƯCLN

2k 1,2k1 Suy ra 2k  1 b, tồn tại c cb sao cho

2k 1

b  c

Ta có  b 2k c2k 1c c , suy ra  b  b c

Bây giờ ta chứng minh b là số nguyên tố và c = 1 Thật vậy, nếu b không

là số nguyên tố và c  1 thì do b > 1 phải có ít nhất là ba ước tự nhiên là

b, c và một ước khác nữa Khi đó  b  b c (vô lý)

2k 2k 1

n   với k  2 và p2k 1 là số nguyên tố

Trang 16

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ HÀM SỐ HỌC 2.1 Định nghĩa hàm số học

Định nghĩa 2.1.1 Một hàm số f xác định trên tập các số nguyên dương

với các số nguyên dương a, b nguyên tố cùng nhau

Ví dụ 2.2.1 Các hàm số học f và g xác định như dưới đây đều là các

2.2.2 Hàm số học nhân tính hoàn toàn

Định nghĩa 2.2.2 Hàm số học f khác hàm không, được gọi là một hàm

nhân tính hoàn toàn, nếu

     

f ab  f a f b

với mọi a, b nguyên dương

Định lý 2.2.1 Cho f là một hàm số học nhân tính thỏa mãn chuỗi

Trang 17

với tích vô hạn bên phải là hội tụ tuyệt đối

Hơn nữa, nếu f là hàm nhân tính hoàn toàn thì

1

11



với mọi M n nguyên dương ,

Với số dương  nhỏ tùy ý, khi đó, do M 1 p

Trang 18

với  M là các số nguyên tố không vượt quá M và

Trang 19

Trong phát biểu và chứng minh của phần này, ta giới hạn chỉ nói đến các

ước dương của n và

d n

 lấy chỉ số theo tất cả các ước dương của n

Định lý 2.2.1 (Công thức tổng trải) Nếu một số nguyên dương n có

phân tích tiêu chuẩn

1 2

1 2 s

s

n p p  pthì với mọi hàm nhân tính f ta có

Trang 20

Với mỗi số nguyên dương n, ta kí hiệu  n là số các ước nguyên dương

của n và  n là tổng các ước nguyên dương của n Khi đó dễ thấy  và

1

i

s

j i

(i)

1 1

Trang 21

(iii) Khi m1 ta có

1 1

1

i

s

j i

1

11

1

i i

s

i i

i j

Định nghĩa 2.3.1 Hàm  x là hàm số học biểu thị số các số nguyên tố

không vượt quá x

chuỗi phân kì, khi p chạy trên toàn bộ tập số nguyên tố

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh tích đã nêu lầ phân kì Với k

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	830,25 KB