Số nguyên tố và sự phân bố số nguyên tố

www.facebook.com/hocthemtoan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ YẾN

SỐ NGUYÊN TỐ VÀ SỰ PHÂN

BỐ SỐ NGUYÊN TỐ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2010

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS NÔNG QUỐC CHINH

THÁI NGUYÊN - NĂM 2010

Mục lục

1.1 Định nghĩa và các tính chất 3

1.2 Một số định lý quan trọng của số học 4

2 Sự phân bố các số nguyên tố 9 2.1 Một vài ký hiệu 10

2.2 Hàm logarit 11

2.3 Ước giá đơn giản nhất của π(x) 11

2.4 Hàm Chebyshev 15

2.5 Định lý Mertens 25

2.6 Định lý số nguyên tố và chứng minh 32

Mở đầu

Vành số nguyên Z là một vành chính mà +1 và −1 là các phần tử khảnghịch duy nhất Ta đã biết mọi số nguyên khác 0 và khác ±1 đều phântích được một cách duy nhất thành một tích các phần tử bất khả quytrong Z Một số nguyên dương bất khả quy được gọi là một số nguyên

tố Vì vậy mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được một cách duynhất thành tích các thừa số nguyên tố Vấn đề số nguyên tố là một trongnhững vấn đề trọng tâm của lý thuyết số Một câu hỏi đương nhiên đượcđặt ra là "có bao nhiêu số nguyên tố trong tập hợp số tự nhiên?" Nếuchỉ có một số hữu hạn các số nguyên tố thì vấn đề số nguyên tố sẽ trởnên rất đơn giản, và các vấn đề khác trong số học cũng trở thành đơngiản Song, ngay từ thời Euclid người ta đã biết rằng tập các số nguyên

tố là vô hạn Từ đó một loạt các câu hỏi được đặt ra Bài toán về mật

độ các số nguyên tố trong dãy số tự nhiên, bài toán tìm một biểu thứclấy giá trị là các số nguyên tố với mọi giá trị tự nhiên của biến, bài toántìm số nguyên tố thứ n, Một vấn đề lớn của lý thuyết số nguyên tố

là nghiên cứu hàm π(x), biểu thị số các số nguyên tố không vượt quá x,với x là một số thực dương

Người ta không hi vọng xác định được dễ dàng π(x) theo x Đầu tiên

A M Legendre đã chứng minh được rằng lim

x→∞

π(x)x/lnx tồn tại thì giới hạn đó chỉ có thể bằng 1, tuynhiên ông không chứng minh được sự tồn tại giới hạn trên Sau đó ông

đã định nghĩa hai hàm ϑ(x), ψ(x) và chứng minh định lý "π(x) ∼ x

lnxnếu và chỉ nếu ψ(x) ∼ x"Năm 1896, định lý số nguyên tố đã được chứngminh bởi Hadamard và Dela Vallee Poussin bằng cách sử dụng phươngpháp giải tích phức Năm 1949, Selberg đã chứng minh được định lý sốnguyên tố bằng phương pháp sơ cấp, không sử dụng giải tích phức Vớimục đích nghiên cứu sự phân bố các số nguyên tố trong tập các số tựnhiên chúng tôi đã chọn đề tài này

Nội dung của luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Số nguyên tố Trình bày định nghĩa số nguyên tố, nhữngtính chất cơ bản của số nguyên tố và một số định lý quan trọng của sốhọc

Chương 2: Sự phân bố các số nguyên tố Nêu khái niệm hàm π(x),trình bày ước giá đơn giản nhất của hàm π(x) và chứng minh định lý sốnguyên tố

Trong quá trình thực hiện luận văn của mình em đã nhận được sựhướng dẫn, giúp đỡ tận tình của PGS TS Nông Quốc Chinh, nhận đượcnhững ý kiến quý báu của các thầy cô khoa Toán - tin cùng tập thể cácbạn học viên lớp cao học K2 trường Đại học Khoa Học Em xin bày tỏlòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Nông Quốc Chinh, em xin chân thànhcảm ơn các thầy cô và các bạn Em xin chân thành cảm ơn trường THPT

Lê Hồng Phong và gia đình đã giúp đỡ, động viên em hoàn thành khoáhọc Đến nay luận văn đã được hoàn thành Tuy nhiên với khoảng thờigian không nhiều, và năng lực của bản thân có hạn nên luận văn khôngtránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được những ý kiến đónggóp của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 08 năm 2010

Nguyễn Thị Yến

Tập các số nguyên tố thường được kí hiệu là P

Tính chất 1.1 Ước tự nhiên khác 1 nhỏ nhất của một số tự nhiên làmột số nguyên tố

Tính chất 1.3 Nếu tích của nhiều số chia hết cho số nguyên tố p thì

có ít nhất một thừa số chia hết cho p

Tính chất 1.4 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và là số nguyên tố chẵn duynhất

Tính chất 1.5 Nếu n là hợp số thì n có ít nhất một ước nguyên tố

n, vì a có ước nguyên tố, giả

nguyên tố

Nếu a1 > 1 thì a1 phải có một ước nguyên tố p2, và ta có a1 = p2.a2,

do đó a = p1.p2.a2, với 1 ≤ a2 < a1 Nếu a2 = 1 thì a = p1.p2 là dạngphân tích của a thành thừa số nguyên tố, còn nếu a2 > 1 thì ta lập lại

lý luận ở trên được số nguyên tố p3, Quá trình này phải kết thúc saumột số hữu hạn lần vì ta có a > a1 > a2 > , nên tồn tại n ∈ N thoảmãn an = 1, và ta được a = p1.p2 pn

Trong sự phân tích trên thì có thể xảy ra trường hợp trong tích cónhiều thừa số nguyên tố lặp lại, gọi p1, p2, , pk là các thừa số nguyên

tố đôi một khác nhau của a, với các bội tương ứng là α1, α2, αk,

(αi > 0, i = 1, , k), thì ta được a = pα1

1 pα2

2 pαk

k , gọi là dạng phân tíchtiêu chuẩn của a

* Tính duy nhất: Ta giả sử a có hai dạng phân tích tiêu chuẩn:

1 qβ2

2 qβl

l , ∀i = 1, , k Vì các qj(j = 1, , l) là đôi

tiêu chuẩn trên đều sắp xếp các thừa số nguyên tố theo thứ tự tăng dầnthì pi = qi, ∀i

Nếu αi > βi thì ta chia cả hai phân tích trên cho pβi

Tương tự, nếu βi > αi ta dễ dàng suy ra mâu thuẫn

Vì vậy αi = βi, ∀i

Định lí 1.2 (Định lý thứ nhất của Euclid)

Nếu p nguyên tố, p|ab thì p|a hoặc p|b

Chứng minh

Giả sử p là số nguyên tố và p|ab Nếu p - a thì (a, p) = 1, do đó

∃x, y : xa + yp = 1 hay xab + ypb = b Mà p|ab và p|pb nên suy rap|b

Hệ quả 1.2 Nếu p|abc l thì p|a hoặc p|b hoặc p|l

Định lí 1.3 (Định lý thứ hai của Euclid)

Số các số nguyên tố là vô hạn

Chứng minh

* Cách 1 (Chứng minh của Euclid): Giả sử 2, 3, 5, , p là dãycác số nguyên tố không vượt quá p Đặt q = 2.3.5 p + 1, khi đó q không

chia hết cho số nào của dãy 2, 3, 5, , p Từ đó suy ra q nguyên tố hoặc

q phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố, trong đó không cóthừa số nào là 2, 3, 5, , p nên phải có một ước nguyên tố nằm trongkhoảng(p, q) hay q chia hết cho một số nguyên tố nằm trong khoảng(p, q) Từ đó suy ra luôn tồn tại số nguyên tố lớn hơn p Định lý đượcchứng minh

nguyên tố, kí hiệu là qn Nếu qn ≤ n thì qn|n! và do đó qn|(Qn− n!) = 1

tại số nguyên tố lớn hơn n nên tập các số nguyên tố là vô hạn Định lýđược chứng minh

* Cách 3 (Chứng minh của Goldbach):

Số Fn = 22n+ 1 được gọi là số Fermat thứ n Cho trước hai số Fermat

2n+k − 1

22 n+ 1

Fermat bất kỳ không có ước chung lớn hơn 1

Từ đó suy ra rằng mỗi một trong các số F1, F2, , Fn đều chia hết chomột số nguyên tố lẻ p mà p không là ước của bất kỳ số nào khác trong

Fermat là vô hạn nên có vô hạn số nguyên tố

Định lí 1.4 Tồn tại những dãy số liên tục là các hợp số mà độ dài của

nó lớn hơn một số n bất kỳ cho trước

Chứng minh.

Cho trước số n bất kỳ Theo định lý Euclid ở trên ta thấy luôn tồntại số nguyên tố p > n Xét dãy 2, 3, 5, , p các số nguyên tố không vượtquá p Đặt q = 2.3.5 p thì q + 2, q + 3, q + 4, , q + p là các hợp số

Rõ ràng đó là p-1 số hợp số liền nhau thoả mãn p − 1 > n

Định lí 1.5 Không tồn tại đa thức f (x) ∈ Z[x] mà tất cả các giá trịcủa nó tại các điểm x ∈ Z đều là nguyên tố

Định lý trên cho ta xác định tất cả các ước của một số tự nhiên a > 1,nếu số nguyên a > 1 có dạng phân tích tiêu chuẩn a = pα1

Chương 2

Sự phân bố các số nguyên tố

Dãy các số nguyên tố đầu tiên là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, Bằng cách dùng sàng Eratosthenes ta dễ dàng xây dựng một bảngcác số nguyên tố trong giới hạn N

Ta đã biết nếu n là số tự nhiên, n ≤ N và n không là số nguyên tố thì

n Ta viết xuốngdãy các số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, N và thực hiện tiến trình như sau:

* Vì 2 là số nguyên tố đầu tiên nên ta xoá những số sau 2 và chia hếtcho 2 Số đứng sau 2 còn lại đầu tiên là 3 nên 3 là số nguyên tố

* Tiếp tục bỏ những số sau 3 và chia hết cho 3 Số đứng sau 3 cònlại đầu tiên là 5 nên 5 là số nguyên tố

* Gạch bỏ những số sau 5 và chia hết cho 5 Số đứng sau 5 còn lạiđầu tiên là 7 nên 7 là số nguyên tố

Tiếp tục quá trình như vậy ta gạch bỏ khỏi dãy những số chia hết

N Quá trình sẽ dừng lại cho đến khi

p Khi đó mọi số nhỏ hơn hoặc bằng p đều chia hết cho một số nào

đó trong dãy trên Vì vậy nếu đặt q = 2.3.5.7 p thì tất cả các số

q ± 2, q ± 3, q ± 4, , q ± p đều là hợp số Như vậy mặc dù số các sốnguyên tố là vô hạn, tức p có thể rất lớn, nhưng tất cả các số nguyên tố

ấy chỉ là một vài điểm so với tập các hợp số

Khi nói đến sự phân bố các số nguyên tố có một vài câu hỏi đượcđặt ra như sau: Có một công thức tổng quát, đơn giản nào để xác định

số nguyên tố thứ n không? Có một công thức tổng quát để xác định sốnguyên tố tiếp theo một số nguyên tố cho trước không? Có một quy tắc

để từ một số nguyên tố p đã cho có thể tìm được số nguyên tố q lớnhơn không? Có bao nhiêu số nguyên tố không vượt quá một số x chotrước? Nhiệm vụ chính của chương này là trình bày câu trả lời củanhững câu hỏi đó

Cho f (x), g(x) là các hàm số xác định trên D, g(x) ≥ 0, ∀x ∈ D

Ta đưa vào các ký hiệu sau đây:

* f (x) = O(g(x)), x → ω, nghĩa là ∃A : |f (x)| < Ag(x), x → ω

* f (x) = o(g(x)), x → ω, nghĩa là lim

Chú ý rằng f (x) = O(1) nghĩa là ∃C : |f (x)| < C, hay hàm f (x) bịchặn.

Lý thuyết về sự phân bố các số nguyên tố cần sử dụng một số kiếnthức về tính chất của hàm logarit Trong luận văn này chúng ta sẽ thừanhận và sử dụng những tính chất của hàm logarit và hàm mũ đã đượchọc trong giải tích cổ điển Xét hàm số f (x) = ex, ta có:

ex = 1 + x + x

2

2! +

x33! + +

xn

xn+1(n + 1)! +

x−n.ex > x

hơn so với hàm luỹ thừa dương của x

xδ −→ 0, khi x −→ ∞, hay lnx = o(xδ), ∀δ > 0.Tương tự, ta có hàm ln(lnx) tiến ra ∞ chậm hơn so với hàm luỹ thừadương của lnx

nó sẽ được sử dụng nhiều trong quá trình chứng minh các định lý dướiđây

Định nghĩa 2.1 Định nghĩa π(x) là hàm số học biểu thị số các sốnguyên tố không vượt quá x

p≤x

1

Chẳng hạn: π(10) = 4, π(100) = 25 Do tập các số nguyên tố là vô hạnnên ta có π(x) → ∞ khi x → ∞

Định lí 2.1 Với ∀x ≥ 1 ta luôn có π(x) > lnx − 1; Nếu ta kí hiệu pn

+ )

n.Trong tổng trên n chạy qua tất cả các số tự nhiên là tích của các thừa

Giả sử 2, 3, 5, , pj là j số nguyên tố đầu tiên Kí hiệu N (x) là hàmbiểu thị số các số nguyên n không vượt quá x và không chia hết cho bất

kỳ số nguyên tố nào lớn hơn pj Biểu thị số nguyên n dưới dạng n = n21.m,trong đó m không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố bất

kỳ Khi đó ta thấy m = 2b13b2 pbj

j , trong đó các bk(k = 1, 2 j) hoặcbằng 0, hoặc bằng 1 Vì vậy có đúng 2j bộ b1, b2, , bj khác nhau nên m

1ln2

Ck−1 n

Vậy r(k) > 1 ⇔ n − k + 1 > k ⇔ k < n + 1

2r(k) < 1 ⇔ n − k + 1 < k ⇔ k > n + 1

Theo công thức nhị thức Newton ta có:

C2n1 < C2nn

C2nn+1 < C2nn

C2nn+2 < C2nn+1 < C2nn

C2n2n−1 < C2nn Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:

Theo giả thiết quy nạp ta có

Bổ đề 2.3 Cho α là một số thực dương và d là một số tự nhiên lớn hơn

Từ 1 đến n có [n

p2] số là bội của p2

p3] số là bội của p3

Vì vậy luỹ thừa của p trong dạng phân tích tiêu chuẩn của n! là luỹ

thừa của p trong tích p.2p [n

p]p = p

"np

#

[n

p]! là luỹ thừa của

p3]! ta được luỹ thừa của p trong

k≥1[n

pk] ( Chú ý rằng trong tổngtrên chỉ gồm một số hữu hạn số hạng khác 0)

Định lí 2.6 Giả sử a, b là các số nguyên với a < b và f (t) là một hàmđơn điệu trên đoạn [a, b], ta có:

Nếu f (t) là một hàm giảm trên đoạn [a,b] thì ta có:

Logarit hoá hai vế của (2.10) ta được:

p2] + [n

p3] +



p ] − 2[

n

p]

lnp

√ x<p≤x

lnp > ln√

√ x<p≤x

√x) < B x

lnx.

lnx < π(x) < B

xlnx.

Định nghĩa 2.4 Định nghĩa hàm Mangoldt Λ(n) như sau:

Bằng cách chia cho x ta được

Bổ đề 2.5 Giả sử c1, c2, , cn là một dãy số,

n≤t

cn,

n1 là một số nguyên thoả mãn cj = 0 với ∀j < n1, f (t) là một hàm số

có đạo hàm liên tục với ∀t ≥ n1 Khi đó ta có:

r(t)t(lnt)2dt

= lnlnx + 1 − lnln2 +

2

r(t)t(lnt)2dt −

x

r(t)t(lnt)2dt + O( 1

∞

X

n=2

1n(n − 1) < ∞.Trong đó ta đặt

n>x

1n(n − 1)

Ta lại có

2

αtlntdt = αlnlnt

pk

ckt(lnt)2dt

ψ(x) = ϑ(x) + O(x1/2(lnx)2).

Vì vậy, nếu viết

= 2lnx + O(1)(theo (2.30), (2.31) và định lý (2.12)).Hay

Trước hết ta chú ý rằng nếu t > t0 ≥ 0 thì

||R(t)| − |R(t0)|| ≤ |R(t) − R(t0)| = |ψ(t) − ψ(t0) − t + t0|

≤ ψ(t) − ψ(t0) + t − t0 = F (t) − F (t0),trong đó F (t) = ψ(t) + t = O(t) và F (t) là hàm tăng của t Mặt khácX

Ta có ψ(x) = O(x), cho ξ → ∞ ta có thể viết:

Theo (2.45), định lý (2.25) tương đương với mệnh đề V (ξ) → 0 khi

ξ → ∞, nghĩa là phải có α = 0, ta sẽ giả sử rằng α > 0 và chứng minhtrong trường hợp này β < α, điều đó là mâu thuẫn với (2.48) Để chứngminh điều này trước hết ta chứng minh hai nhận xét sau đây:

(*) Thứ nhất: Tồn tại một hằng số dương A1 cố định sao cho với ∀ξ1, ξ2 >

lấy ζ là một số dương và chú ý đến dáng điệu của V (η) trong đoạn

ζ ≤ η ≤ ξ + δ − α Theo (2.45), V (η) giảm khi η tăng, trừ trường hợp

Z η 1

ζ

V (η)dη

+

... chất s? ?nguyên tố, định lý số học

2 Trình bày hàm π(x), ϑ(x), ψ(x) định lý s? ?nguyên tố tương đương ϑ(x) ∼ x, ψ(x) ∼ x

lnx,nghiên cứu vấn đề ước nguyên tố số nguyên vànghiên... cứu số nguyên tố cấp số cộng

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Hữu Hoan, " ;Số. .. "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trunghọc phổ thông -Số Học", Nxb Giáo Dục, (2008)

[3] Lại Đức Thịnh, "Giáo trình số học", Nxb Giáo Dục, (1977).[4] G H Hardy, E M Wright,