Thành lập một đoàn gồm hai ngời sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin.. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau2. Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi
Trang 1Bài tập về đại số tổ hợp:
Quy tác cộng, Quy tắc nhân:
1 Một trờng phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán Thành lập một đoàn gồm hai ngời sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn nh trên?
2 Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8
a Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?
b Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5?
3 Có thể lập bao nhiêu số chẳn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0,2,3,6,9?
4 Có bao nhiêu số chẳn có 4 chữ số đôi một khác nhau?
5 Từ các sô 0,1,2,3,4,5
a Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5
b có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9?
Hoán vị
1 Cho 5 chữ số 1,2,3,4,5
a Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau?
b Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu là số3?
c Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng số 1
d Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và bắt đầu la chữ số lẻ?
2 Có bao nhiêu xếp 5 bạn A,B,C,D, E vào một ghế dài sao cho:
a Bạn C ngồi chính giữa
b, Hai bạn A, E ngồi hai đầu ghế?
3 Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 4 cuốn Văn, 2 cuốn Toán, 6 cuốn Anh Văn, Hỏi có bao nhiêu cách sắp các cuốn sách lên một kệ dài sao cho các cuốn cùng môn nằm
kề nhau?
4 Có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Ngời ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a Các học sinh ngồi tuỳ ý?
b Các học sinh nam ngồi một bàn, học sinh nữ ngồi một bàn?
5 Xét các số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2,3,4,5 Hỏi có bao nhiêu cách sắp nếu
a Năm chữ số 1 xếp kề nhau
b Năm chữ số 1 xếp tuỳ ý?
Chỉnh hợp
1 Từ các số 1,2,3,4,5,6 lập bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau?
2 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau??
3 Từ các số 0,1,3,5,7 lập bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau
a Chia hết cho 5
b Không chia hết cho 5?
4 Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau trong đó
a Số tạo thành là số chẳn?
b Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt số 1?
c nhất thiết phải có mặt chữ số 5??
d Phải có mặt hai số 0 và 1?
5 Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập đựoc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276??
6, Giải các phơng trình và bất phơng trình sau:
ã
2
x x x
b A x3 5A x2 21x
c A10x A x9 9A8x
Tổ hợp
1 Đề thi trắc nghiệm có 10câu hỏi Học sinh cần chọn trả lời 8 câu
a Hỏi có mấy cách chọn tuỳ ý?
b Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc?
c Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau??
2 Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau Cần chọn 4 học sinh cho mỗi đề kiểm tra Hỏi có mấy cách chọn?
3 Có 5 tem th khác nhau và 6 bì th khác nhau Ngời ta muốn chọn từ đó ra 3 tem th và 3 bì th và dán
3 tem th lên 3 bì th đã chọn Mỗi bì th chỉ dán 1 tem Hỏi có bao nhiêu cách làm nh thế?
4 Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 ngời đi dự Hội nghị sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ lớp?
5 Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý Muốn lập một đoàn công tác có 3 nguời gồm cả nam lẫn nữ, cần có nhà Toán hoc lẫn Vật lý Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
6 Một đội Văn Nghệ gồm 10 nguời trong đó có 6 nữ, 4 nam Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ:
Trang 2a Thành hai nhóm có số nguời bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau?
b Có bao nhiêu cách chọn 5 ngời trong đó không quá một nam?
7 Có hai đờng thẳng song song d1 và d2 Trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, trên d2 lấy 9 điểm phân biệt Hỏi có bao nhiêu tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm đã lấy?
8 Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các quả cầu đều khác nhau Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
a sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ cả ba màu?
b Không có đủ ba màu?
9 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngời gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ??
10 Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu trung bình và
15 câu dễ Từ 30 câu hỏi đó lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2??
11 Đội TNXK của một trờng có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 3 học sinh lớp
C Cần chọn 4 học sinh làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh vậy??
12 Đội tuyển học sinh giỏi gồm 18 em, gồm 7học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối
10 Cử 8 em đi dự trại hố sao cho mỗi khối cú ớt nhất 1 em được chọn Hỏi cú bao nhiờu cỏch cử như vậy?
13 (ĐH Y-2000)
Có 5 nhà toán học nam,3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam.lập 1 đoàn công tác có 3 ng ời cần có cả nam và nữ ,có cả toán và lý Hỏi có bao nhiêu cách
14 Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ biết khiêu vũ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy
15 Bill Gate có 5 ngời bạn thân.Ông muốn mòi 5 trong số họ đi chơi xa Trong 11 ngời này có 2 ngời không muốn gặp mặt nhau.Hỏi ngài tỷ phú có bao nhiêu cách mời
16 ĐH-CĐ khối B/2004
Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 cau khó(K) 10 câu trung bình(TB)và 15 câu dễ(D).Từ 30 câu
có có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra mỗi đề gồm 5 câu khác nhau sao cho mỗi đề fải có 3 loại(K-D-TB)và số câu dễ không ít hơn 2?
17 ĐH-CĐ khối B/2005
Một đội thanh nien tình nguyện có 15 ngời,gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội tình nguyện đó về 3 miền núi sao cho mỗi tỉnh đều có 4 nam và 1 nữ
18 ***ĐH-CĐ khối B/2002
Cho đa giác đều A1,A2, A2n(nN và n 2) nội tiếp đờng tròn (O).Biết rằng số tam giác có
đỉnh là 3 trong 2n đỉnh A1,A2, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là4 trong 2n
đỉnh A1,A2, A2n.tìm n
RúT GọN CáC BIểU THứC
1/ Rút gọn các biểu thức sau:
10 3 5 2 7
b B=
6 5
n n 4 n
A +A
A c C =
2
5
A
d D= 4n+1
n n-k
P
15 15 15 7 17
C
e E=
3
3 5
P A
f F=
3 2
5 5 2
A - A
5 2
P P 2/ Chứng minh :
a
n
n
P = n-1
1
P + n-2
1
P b
n+2 n+1 2 n n+k n+k n+k
c P A A Ak 2n+1 2n+3 n+52 n.k!A5n+5 d Ckn Cn-kn
PHơng trình liên quan đến công thức tổ hợp:
Giải các PT và BPT sau:
1 C1x 6C x2 6C x2 9x1 14x 2 P2x2-P3 .x=8 3 2A +50=A , x N2x 22x
C +C +C = x
2 6
x-1 x-1 x-2
2
3
Trang 37 1 2 1
x x+1 x+4
=
C C 6C 8
3 n-2
n n
A +C =14n 9 A n3 2C n4 3A n2 10
30 3
C
2
2x x x C x
x A
6
1 )!
1 (
)!
1 (
!
x
x x
với x là số tự nhiên khác 0
13 Giải bất phơngtrình
1 2
n n
n
n
P P
P
P
14 Giải hệ:
80 2
5
90 5
2
y y
y y
C A
C A
15
1
y y
x x
C C
16 C23n 20C n2
Các bài toán tổng hợp:
1 Có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số từ các số 1,2,3,4,5,6 trong đó 1 và 6 có mặt hai lần, các số còn lại 1 lần
2 Có bao nhiêu số chẳn gồm 6 chữ số khác nhau trong đó chữ số đàu tiên là số lẻ
3 Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số chẳn và 3 chữ số lẻ
4, Có baonhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có mặt số 0 nhng không có mặt số 1
5 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ sô biết rằng sô 2 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại không quá một lần?
6.Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 Trờn đường thẳng d1 lấy 10 điểm phõn biệt, trờn đường thẳng d2 cú n điểm phõn biệt (n>1) Biết rằng cú 2800 tam giỏc cú đỉnh là cỏc điểm đó cho Tỡm n 7.Từ cỏc chữ số 0,1,2,3,4,5,6, cú thể lõp bao nhiờu số chẳn, mỗi số cú 5 chữ số khỏc nhau trong đo
cú đỳng 2 chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đú đứng cạnh nhau?
8 Từ cỏc số 0,1,2,3,4 cú thể lập baonhiờu số tự nhiờn cú 5 chữ số khỏc nhau? Tớnh tổng tất cả cỏc
số tự nhiờn đú
9.Cú bao nhiờu số tự nhiờn gồm 5 chữ số sao cho: Chữ số 0 cú mặt hai lần, số 1 cú mặt 1 lần, 2 số cũn lại phõn biệt
10 Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú bốn chữ số sao cho khụng cú chữ số nào lặp lại 3 lần
11 Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú 7 chữ số sao cho: Số 2 cú mặt 2lần, số 3 cú mặt 3 lần, cỏc số cũn lại khụng quỏ một lần
12 Cho đa giỏc đều A1, A2, A2n nội tiếp đường trũn tõm O, biết rằng số tam giỏc cú cỏc đỉnh là
3 trong 2n điểm A1, A2, A2n gấp 20 lần số hỡnh chữ nhật cú đỉnh là 4 trong 2n điểm.Tỡm n
13 Từ cỏc số 1,2, ,6 Lập bao nhiờu số cú 3 chữ số khỏc nhau và chia hết cho 3
14 Cú bao nhiờu số tự nhiờn chẳn gồm 5 chữ số khỏc nhau và khụng bắt đầu bằng 123
Nhị thức Newton
I áp dụng công thức khai triển
1 Tìm hệ số của số hạng thứ t trong khai triển
10
1
x x
2 Tìm hệ số của số hạng thứ 31 trong khai triển
40 2
1
x x
3 Tìm hạng tử chứa x2 của khai triển: 7
3 x 2 x
4 Tìm hạng tử không chứa x trong các khai triển sau:
a
12
3
3
x x
b
7 4
x x
5 Tìm hệ số của x12y13 trong khai triển của (2x-3y)25
Trang 46 Tìm hạng tử đứng giữa trong khai triển 3
5
1
x x
7 trong khai triển
21 3 3
a
b b
a
tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau??
II Khai triển với giả thiết có điều kiện
1/ Biết khai triển
n
x
1
2 Tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, hai, ba là 46 Tìm số hạng không chứa x?
n
x
khai triển chứa x4.
n n n n
n n
n
n
C x
C x
C x
3
1 ) 1 (
3
1 3
trong khai triểnlà 5 Tìm số hạng chính giữa??
x C x
C x
2 3
của x2
5/ Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển
n
x
5
3
3
1
n
n
6/ Tìm hệ số của x7 trong khai triển (2-3x)n trong đó n thoả mãn hệ thức sau
1024 2 1
1 2
3 1 2
1
1
2n C n C n n
C
7/ Giải phơng trình sau
1 2 2 2007 2
4 2
2
C
8/ Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển
n
x
7
4
1 2 2 1 20
1 2
3 1 2
2 1 2
1
1
2n C n C n C n n
9/ Tìm hệ số của số hạng chứa x10 khi khai triển (2+x)n biết
2048 )
1 (
3 3
3 0 1 1 2 2 n
n
n n
n n
n n
79
n n n
n n n
Trong khai trieồn nhũ thửực
28
n
x x x
haừy tỡm soỏ haùng khoõng phuù thuoọc vaứo x
11/Tỡm heọ soỏ cuỷa soỏ haùng chửựa x26trong khai trieồn nhũ thửực Niutụn cuỷa 7
4
x x
2n1 2n1 2n n1 2 1
12/.Tỡm heọ soỏ cuỷa 4
x trong khai trieồn bieồu thửực A 1 x 3x2nthaứnh ủa thửực Trong ủoự n laứ soỏ
2 C C C C n 3A n
13/ Tỡm heọ soỏ cuỷa soỏ haùng chửựa x10 trong khai trieồn nhũ Niu tụn cuỷa (2+x)n bieỏt:
14.Quy taộc toồng quaựt :Toồng caực heọ soỏ trong bieồu dieón chớnh taộc cuỷa ủa thửực f(x) chớnh laứ f(1)
x a a x a x a x
a)Tớnh a97
b)S a 0a1a2 a100
Trang 5c)M=1.a12.a2 100. a100
III Chứng minh hoặc tính tổng biểu thức tổ hợp:
1/ Khai triển (3x-1)16 Từ đó chứng minh
16 16 16
1 16 15 0
16
2/ Chứng minh:
a C n0 C n1 C n2 C n n 2n
2
2 2
0 2 1 2 2
3 2
1
2
3/ Chứng minh rằng:
n n n n n
n n
3
1
3
1 3
1
3 1 0
4/ Tính tổng
2
2 2
0
2
b S = 21 23 22 1
C
5/ Chứng minh rằng:
a C20040 C20042 C20042004 21002
b
2
1 3 2
2 2
2004 2004
2004 2004 4
2004 4 2 2004 2 0
2004
C
7/Chửựng minh raống: 2n 2n 2n 2, 0,
n k n k n
C C C k n
n
C C nC 10/k vaứ n laứ hai soỏ tửù nhieõn sao cho 4 k n chửựng minh raống:
4
C C C C C C
1 1
1 2 m 1 m
IV Khai triển nhiều hạng tử:
1/ Tìm hệ số của x6 trong khai triển (1+x2(1+x))7 thành đa thức
2/ Tìm hệ số của số hạng chứa x4 khi khai triển (1+2x+3x2)10
3/ Tìm hệ số chứa x10 khi khai triển
P(x) = (1+x) + 2(1+x)2+3(1+x)3+ +15(1+x)15
4/ Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1-2x)5 + x2(1+3x)10
5/.Tỡm số hạng khụng chứa x khi khai triển P(x) =
9 2
1 2
x x
6/.Tỡm hệ số của số hạng chứa 31
x khi khai triển P(x) =
7
1 2
x x
V Sử dụng đạo hàm hoặc tích phân
1/ Chúng minh hệ thức sau
a 1 2 2 3 3 2 1
C
b
1
1 2 1
1
3
1 2
2 1
0
n
C n C
C
n n
n n
2/ Tính tổng
Trang 6a S =C141 2C142 3C143 14C1414
b S = C20080 2C12008 3C20082 2009C20082008
3/ Chøng minh r»ng
1 2
1 2 2
1
6
1 4
1 2
1 2 2
5 2
3 2
1 2
n
C n C
C C
n n
n n
n n
4/ T×m n nguyªn d¬ng sao cho:
2007
2 ).
1 2 (
2 4 2
3 2
.
1 2 2 4
1 2 3 3
1 2 2 2
1 2
1
1
C
n
n n
n
n C
C C
1
1 2
3
1 2 2
1
2 3 1 2 0
C C C C
n n
8/ Xác định số lớn nhất trong các số: 0, 1, 2, , k, , n
10 CMR: n.4 Cn 1 0n n 1 4 C 1 n 2 1n n 1 Cn 1n C1n 4C n.2 C2n n 1 nn