chuyên đề đạo hàm, tích phân chon lọc dành cho ôn thi cđ-đh

VẤN ĐỀ 1:SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.Định lí :Giả sử hàm số y =fx có đạo hàm trên II là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn 1.Nếu f’x>0 với mọi x thuộc I thì hàm số fx đồn

KỸ NĂNG GIẢI VÀ KHAI THÁC TOÁN VỀ ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Phần 1: ĐẠO HÀM, ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT

VẤN ĐỀ 1:SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.Định lí :Giả sử hàm số y =f(x) có đạo hàm trên I(I là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa

đoạn )

1.Nếu f’(x)>0 với mọi x thuộc I thì hàm số f(x) đồng biến trên I

2 Nếu f’(x)<0 với mọi x thuộc I thì hàm số f(x) nghịch biến trên I

3 Nếu f’(x)=0 với mọi x thuộc I thì hàm số f(x) không đổi trên I

2.Định lí mở rộng :

Giả sử cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên I Nếu f’(x) ( hoặc f’(x) 0)

và f’( x )= 0 chỉ tại hữu hạn điểm của I thì hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến trên I)

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y=f(x)

1.Tìm tập xác định (hay miền xác định của hàm số)

2.Tính đạo hàm f’(x).Tìm các điểm (i=1,2…n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

3.Lập bảng xét dấu f’(x)

4.Dựa vào định lí tên để kết luận các khoảng đông biến nghịch biến

Định gía trị của tham số để hàm số y=f(x) đồng biến nghịch biến trên khoảng cho trước

Cho hàm số y=f(x) phụ thuộc tham sô m ,Ta phải định tất cả giá trị m sao cho hàm

số

*Đồng biến (nghịch biến )trên R f’(x) 0( )

Để giải những bài toán dạng này cần nhớ kiến thức của tam thức bậc 2 vì (f’x thường là tam thức bậc 2 )

Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp ( ) và

a. gọi là điểm cực đại của hàm số f(x)nếu tồn tại một khoảng (a;b)

chứa điểm sao cho (a;b ) và f(x) < f( )

b. gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x)nếu tồn tại một khoảng (a;b)

chứa điểm sao cho (a;b ) và f(x) > f( )

Khi đó f( ) được gọi là giá trị cực tiểu cua hàm số f(x),kí hiệu

Chú ý

-Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

-Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được chung là cực trị

-( f( ) được goi là điểm cực trị của hàm số

-Nếu f’’ ) <0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm

-Nếu f’’ ) >0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

Chú ý :

1.Hàm số có 3 cực trị y’=0 có 3 nghiệm phân biệt

2.Hàm số có 2 cực trị y’=0 có 2 nghiệm phân biệt

1.Hàm số không có cực trị y’=0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

4. Quy tắc tính giá trị cực trị của hàm số hữu tỉ và hàm bậc 3

a.Quy tắc 1:

Nếu hàm số y= đạt cực trị tại giá trị

Có thể tính bằng công thức

b.Quy tắc 2: cho đa thức y =P(x) nếu R(x) là dư thức trong phép chia y cho y’và

hàm số đạt cực trị tại thì giá tri của ham số y =P(x) là

VẤN ĐỀ 3:GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên đoạn [a,b]

1.Hàm số liên tục trên đoạn [a,b]

2.Tính f’(x) Tìm các nghiệm , …… (a,b) của phương trình f’(x)=03.Tính f(a),f( ,)………… );f(b)

4.Kết luận : (M là số lớn nhất ,m là số nhỏ nhất trong các số vừa tính

Chú ý

- Nếu hàm số f(x) đồng biến trên [a,b] thì :

- Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên [a,b] thì :

VẤN ĐỀ 4 :KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA ĐỒ THỊ

HÀM SỐ Hàm số

1.TXĐ D=R

2.Sự biến thiên

a) Giới hạn: ………:: …………

* Tính y’=3a +2bx+c Tìm nghiệm của y’=0

* Bảng biến thiên (xét dấu y’;chiều biến thiên ;cực trị và giới hạn )

Kết luận

• Các khoảng đông biến ( nghịch biến)

• Cực trị

3 Vẽ đồ thị

Điểm uốn :tính y”=6ax+2b cho y’’=0 x=

Nếu y’’đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = thì U (- = )) là điểm uốn của đồ thị

Xác định một số điểm đặc của đồ thị ,chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với trục tọa độ

(trong trường hợp đồ thì không cắt trục tọa độ hoặc tìm giao điểm phức tạp thì bỏ qua phân này )

* Tính y’’=4a +2bx Tìm nghiệm của y’=0

* Bảng biến thiên (xét dấu y’;chiều biến thiên ;cực trị và giới hạn )

Kết luận

• Các khoảng đồng biến ( nghịch biến)

• Cực trị

3 Vẽ đồ thị

Điểm uốn :Tương tự như hàm số y =a + b +cx+d

Xác định một số điểm đặc của đồ thị ,chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với trục tọa độ

(trong trường hợp đồ thì không cắt trục tọa độ hoặc tìm giao điểm phức tạp thì bỏ qua phần này )

-Tính y’= Kết luận y’>0 (hoặc y’<0)

-Bảng biến thiên (xét dấu y’;chiều biến thiên ;cực trị và giới hạn )

Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

-Tính y’= Tìm nghiệm của phương trình y’=0

-Bảng biến thiên (xét dấu y’;chiều biến thiên ;cực trị và giới hạn )

VẤN ĐỀ 5: MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

1. Tìm giao điểm của 2 đường: (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)

- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x)

- Bước 2: Số nghiệm của pt (*) bằng số giao điểm của (C) và (C’)

Điều kiện để 2 đường y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau là:

2. Biện luận theo m số nghiệm của pt: F(x,m) = 0 (*)

• Viết (*) lại dưới dạng f(x) = g(m) ( đây là pt hoành độ giao điểm của

(C): y = f(x) và (d): y = g(m) (// Ox)

• Vẽ (C) và (d) trên cùng hệ tọa độ.

• Số giao điểm của (C) và (d) là số nghiệm của pt (*)

3. Phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)

a Tiếp tuyến tại điểm M(x 0 ;y 0 ): y = f’(x 0 )(x – x 0 ) + y 0

b Tiếp tuyến đi qua điểm A(x 0 ;y 0 ):

• Viết pt đường thẳng (d): y = k(x – x 0 ) + y 0

• Do đường thẳng (d) tiếp tuyến của (C) nên

Thay (2) vào (1) Giải pt tìm x.

• Sau đó tìm k Ứng với mỗi giá trị k có 1 pt tiếp tuyến.

c Tiếp tuyến biết hệ số góc k trước:

3) giảm trên khoảng

2) có hai điểm cực trị và sao cho

3) , có ba cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

mà không có cực đại

5) có 2 diểm cực trị A và B sao cho

và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các hàm số sau

2)

3)

4)

1) Lập phương trình tiếp tuyến của (C): , biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng .

2)Lập phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A( và tiếp xúc

3).Tìm điểm M thuộc (C): , biết " tiếp tuyến tại M có hệ số góc lớn nhất", sao đó hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M.4) Chứng mimh rằng từ điểm A(-4;0) ta có thể vẽ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với (C): ,

5) Tìm m để đồ thị hàm số

tiếp xúc với trục hoành

6).Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì trên (C): cắt hai đường tiệm cận của (C) tại P và Q Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ

VẤN ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM

1. Nguyên hàm:

ĐN: Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của

hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x), x K

ĐL: Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K

b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G(x) của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số

17.

VẤN ĐỀ 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

1. Phương pháp đổi biến số:

Dùng phương pháp đổi biến số để tính tích phân: I =

Ta thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1: Đặt t= u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp ( lưu

ý u(x) là hàm số có mặt trong f(x)), rồi xác định x= (nếu có thể)

- Bước 2: Xác định vi phân dt = u’(x)dx

- Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt

+ dv = => v =

Bước 2: Khi đó: I =

VẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN

I.Khái niệm tích phân:

1.1.Diện tích hình thang cong:

- Cho hàm số liên tục và lấy giá trị dương trên đoạn [a.b] Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng

được gọi là hình thang cong

- Diện tích hình thang cong nói trên được tính theo công thức:

( là một nguyên hàm của )

1.2.Khái niệm tích phân:

là một nguyên hàm của trên đoạn

Hiệu số được gọi là tích phân từ a đến b ( hay tích phân xác định trên đoạn ) của hàm số , kí hiệu là

Ta còn dùng kí hiệu để chỉ số hiệu

Vậy:

Với: - : dấu tích phân

- a là cận dưới, b là cận trên

- là biểu thức dưới dấu tích phân

- là hàm dưới dấu tích phân

- là biến số

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn một chữ khác thay cho Chẳng hạn, nếu sử dụng chữ , chữ ,… làm hàm biến số lấy tích phân thì

,… đều là một số và số đó là

Cho hàm số liên tục và không âm trên đoạn Khi đó, diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi dồ thị hàm số , trục hoành và 2 đường thẳng là

II Tính chất của tích phân

Giả sử các hàm số liên tục trên K và là 3 số bất

Bước 3: Biến đổi thành

II Phương pháp tích phân từng phần:

Để tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng

phần ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Biến đổi về dạng

Bước 2:

Bước 3: Tính

Lưu ý: Cần nhớ các dạng cơ bản sau:

Dạng 1: với là đa thức theo

III Tích phân hàm hữu tỉ

Để tính tích phân hàm hữu tỉ Ta thực hiện các bước

sau:

o Nếu bậc P(x) Q(x) thì ta chia P(x) cho Q(x)

o Ngược lại ( tức là bậc của tử < bậc của mẫu) ta phân tích mẫu số thành tích số Ví dụ:

Bước 2: Phân tích phân thức:

- Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường:

- Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường:

+ Nếu (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm trùng với a và b thì:

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Bài 5: Cho (C) : y= và đường thẳng d: y= mx +2 Với giá trị nào của

m để hình phẳng giới hạn bởi d và (C) có diện tích nhỏ nhất

Bài 6: Cho (P) :y= Viết phương trình đường thẳng d đi qua I(1;3) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất

Bài : CMR: +

=